Binäre Suchbäume. Mengen, Funktionalität, Binäre Suchbäume, Heaps, Treaps
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- Käthe Schmitt
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1 Binäre Suchbäume Mengen, Funktionalität, Binäre Suchbäume, Heaps, Treaps
2 Mengen n Ziel: Aufrechterhalten einer Menge (hier: ganzer Zahlen) unter folgenden Operationen:
3 Mengen n Ziel: Aufrechterhalten einer Menge (hier: ganzer Zahlen) unter folgenden Operationen: n Einfügen eines Elements n Löschen eines Elements
4 Mengen n Ziel: Aufrechterhalten einer Menge (hier: ganzer Zahlen) unter folgenden Operationen: n Einfügen eines Elements n Löschen eines Elements n Suchen eines Elements
5 Mengen n Ziel: Aufrechterhalten einer Menge (hier: ganzer Zahlen) unter folgenden Operationen: n Einfügen eines Elements n Löschen eines Elements n Suchen eines Elements n Anforderung: effizient auch bei grossen Mengen!
6 Mengen: Anwendungen (I) n Telefonbuch (Menge von Namen mit zugehörigen Telefonnummern) n Einfügen: Neue Telefonanschlüsse n Löschen: Aufgegebene Telefonanschlüsse n Suchen: Telefonnummer einer Person
7 Mengen: Anwendungen (II) n Nutzerverwaltung (Menge von Nutzern mit Passwörtern und/oder weiteren Informationen) n Einfügen: Neue Nutzer n Löschen: Ex-Nutzer n Suchen: Einloggen
8 Mengen: Anwendungen (II) n Nutzerverwaltung (Menge von Nutzern mit Passwörtern und/oder weiteren Informationen) n Einfügen: Neue Nutzer n Löschen: Ex-Nutzer n Suchen: Einloggen n Effizienz: Keine Wartezeit beim Einloggen, auch bei Millionen von Nutzern.
9 Mengen: Lösung mit Listen n Menge wird als Liste gespeichert
10 Mengen: Lösung mit Listen n Menge wird als Liste gespeichert. n Einfügen: zum Beispiel vorne anfügen (effizient)
11 Mengen: Lösung mit Listen n Menge wird als Liste gespeichert. n Einfügen: zum Beispiel vorne anfügen (effizient)
12 Mengen: Lösung mit Listen n Menge wird als Liste gespeichert. n Löschen: Durchlaufen der Liste bis zum Element (oder bis zum Ende, falls nicht vorhanden), Zeiger umhängen
13 Mengen: Lösung mit Listen n Menge wird als Liste gespeichert. n Suchen: Durchlaufen der Liste bis zum Element (oder bis zum Ende, falls nicht vorhanden)
14 Mengen: Lösung mit Listen n Falls die Menge n Elemente enthält, so ist der Aufwand fürs Suchen eines Elements im schlimmsten Fall proportional zu n.
15 Mengen: Lösung mit Listen n Falls die Menge n Elemente enthält, so ist der Aufwand fürs Suchen eines Elements im schlimmsten Fall proportional zu n. n Facebook: Zeit zum Einloggen wäre proportional zur Anzahl der Nutzer.
16 Mengen: Lösung mit Listen n Beispiel: Suche nach den letzten 100 Elementen in einer Liste von 10,000,000 Elementen
17 Mengen: Lösung mit Listen n Beispiel: Suche nach den letzten 100 Elementen in einer Liste von 10,000,000 Elementen List l; for (int i=0; i< ; ++i) l.push_front(i); //...and search for the 100 first ones for (int i=0; i<100; ++i) l.find(i);
18 Mengen: Lösung mit Listen n Beispiel: Suche nach den letzten 100 Elementen in einer Liste von 10,000,000 Elementen List l; for (int i=0; i< ; ++i) l.push_front(i); //...and search for the 100 first ones for (int i=0; i<100; ++i) l.find(i); 6.5 Sekunden
19 Mengen: Lösung mit Listen n Beispiel: Suche nach den letzten 100 Elementen in einer Liste von 10,000,000 Elementen List l; for (int i=0; i< ; ++i) l.push_front(i); dauern! //...and search for the 100 first ones for (int i=0; i<100; ++i) l.find(i); Facebook hat 1,000,000,000 Nutzer, eine Suche würde 6.5 Sekunden 6.5 Sekunden
20 Mengen: Lösung mit Listen n Beispiel: Suche nach den letzten 100 Elementen in einer Liste von 10,000,000 Elementen n Finden eines Elements: const Node* List::find (int key) { } for (const Node* p = head_; p!= 0; p = p>get_next()) if (p->get_key() == key) return p; return 0;
21 Mengen: Lösung mit Binären Suchbäumen. n Falls die Menge n Elemente enthält, so ist der Aufwand fürs Suchen eines Elements im schlimmsten Fall proportional zu log 2 n. n Facebook: Zeit zum Einloggen ist proportional zum Logarithmus der Anzahl der Nutzer.
22 Mengen: Lösung mit Binären Suchbäumen. n Falls die Menge n Elemente enthält, so ist der Aufwand fürs Suchen eines Elements im schlimmsten Fall proportional zu log 2 n. n Facebook: Zeit zum Einloggen ist proportional zum Logarithmus der Anzahl der Nutzer. log 2 (1,000,000,000) 30.
23 Mengen: Lösung mit Binären Suchbäumen. n Falls die Menge n Elemente enthält, so ist der Aufwand fürs Suchen eines Elements im schlimmsten Fall proportional zu log 2 n. n Auch Einfügen und Löschen geht in Zeit proportional to log 2 n.
