Nachtrag zu binären Suchbäumen (nicht (nur) AVL Bäumen: Löschen von Elementen in binären Suchbäumen. 1. Fall: zu löschendes Element ist Blatt: löschen

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1 Nachtrag zu binären Suchbäumen (nicht (nur) AVL Bäumen: Löschen von Elementen in binären Suchbäumen 3 1. Fall: zu löschendes Element ist Blatt: löschen Fall: zu löschendes Element hat ein Kindelement z.b. 2): Kindelement mit Elternelement direkt verbinden 3. Fall: zu löschendes Element hat zwei Kindelemente z.b. 10: Element mit dem größten/ kleinsten Element des linken / rechten Teilbaums ersetzen. 1

2 B Bäume B steht nicht für binär(!!), sondern für den Erfinder, Rudolph Bayer Eigenschaften von B Bäumen der Ordnung k Der Knoten hat zwischen k und 2k Elementen (Ausnahme Wurzel) Jeder Knoten hat i+1 Nachfolger, wenn i die Anzahl der Elemente eines Knotens ist B Bäume sind sortiert > innerhalb der Blätter > Elemente im linken Teilbaum sind kleiner als die Elemente im Elternknoten Alle Wege von der Wurzel zu den Blättern sind gleich lang 2

3 Die Indexstruktur für einen Baum mit k=1 ist größer (mehr Knoten) und würde mehr Hauptspeicher bedürfen. Dafür muss pro Knoten ("Blatt") weniger Inhalt von Festplatte gelesen werden. Die Knoten/Blätter nennt man bei Datenbanken oft "Pages" (Seiten). Dabei entsprechen die Seiten Speichereinheiten auf einem Medium z.b. auf einer Festplatte. Der Zugriff auf das Medium ist im Vergleich zum Zugriff auf den Hauptspeicher sehr aufwändig (ca. Faktor 1000). Die Indexstruktur/Baumstruktur wird im Hauptspeicher gehalten, so dass man schnell zur Seite zum Suchen oder Einfügen navigieren kann. Erst dann erfolgt der aufwendige Zugriff auf den Inhalt der Seite. 3

4 Regeln zum Einfügen in B Bäume 1. Position für neues Element suchen, dann dort einfügen 2. Prüfen, ob der Knoten danach max. 2k Elemente hat. a) Falls ja: nix, subba b) Falls nein: Überlaufbehandlung Bsp: 3, 2, Überlaufbehandlung Mittleres Element (hier 3) wandert nach oben Es erfolgt ein Split 2 5 Elemente links des verschobenen Elements (hier 2) bleiben auf Blatt Elemente rechts des verschobenen Elements (hier 5) wandern auf das neue Blatt 4

5 Übung: - Baum der Ordnung k=1 - Einfügen: 1, 5, 2, 6, 7, 8, 3, 4 Überlaufbehandlung Mittleres Element (hier 9) wandert nach oben Es erfolgt ein Split Die Elemente links des verschobenen Elements (hier 8) bleiben auf Blatt Die Elemente rechts des verschobenen Elements (hier 11) wandern auf das neue Blatt 5

6 Übung: - Baum der Ordnung k=1 - Einfügen: 1, 5, 2, 6, 7, 8, 3, Überlaufbehandlung Mittleres Element wandert nach oben Es erfolgt ein Split Das Element links des verschobenen Elements bleibt auf Blatt Das Element rechts des verschobenen Elements wandert auf das neue Blatt 6

7 Löschen im B Baum Folgende Fälle Zu löschendes Element ist im Blatt: Elemente löschen, ggf. Unterlaufbehandlung Zu löschendes Element ist in sonstigem Knoten: Element löschen, durch nächstes ersetzen, ggf. Unterlaufbehandlung Keine Unterlaufbehandlung notwendig, es verbleibt die Mindesanzahl von k (=2) Elementen 7

8 Unterlaufbehandlung Fall a): Es verbleiben nicht genügend Elemente auf dem Blatt, aber beide Nachbarseiten inklusive Elternelement haben genügend Elemente für eine Reorganisation. 13, 14, 17, 18, 20, 24 Elemente beider Nachbarblätter und des Elternelements zusammenlegen und neu organisieren: Mittleres Element wird neues Elternelement 8

9 Fall b) : Es verbleiben nicht genügend Elemente und es kann daher NICHT mit dem Elternelement und dem Nachbarblatt ausgeglichen werden. Die beiden benachbarten Seiten/Blätter und das eingeschlossene Elternelement (hier: 20) werde auf eine Seite/ein Blatt zusammengelegt. Dabei wird das Elternelement heruntergezogen. Das kann rekursiv eine weitere Unterlaufbehandlung notwendig machen. (nicht in Klausur : )). siehe: Übungsaufgabe 9

10 Arbeiten mit Datum und Zeit hat den Wert 0! 10