Übersicht. Einfache Suche. Hashing Skip-Lists Mengen Sortieren Order-Statistics. 2 Suchen und Sortieren
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- Nele Huber
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1 Übersicht Einfache Suche Hashing Skip-Lists Mengen Sortieren Order-Statistics
2 (Folie 6, Seite 37 im Skript) Als assoziatives Array geeignet Schlüssel aus geordneter Menge Linke Kinder kleiner, rechte Kinder größer als Elternknoten Externe und interne Knoten Externe Knoten zu einem Sentinel zusammenfassen?
3 (Folie 63, Seite 37 im Skript) Java public class Searchtree K extends Comparable K, D extends AbstractMap K, D { protected Searchtreenode K, D root; Java class Searchtreenode K extends Comparable K, D { K key; D data; Searchtreenode K, D left, right, parent;
4 Suchen (Folie 64, Seite 39 im Skript) Java public D find(k k) { if(root == null) return null; Searchtreenode K, D n = root.findsubtree(k); return n == null? null : n.data; } Im Gegensatz zu Liste: Zusätzlicher Test auf null.
5 Suchen (Folie 65, Seite 39 im Skript) Java Searchtreenode K, D findsubtree(k k) { int c = k.compareto(key); if(c > 0) return right == null? null : right.findsubtree(k); else if(c < 0) return left == null? null : left.findsubtree(k); else return this; } Wieder zusätzlicher Test auf null. Durch Sentinel verhindern! Besser: Iterativ statt rekursiv.
6 Einfügen (Folie 66, Seite 39 im Skript) Wo fügen wir 3 ein? Wie fügen wir es ein? In den richtigen externen Knoten!
7 Einfügen (Folie 66, Seite 39 im Skript) Wo fügen wir 3 ein? Wie fügen wir es ein? In den richtigen externen Knoten!
8 Einfügen (Folie 66, Seite 39 im Skript) Wo fügen wir 3 ein? Wie fügen wir es ein? In den richtigen externen Knoten!
9 Einfügen (Folie 67, Seite 39 im Skript) Java public void insert(k k, D d) { if(root == null) root = newnode(k, d); else root.insert(newnode(k, d)); }
10 Einfügen (Folie 68, Seite 39 im Skript) Java public void insert(searchtreenode K, D n) { int c = n.key.compareto(key); if(c < 0) { if(left null) left.insert(n); else { left = n; left.parent = this; } } else if(c > 0) { if(right null) right.insert(n); else { right = n; right.parent = this; } } else copy(n); }
11 Löschen (Folie 69, Seite 39 im Skript) Beim Löschen unterscheiden wir drei Fälle: Blatt (einfach) Der Knoten hat kein linkes Kind (einfach) Der Knoten hat ein linkes Kind (schwierig) Damit sind alle Fälle abgedeckt! Warum kein Fall: Kein rechtes Kind?
12 Löschen (Folie 69, Seite 39 im Skript) Beim Löschen unterscheiden wir drei Fälle: Blatt (einfach) Der Knoten hat kein linkes Kind (einfach) Der Knoten hat ein linkes Kind (schwierig) Damit sind alle Fälle abgedeckt! Warum kein Fall: Kein rechtes Kind?
13 Löschen (Folie 70, Seite 39 im Skript) Löschen eines Blatts: Ein Blatt kann durch Zeigerverbiegen gelöscht werden.
14 Löschen (Folie 70, Seite 39 im Skript) Löschen eines Blatts: Ein Blatt kann durch Zeigerverbiegen gelöscht werden.
15 Löschen (Folie 70, Seite 39 im Skript) Löschen eines Blatts: Ein Blatt kann durch Zeigerverbiegen gelöscht werden.
16 Löschen (Folie 70, Seite 39 im Skript) Löschen eines Blatts: Ein Blatt kann durch Zeigerverbiegen gelöscht werden.
17 Löschen (Folie 71, Seite 39 im Skript) Löschen eines Knotens ohne linkes Kind: Wir können kopieren oder Zeiger verbiegen.
