Grundlagen der Informatik / Algorithmen und Datenstrukturen. Aufgabe 143

Transkript

1 Aufgabe 143

2 Aufgabe 143 Aufgabenstellung Gegeben ist der folgende AVL-Baum: a) Fügen Sie in diesen AVL-Baum nacheinander Knoten mit den Inhalten 34, 42, 1701 und 30 ein. Führen Sie die ggf. notwendigen Rebalancierungsschritte durch. Geben Sie für jeden Schritt, den Sie ausführen, den Rotationstyp und den entstehenden Baum an. b) Entwerfen Sie (schriftlich) für die Klasse Tree eine rein rekursive Java-Methode isavltree, die für einen in verketteter Darstellung gegebenen binären Suchbaum, bestehend aus Knoten vom Typ TreeNode, prüft, ob dieser das AVL-Kriterium erfüllt. In diesem Falle soll true zurückgegeben werden, ansonsten false. Die Deklaration maximal einer Hilfsmethode ist zulässig. Vervollständigen Sie die folgende Methodendeklaration: public boolean isavltree () { // v a r i a b l e d e c l a r a t i o n s and program code...

3 Aufgabe 143 zu Aufgabe 143a - Vorgehensweise (Einfügen eines Knotens): siehe Folien N47 bis N57 Durchlaufe von der Wurzel aus einen Suchpfad zur Bestimmung der Einfügeposition und füge den neuen Knoten als Blatt ein. Nur für Knoten auf diesem Pfad kann das AVL-Kriterium verletzt werden! Dann ggf. kritischen Knoten bestimmen (nähester Vater zum neuen Knoten mit BF = ±2): dieser ist Ausgangspunkt der Reorganisation (hier Rotation genannt) Der Pfad vom kritischen zum neuen Knoten legt den Rotationstyp fest BF > 0: gehe nach links BF < 0: gehe nach rechts BF = 0: gehe nach links oder rechts LL- und RR-Rotation: der erste Knoten nach dem kritischen Knoten wird nach oben gezogen LR- und RL-Rotation: der zweite Knoten nach dem kritischen Knoten wird nach oben gezogen Der zu verschiebende Knoten wird zur neuen Wurzel des Unterbaumes, bei dem der kritische Knoten die Wurzel war. Der restliche Baum bleibt unverändert!.

4 Aufgabe 143 zu Aufgabe 143a - Einfügen der Schlüssel 34, 42, 1701, 30:

5 Aufgabe 143 zu Aufgabe 143a - Einfügen der Schlüssel 34, 42, 1701, 30:

6 Aufgabe 143 zu Aufgabe 143b public boolean isavltree () { return ( getavlheight (root) < 0? false : true ); } // Hilfsmethode getavlheight l i e f e r t Höhe des Unterbaumes // oder 1, f a l l s k e i n AVL Baum private int getavlheight ( TreeNode current ) { if ( current == null ) // l e e r e r Baum i s t AVL Baum der Höhe 0 return 0; } // bestimme Höhe des l i n k e n Unterbaums int hl = getavlheight ( current. getleftchild ()); if ( hl < 0 ) return -1; // l i n k e r Unterbaum k e i n AVL Baum // bestimme Höhe des r e c h t e n Unterbaums int hr = getavlheight ( current. getrightchild ()); if ( hr < 0 ) return -1; // r e c h t e r Unterbaum k e i n AVL Baum // bestimme B a l a n c i e r u n g s f a k t o r int bf = hl - hr; if (( bf < -1 ) ( 1 < bf )) return -1; // AVL K r i t e r i u m n i c h t e r f ü l l t // bestimme Höhe (max. Unterbaumhöhe + 1) return (hl > hr? hl + 1 : hr + 1);

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8 Aufgabenstellung a) Zeichnen Sie die Strukturen aller AVL-Bäume der Höhe h = 3. Geben Sie keine Knoteninhalte an b) Gegeben ist der folgende AVL-Baum: Löschen Sie in diesem AVL-Baum nacheinander die Knoten mit den Inhalten 36, 47 und 99 und führen Sie die ggf. notwendigen Rebalancierungsschritte durch. Ersetzen Sie den zu löschenden Knoten immer durch das Minimum des rechten Teilbaums, falls er zwei Söhne hat. Geben Sie für jeden Schritt, den Sie ausführen, den Rotationstyp und den entstehenden Baum an. Tragen Sie zusätzlich bei jedem Knoten den Balancierungsfaktor ein.

9 Aufgabenstellung c) Beweisen Sie durch vollständige Induktion den in der Vorlesung vorgestellten Zusammenhang zwischen der Knotenanzahl n h von Fibonacci-Bäumen der Höhe h und den Fibonacci-Zahlen: n h = Fib(h + 2) 1 für h 0

10 zu a

11 zu b - Vorgehensweise (Löschen eines Knotens): siehe Folien N58 bis N68 Durchlaufe von der Wurzel aus einen Suchpfad zur Bestimmung der Löschposition und lösche den Knoten. Löschpfad Nur für Knoten auf diesem Pfad kann das AVL-Kriterium verletzt werden. zuerst normales Löschen (Blatt, innerer Knoten wie beim natürlichen Suchbaum eventuell andere Löschposition diese bestimmt Löschpfad) Dann ggf. kritischen Knoten bestimmen (nähester Vater mit BF = ±2), dieser ist Ausgangspunkt der Rotation Der Pfad vom kritischen Knoten in den gegenüberliegenden Unterbaum (vom gelöschten Knoten aus gesehen) bestimmt den Rotationstyp

12 zu b - Löschen der Schlüssel 36, 47 und 99:

13 zu b - Löschen der Schlüssel 36, 47 und 99:

14 zu b - Löschen der Schlüssel 36, 47 und 99:

15 zu c - Behauptung: n h = Fib(h + 2) 1 mit n h = Knotenanzahl Fibonacci-Baum der Höhe h, Fibonacci-Zahlen Fib(m): Fib(0) = 0, Fib(1) = 1, Fib(m + 2) = Fib(m + 1) + Fib(m), m 0. - Beweis: