Wünschenswerte Eigenschaft von Suchbäumen mit n Knoten: Suchen, Einfügen, Löschen auch im schlechtesten Fall O(log n)

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1 .6 Ausgeglichene Mehrweg-Suchbäume Wünschenswerte Eigenschaft von Suchbäumen mit n Knoten: Suchen, Einfügen, Löschen auch im schlechtesten Fall O(log n) Methoden: lokale Transformationen (AVL-Baum) Stochastische Algorithmen / Datenstrukturen ("Randomisierung"). Aber nur Wahrscheinlichkeitsaussagen zu Laufzeit / Speicherplatz! Vergrößern der Knoten: Mehrwegbäume mit geeigneten Eigenschaften. hs / fub alp3-19-bbaum B-Baum: B Baum: Ausgeglichener Mehrweg-Suchbaum 30 Rudolf Bayer, Edward M. McCreight: Organization and Maintenance of Large Ordered Indices. Acta Informatica Vol 1, ,39 - Innere Knoten haben minimale und maximale Anzahl Kinder k. Hier: <= k <= 7 - Anzahl Werte(Schlüssel) eines Knotens mit k Kindern: k-1 - Suchbaumeigenschaft: vi, vi+1 Werte im Knoten k, dann ist enthält Unterbaum, auf den zwischen v i und v i+1 verwiesen wird, nur Werte v mit v i <= v < v j 60 1

2 Def. B-BaumB Baum - Mehrweg-Baum mit variablem Grad k, t <= k <= t, t: Minimalgrad Wurzel: 1 <= k <= t. - Knoten mit vom Grad k enthalten k-1 Werte (Werte und/oder Schlüssel ). - Knoten (v 1,v,...,v k-1 ) ist Blatt oder besitzt k Unterbäume t 1,...,t k mit : f. alle x t i, y t i+1 : x <= v i < y, i = 1,..,k-1 (Suchbaum). -Alle Blätter haben gleiche Tiefe (ausgeglichen). t=: (,)-Baum, manchmal (,3,)-Baum Typische Verwendung: Hintergrundspeicherverwaltung, großer Verzweigungsgrad "Fanout") => großes t (-> später). hs / fub alp3-19-bbaum-1 3 Diskussion B-BaumBaum Ausgeglichenheit bei fester Anzahl Werte pro Knoten nur aufwendig zu garantieren. 0 insert() Alle Knoten betroffen bei Wiederherstellen der Invarianten (!) Lösung bei B-Bäumen: a) Zulassen, dass Anzahl Werte pro Knoten variabel b) Geschickte Änderungsalgorithmen. hs / fub alp3-19-bbaum-1

3 Diskussion B-Baum: Baum: Höhe Eigenschaft: Die Höhe h eines B-Baums mit Minimalgrad t und n Knoten ist durch h <= log t ((n +1)/) beschränkt. Asymptotische Laufzeit wie binärer Suchbaum, aber... Großes t macht Baum flacher. Konstante wichtig für Externspeicherdatenstruktur. Z.B. ist ausgeglichener binärer Suchbaum durchschnittlich um Faktor.6 (= ln 0 / ln ) höher als B-Baum mit Minimalgrad t = 0. hs / fub alp3-19-bbaum-1 Datenstruktur public class BTreeN { int T = 0, MAX_T = *T; // minimal degree protected Comparable keys[]; // (t-1) <= values <= *t-1 in this node protected BTreeN subtrees[]; // t < number of subtrees < *t protected BTreeN parent; // the parent node, null if root protected boolean leaf=true; // Leafnode? protected int count=0; // number of keys public BTreeN ( ){ keys = new Comparable [MAX_T]; subtrees = BTreeN [MAX_T]; // DISK_WRITE the serialized node if used as an //external index } hs / fub alp3-19-bbaum-1 6 3

4 .6. (,)-Bäume als Spezialfall von B-BäumenB Bäumen Operationen Suche in B-Baum (fast) wie in binärem Suchbaum t=:,-baum search (9) not found Traversieren des durch den Suchschlüssel bestimmten Pfades zu dem Knoten, der Schlüssel enthält (oder nicht gefunden). hs / fub alp3-19-bbaum-1 7 Operationen Einfügen - immer in dem Knoten am Ende des Suchpfades einfügen - das ist ein Blatt insert(9) Fall 1: Kein Problem für Knoten mit weniger als *t (hier: ) Werten hs / fub alp3-19-bbaum-1 8

5 Operationen Einfügen: der kritische Fall insert(7) Fall : Teilen eines Knotens mit *t-1 Werten (Split-Knoten). => Elternknoten hat ein Kind mehr => ein Wert wandert in Elternknoten.? hs / fub alp3-19-bbaum-1 9 Invarianten nach Knotenspaltung Baum nach Einfügen ausgeglichen ("Wächst zur Wurzel hin"!). Grad-Invariante bleibt erhalten: Split-Knoten enthielt *t-1 Werte, => neue Knoten enthalten max. (*t-) / +1 Werte. Suchbaum-Invariante erfüllt. Alternativen für Einfügealgorithmus: a) Bottom-up-Split: Suche Blatt, in das einzufügen ist, Wenn es *t-1 Schlüssel (= Werte) enthält, spalten! Rekursives Spalten bis zur Wurzel möglich. hs / fub alp3-19-bbaum-1 10