18 Löschen (Folie 71, Seite 39 im Skript) Löschen eines Knotens ohne linkes Kind: Wir können kopieren oder Zeiger verbiegen.
19 Löschen (Folie 7, Seite 39 im Skript) Löschen eines Knotens mit linkem Kind: Finde den größten Knoten im linken Unterbaum Kopiere seinen Inhalt 3 Lösche ihn
20 Löschen (Folie 7, Seite 39 im Skript) Löschen eines Knotens mit linkem Kind: Finde den größten Knoten im linken Unterbaum Kopiere seinen Inhalt 3 Lösche ihn
21 Löschen (Folie 7, Seite 39 im Skript) Löschen eines Knotens mit linkem Kind: Finde den größten Knoten im linken Unterbaum Kopiere seinen Inhalt 3 Lösche ihn
22 Löschen (Folie 7, Seite 39 im Skript) Löschen eines Knotens mit linkem Kind: Finde den größten Knoten im linken Unterbaum Kopiere seinen Inhalt 3 Lösche ihn
23 Löschen (Folie 73, Seite 39 im Skript) In der Klasse Searchtree K, D : Java public void delete(k k) { if(root == null) return; if(root.left == null && root.right == null && root.key == k) root = null; else { Searchtreenode K, D n = root.findsubtree(k); if(n null) n.delete(); } }
24 Löschen (Folie 74, Seite 39 im Skript) Java void delete() { if(left == null && right == null) { if(parent.left == this) parent.left = null; else parent.right = null; } else if(left == null) { if(parent.left == this) parent.left = right; else parent.right = right; right.parent = parent; } else { Searchtreenode K, D max = left; while(max.right null) max = max.right; copy(max); max.delete(); }
25 Löschen (Folie 75, Seite 39 im Skript) In Searchtree K, D jetzt korrekt: Java public void delete(k k) { if(root == null) return; if(root.key.equals(k)) if(root.left == null && root.right == null) { root = null; return; } else if(root.left == null) { root = root.right; root.parent = null; return; } Searchtreenode K, D n = root.findsubtree(k); if(n null) n.delete(); }
26 Beispiel (Folie 76, Seite 39 im Skript) Die Schlüssel von 1 bis 40 werden zufällig eingefügt oder gelöscht.
27 Analyse (Folie 77, Seite 39 im Skript) Summe schlechte Näherung des Maximums
28 Analyse (Folie 78, Seite 39 im Skript) Summe gute Näherung des Maximums. Die Kurven sind steiler
29 Analyse (Folie 78, Seite 39 im Skript) Summe gute Näherung des Maximums. Die Kurven sind steiler
30 Analyse (Folie 79, Seite 40 im Skript) Wir fügen die Knoten 1,..., n in zufälliger Reihenfolge in einen leeren Suchbaum ein. Sei T n die Höhe dieses Suchbaums. Wir interessieren uns für E(T n ).
31 (Folie 80, Seite 40 im Skript) Wir betrachten erst einmal T 0, T 1, T und T 3 : E(T 0 ) = 0 E(T 1 ) = 1 E(T ) = E(T 3 ) = 8/
32 (Folie 80, Seite 40 im Skript) Wir betrachten erst einmal T 0, T 1, T und T 3 : E(T 0 ) = 0 E(T 1 ) = 1 E(T ) = E(T 3 ) = 8/
33 (Folie 80, Seite 40 im Skript) Wir betrachten erst einmal T 0, T 1, T und T 3 : E(T 0 ) = 0 E(T 1 ) = 1 E(T ) = E(T 3 ) = 8/
34 (Folie 80, Seite 40 im Skript) Wir betrachten erst einmal T 0, T 1, T und T 3 : E(T 0 ) = 0 E(T 1 ) = 1 E(T ) = E(T 3 ) = 8/
35 (Folie 80, Seite 40 im Skript) Wir betrachten erst einmal T 0, T 1, T und T 3 : E(T 0 ) = 0 E(T 1 ) = 1 E(T ) = E(T 3 ) = 8/
36 (Folie 81, Seite 41 im Skript) Allgemeiner Fall: Die Wurzel des Baums enthält W {1,..., n}. Pr[W = k] = 1/n für k {1,..., n} Wie sieht der Rest des Baums aus, falls W = k? In den linken Teilbaum wurden {1,..., k 1} in zufälliger Reihenfolge eingefügt. Seine Höhe ist T k 1. Die Höhe des rechten Teilbaums ist T n k. Die Gesamthöhe ist T n = max{t k 1, T n k } + 1.
37 (Folie 81, Seite 41 im Skript) Allgemeiner Fall: Die Wurzel des Baums enthält W {1,..., n}. Pr[W = k] = 1/n für k {1,..., n} Wie sieht der Rest des Baums aus, falls W = k? In den linken Teilbaum wurden {1,..., k 1} in zufälliger Reihenfolge eingefügt. Seine Höhe ist T k 1. Die Höhe des rechten Teilbaums ist T n k. Die Gesamthöhe ist T n = max{t k 1, T n k } + 1.
38 (Folie 81, Seite 41 im Skript) Allgemeiner Fall: Die Wurzel des Baums enthält W {1,..., n}. Pr[W = k] = 1/n für k {1,..., n} Wie sieht der Rest des Baums aus, falls W = k? In den linken Teilbaum wurden {1,..., k 1} in zufälliger Reihenfolge eingefügt. Seine Höhe ist T k 1. Die Höhe des rechten Teilbaums ist T n k. Die Gesamthöhe ist T n = max{t k 1, T n k } + 1.
39 (Folie 81, Seite 41 im Skript) Allgemeiner Fall: Die Wurzel des Baums enthält W {1,..., n}. Pr[W = k] = 1/n für k {1,..., n} Wie sieht der Rest des Baums aus, falls W = k? In den linken Teilbaum wurden {1,..., k 1} in zufälliger Reihenfolge eingefügt. Seine Höhe ist T k 1. Die Höhe des rechten Teilbaums ist T n k. Die Gesamthöhe ist T n = max{t k 1, T n k } + 1.
40 (Folie 8, Seite 41 im Skript) Die Gesamthöhe ist T n = max{t k 1, T n k } + 1. E(T n ) = 1 n n k=1 E(max{T k 1, T n k } + 1) Wir können das Maximum durch die Summe abschätzen: E(T n ) 1 n n ( ) E(T k 1 ) + E(T n k ) + 1 k=1 Leider zu grob! Führt zu einer schlechten Abschätzung.
41 (Folie 8, Seite 41 im Skript) Die Gesamthöhe ist T n = max{t k 1, T n k } + 1. E(T n ) = 1 n n k=1 E(max{T k 1, T n k } + 1) Wir können das Maximum durch die Summe abschätzen: E(T n ) 1 n n ( ) E(T k 1 ) + E(T n k ) + 1 k=1 Leider zu grob! Führt zu einer schlechten Abschätzung.
42 (Folie 8, Seite 41 im Skript) Die Gesamthöhe ist T n = max{t k 1, T n k } + 1. E(T n ) = 1 n n k=1 E(max{T k 1, T n k } + 1) Wir können das Maximum durch die Summe abschätzen: E(T n ) 1 n n ( ) E(T k 1 ) + E(T n k ) + 1 k=1 Leider zu grob! Führt zu einer schlechten Abschätzung.