6 Spalten beim Einfügen: : Top-Down b)top-down-split: Beim Einfügen jeden Knoten auf dem Suchpfad spalten, der *t-1 Schlüssel enthält insert(7) Einfacher Algorithmus (Eine Wurzel-Blatt-Traversierung) - Gelegentlich vorzeitige Split-Operationen hs / fub alp3-19-bbaum-1 11 Einfügen in (,)-Baum schematisch Spaltung (Split) a a y a <= x <= y<=z x y z x z analog: ggf. rekursiv "nach oben" fortsetzen a b a b y x y z x z hs / fub alp3-19-bbaum-1 6

7 Zusammenfassung: Einfügen in (,)-Baum Schritt 1: Suche des Knotens K, in den einzufügen ist (Blattknoten!) Schritt : K enthält weniger als *t 1 Schlüssel ((,)-Baum: 3): einfügen! K enthält *t-1 Schlüssel x 1, x t-1 : K spalten in K1, K mit je t-1 Schüsseln, mittleren Schlüssel xt, x 1 <= x <= x t-1 <= x t <=. <=x t-1 in Elternknoten E von K übernehmen, K1 und K neue Kinder von E anstelle von K. Top-Down Variante: In Schritt 1 jeden traversierten Knoten mit *t-1 Knoten spalten. hs / fub alp3-19-bbaum-1 13 Operationen: Löschen - lösche in Blatt mit mindestens t Schlüsseln. - lösche in innerem Knoten: analog binärem Suchbaum. delete(6) delete() Einfach: Beide Fälle verletzen nicht die Invariante für die Anzahl Schlüssel hs / fub alp3-19-bbaum-1 1 7

8 Unterlauf durch Löschen - Lösche in Blatt mit t-1 Schlüsseln. delete() Schlüssel auf Vaterknoten entnehmen Unterbäume, nur verbliebene Schlüssel: => Transfer aus Kind-Knoten. hs / fub alp3-19-bbaum-1 Löschen: Unterlauf vermeiden delete() Führt zu Unterlauf! hs / fub alp3-19-bbaum

9 Unterlauf durch Löschen (3) delete() Unterlauf nicht vermeidbar: Entfernen von Vorgänger oder Nachfolger des Lösch-Schlüssels führt zu Unterlauf. hs / fub alp3-19-bbaum-1 17 Top-Down Down-Löschen mit Unterlauf delete(1) 3 11 Innerer Knoten enthält nur t-1 Schlüssel Nachbar (.3..) besitzt t Schlüssel => Transfer hs / fub alp3-19-bbaum

10 Top-Down Down-Löschen mit Unterlauf und Höhenreduktion delete(1) Transfer + Löschen hs / fub alp3-19-bbaum-1 19 Löschen in B-Baum B Baum schematisch: Löschen x in Blatt mit k > t Schlüsseln: Invarianten bleiben alle erfüllt. a Löschen x in innerem Konten: Ersetze x durch Vorgänger (immer in einem Blatt b), wenn b mehr als t-1 Elemente hat, sonst durch den Nachfolger.... s... x y z hier: Nachfolger r t x y hs / fub alp3-19-bbaum

11 Löschen in B-BaumB Baum schematisch: Unterlauf, Transfer von Nachbar Löschen r in Blatt b mit t-1 Schlüsseln, Nachbar enthält k > t-1 Schlüssel Transfer: s r t x y Nachbar(b) -> Elternknoten(b) -> b Keine Änderung der Anzahl Knoten. hs / fub alp3-19-bbaum-1 1 Löschen B-Baum Baum schematisch Unterlauf, Verschmelzen Löschen von r in Blatt b führt zu Unterlauf, der nicht durch Transfer zu beheben ist. q Top-Down-Löschen: Vorgänger hat mindestens t Elemente (Sonderfall: r Vorgänger ist Wurzel): b mit Nachbarn verschmelzen. Teilungsschlüssel zwischen b und Nachbarn in verschmolzenen Knoten.. Höhe ändert sich nicht. q s.. t hs / fub alp3-19-bbaum-1 11

12 Löschen B-BaumBaum schematisch Unterlauf, Verschmelzen, Höhenreduktion (Top-Down-Löschen) Wurzel enthält t-1 Schlüssel Linker und rechter Nachfolger des Trennschlüssels s haben je t-1 Schlüssel Kein Transfer möglich Wurzel mit Nachfolgern verschmelzen r s t Löschen im Unterbaum hs / fub alp3-19-bbaum-1 3 Laufzeiteigenschaften Suche in einem B-Baum: O(log n) Einfügen: Einfügeknoten suchen: O(log n) Split, Transfer: O(1) -> O(log n) Löschen: Split, Transfer, Verschmelzung je O(1) -> O(log n) Warum sind B-Bäume wichtig? (,) Bäume sind (fast) Rot-Schwarz-Bäume. Wichtigste Indexstruktur für sehr große Datenmengen. hs / fub alp3-19-bbaum-1