43 Problem: E(max{X, Y }) E(X ) + E(Y ) korrekt, aber zu ungenau. (Folie 83, Seite 41 im Skript) E(max{X, Y }) max{e(x ), E(Y )} genau genug, aber zu unkorrekt. Führe neue Zufallsvariablen ein: ˆT n = Tn, ˆT n = T n, ˆT n = T n ET n = 1 n E ˆT n = 1 n Die Kurven sind jetzt steiler! n 1 ( ) E max{t k, T n k 1 } + 1 n 1 ( E max{t k,t }+1) n k 1
44 Problem: E(max{X, Y }) E(X ) + E(Y ) korrekt, aber zu ungenau. (Folie 83, Seite 41 im Skript) E(max{X, Y }) max{e(x ), E(Y )} genau genug, aber zu unkorrekt. Führe neue Zufallsvariablen ein: ˆT n = Tn, ˆT n = T n, ˆT n = T n ET n = 1 n E ˆT n = 1 n Die Kurven sind jetzt steiler! n 1 ( ) E max{t k, T n k 1 } + 1 n 1 ( E max{t k,t }+1) n k 1
45 Problem: E(max{X, Y }) E(X ) + E(Y ) korrekt, aber zu ungenau. (Folie 83, Seite 41 im Skript) E(max{X, Y }) max{e(x ), E(Y )} genau genug, aber zu unkorrekt. Führe neue Zufallsvariablen ein: ˆT n = Tn, ˆT n = T n, ˆT n = T n ET n = 1 n E ˆT n = 1 n Die Kurven sind jetzt steiler! n 1 ( ) E max{t k, T n k 1 } + 1 n 1 ( E max{t k,t }+1) n k 1
46 Problem: E(max{X, Y }) E(X ) + E(Y ) korrekt, aber zu ungenau. (Folie 83, Seite 41 im Skript) E(max{X, Y }) max{e(x ), E(Y )} genau genug, aber zu unkorrekt. Führe neue Zufallsvariablen ein: ˆT n = Tn, ˆT n = T n, ˆT n = T n ET n = 1 n E ˆT n = 1 n Die Kurven sind jetzt steiler! n 1 ( ) E max{t k, T n k 1 } + 1 n 1 ( E max{t k,t }+1) n k 1
47 (Folie 84, Seite 4 im Skript) Vereinfachen wir diese Rekursionsgleichung zunächst: E ˆT n = 1 n n 1 ( E max{t k,t }+1) n k 1 = = 1 n n 1 E ( max{ T ) k, T n k 1 n 1 } = n n n 1 E ( ˆT k + ˆT n k 1 }) = n n 1 E ( max{ ˆT k, ˆT n k 1 }) ( E ˆT k + E ˆT k } ) = 4 n 1 E ˆT k n Diese Rekursionsgleichung läßt sich mit Standardmethoden lösen. Vorlesung Analyse von Algorithmen
48 (Folie 84, Seite 4 im Skript) Vereinfachen wir diese Rekursionsgleichung zunächst: E ˆT n = 1 n n 1 ( E max{t k,t }+1) n k 1 = = 1 n n 1 E ( max{ T ) k, T n k 1 n 1 } = n n n 1 E ( ˆT k + ˆT n k 1 }) = n n 1 E ( max{ ˆT k, ˆT n k 1 }) ( E ˆT k + E ˆT k } ) = 4 n 1 E ˆT k n Diese Rekursionsgleichung läßt sich mit Standardmethoden lösen. Vorlesung Analyse von Algorithmen
49 (Folie 84, Seite 4 im Skript) Vereinfachen wir diese Rekursionsgleichung zunächst: E ˆT n = 1 n n 1 ( E max{t k,t }+1) n k 1 = = 1 n n 1 E ( max{ T ) k, T n k 1 n 1 } = n n n 1 E ( ˆT k + ˆT n k 1 }) = n n 1 E ( max{ ˆT k, ˆT n k 1 }) ( E ˆT k + E ˆT k } ) = 4 n 1 E ˆT k n Diese Rekursionsgleichung läßt sich mit Standardmethoden lösen. Vorlesung Analyse von Algorithmen
50 (Folie 85, Seite 4 im Skript) E ˆT n = 4 n Wir lösen diese Gleichung nicht. n 1 E ˆT k Wir zeigen nur, daß E ˆT n (n + 3) 3 = (n + 3)(n + )(n + 1): n = 1: E ˆT 1 = (1 + 3) 3 n > 1: E ˆT n 4 n n 1 I.V. E ˆT k 4 n 1 (k + 3) 3 = (n + 3) 3. n
51 (Folie 85, Seite 4 im Skript) E ˆT n = 4 n Wir lösen diese Gleichung nicht. n 1 E ˆT k Wir zeigen nur, daß E ˆT n (n + 3) 3 = (n + 3)(n + )(n + 1): n = 1: E ˆT 1 = (1 + 3) 3 n > 1: E ˆT n 4 n n 1 I.V. E ˆT k 4 n 1 (k + 3) 3 = (n + 3) 3. n
52 (Folie 85, Seite 4 im Skript) E ˆT n = 4 n Wir lösen diese Gleichung nicht. n 1 E ˆT k Wir zeigen nur, daß E ˆT n (n + 3) 3 = (n + 3)(n + )(n + 1): n = 1: E ˆT 1 = (1 + 3) 3 n > 1: E ˆT n 4 n n 1 I.V. E ˆT k 4 n 1 (k + 3) 3 = (n + 3) 3. n
53 (Folie 86, Seite 43 im Skript) Polynome verhalten sich gut beim Integrieren. Lemma x 0 t k dt = x k+1 k + 1 n 1 i k = nk+1 k + 1 i=0 Fallende Potenzen verhalten sich gut beim Summieren.
54 (Folie 87, Seite 43 im Skript) Lemma Es seien p 1,..., p n [0, 1] mit p p n = 1. Des weiteren seien w 1,..., w n 0. Dann gilt n k=1 w kp k n w k p k. k=1
55 (Folie 88, Seite 43 im Skript) Beweis. Wir betrachten f (t) = a t + b (1 t) und g(t) = at+b(1 t) im Einheitsintervall. Es sei a b. f ist linear g ist überall links- oder rechtsgekrümmt: Denn g (t) = g(t)(ln ) (a b). O.B.d.A. a > b, dann ist g rechtsgekrümmt. f (0) = g(0) f (1) = g(1) f (t) g(t) Daraus folgt für n =. n k=1 w kp k n w k p k k=1
56 (Folie 88, Seite 43 im Skript) Beweis. Wir betrachten f (t) = a t + b (1 t) und g(t) = at+b(1 t) im Einheitsintervall. Es sei a b. f ist linear g ist überall links- oder rechtsgekrümmt: Denn g (t) = g(t)(ln ) (a b). O.B.d.A. a > b, dann ist g rechtsgekrümmt. f (0) = g(0) f (1) = g(1) f (t) g(t) Daraus folgt für n =. n k=1 w kp k n w k p k k=1
57 (Folie 89, Seite 43 im Skript) Beweis. Für n > gilt: ( n 1 ) n k=1 kp k = npn+ n 1 k=1 kp k = npn+ kp k k=1 (1 p n) 1 pn I.V. n n 1 kp k p n + k=1 1 pn (1 p n ) I.V. (n 1 n p n + k p ) k (1 p n ) = 1 p n k=1 n = k p k k=1
58 (Folie 90, Seite 44 im Skript) Kommen wir zurück zu E ˆT n (n + 3) 3. Es gilt: Und damit: ETn = n k=1 k Pr[Tn=k] n k Pr[T n = k] = E( Tn ) k=1 ET n log(e ˆT n ) log((n + 3) 3 ) = log(n 3 (1 + O(1/n)) = 3 log(n) + O(1/n) Fertig!
59 (Folie 91, Seite 45 im Skript) Theorem (Mittlere Höhe eines Suchbaums) Werden in einen leeren binären Suchbaum n verschiedene Schlüssel in zufälliger Reihenfolge eingefügt, dann ist die erwartete Höhe des entstehenden Suchbaums O(log n). Wir verzichten auf eine Analyse für gemischtes Einfügen und Löschen. Hier ist nicht so viel bekannt. Experimente zeigen gutes Verhalten.
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(Folie 69, Seite 36 im Skript) 5 6 1 4 Als assoziatives Array geeignet Schlüssel aus geordneter Menge Linke Kinder kleiner, rechte Kinder größer als Elternknoten Externe und interne Knoten Externe Knoten
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