24 Binärbäume, Definition und Terminologie n Ein binärer Baum ist entweder leer,...
25 Binärbäume, Definition und Terminologie n Ein binärer Baum ist entweder leer,... n oder er besteht aus einem Knoten (Kreis) n mit einem Schlüssel (hier: ganze Zahl),... 3
26 Binärbäume, Definition und Terminologie n Ein binärer Baum ist entweder leer,... n oder er besteht aus einem Knoten (Kreis) n mit einem Schlüssel (hier: ganze Zahl),... n und einem linken und rechten Teilbaum, die jeweils Binärbäume sind. 3
27 Binärbäume, Definition und Terminologie n Ein binärer Baum ist entweder leer,... n oder er besteht aus einem Knoten (Kreis) n mit einem Schlüssel (hier: ganze Zahl),... n und einem linken und rechten Teilbaum, die jeweils Binärbäume sind. 3 Wurzel des Baums Linker Teilbaum Rechter Teilbaum
28 Binäre Suchbäume n Ein Binärbaum heisst binärer Suchbaum, wenn er leer ist, oder wenn folgende Bedingungen gelten: n Sowohl der linke als auch der rechte Teilbaum sind binäre Suchbäume. n Der Schlüssel der Wurzel ist n > alle Schlüssel im linken Teilbaum, und n alle Schlüssel im rechten Teilbaum.
29 Binäre Suchbäume: Beispiel
30 Binäre Suchbäume: Beispiel Blätter des Baums
31 Binäre Suchbäume: Suchen nach einem Schlüssel 4 5?
32 Binäre Suchbäume: Suchen nach einem Schlüssel 4 = 5? nein
33 Binäre Suchbäume: Suchen nach einem Schlüssel ja 4 > 5? Nein, also muss die 5 rechts sein
34 Binäre Suchbäume: Suchen nach einem Schlüssel = 5? nein
35 Binäre Suchbäume: Suchen nach einem Schlüssel 4 3 Ja, also muss die 8 5 links sein. > 5? 1 nein
36 Binäre Suchbäume: Suchen nach einem Schlüssel = 5? nein
37 Binäre Suchbäume: Suchen nach einem Schlüssel Ja, also muss die 5 links sein. 6 > 5? 9 nein 2 5 7
38 Binäre Suchbäume: Suchen nach einem Schlüssel = 5? 7 Ja, Schlüssel gefunden!
39 Binäre Suchbäume: Suchen nach einem Schlüssel 4 0? müsste links von der 1 sein, Teilbaum ist aber leer 0 nicht da
40 Mengen: Lösung mit binären Suchbäumen n Speichere die Elemente der Menge als Schlüssel in einem binären Suchbaum!
41 Mengen: Lösung mit binären Suchbäumen n Speichere die Elemente der Menge als Schlüssel in einem binären Suchbaum! n Suchzeit ist proportional zur Höhe des Baums (Länge des längsten Pfades von der Wurzel bis zu einem Blatt).
42 Mengen: Lösung mit binären Suchbäumen Höhe 3 7
43 Mengen: Lösung mit binären Suchbäumen n Speichere die Elemente der Menge als Schlüssel in einem binären Suchbaum! n Suchzeit ist proportional zur Höhe des Baums (Länge des längsten Pfades von der Wurzel bis zu einem Blatt). n Einfügen und Löschen von Elementen?
44 Binäre Suchbäume: Einfügen n Neues Element suchen und als Blatt an der passenden Stelle anhängen!
45 Binäre Suchbäume: Einfügen 4 0 einfügen müsste links von der 1 sein, Teilbaum ist aber leer neues Blatt 2 5 7
46 Binäre Suchbäume: Einfügen 4 0 einfügen
47 Binäre Suchbäume: Einfügen n Neues Element suchen und als Blatt an der passenden Stelle anhängen! n Auch die Einfügezeit ist proportional zur Höhe des Baums.
48 Binäre Suchbäume: Löschen n Element suchen, seinen Knoten durch Rotationen zu einem Blatt machen, Blatt löschen!
49 Binäre Suchbäume: Löschen n Element suchen, seinen Knoten durch Rotationen zu einem Blatt machen, Blatt löschen! n Rotation: lokale Operation, welche die Positionen von Knoten verändert, nicht jedoch die Suchbaumeigenschaften.
50 Rotation eines Teilbaums s t B A B
51 Rotation eines Teilbaums s t C A B A < t B < s C
52 Rotation eines Teilbaums Rechtsrotation s t t s C A A B B C A < t B < s C = A < t B < s C
53 Rotation eines Teilbaums Rechtsrotation s Linksrotation t t s C A A B B C A < t B < s C = A < t B < s C
54 Binäre Suchbäume: Löschen 4 8 löschen
55 Binäre Suchbäume: Löschen 4 8 löschen C A 7 B Rechtsrotation (Linksrotation wäre auch möglich)
56 Binäre Suchbäume: Löschen 4 8 löschen A 8 2 B 7 9 C
57 Binäre Suchbäume: Löschen 4 8 löschen 3 6 B und C sind leere Bäume A 7 9 Linksrotation (Rechtsrotation wäre auch möglich) B C
58 Binäre Suchbäume: Löschen 4 8 löschen 3 6 B und C sind leere Bäume A 8 B C 7
59 Binäre Suchbäume: Löschen 4 8 löschen 3 6 A, B, C sind leere Bäume C Rechtsrotation (Linksrotation wäre nicht möglich) A 7 B
60 Binäre Suchbäume: Löschen 4 8 löschen 3 6 A, B, C sind leere Bäume A B 8 C
61 Binäre Suchbäume: Löschen 4 8 löschen delete 8
62 Binäre Suchbäume: Löschen n Element suchen, seinen Knoten durch Rotationen zu einem Blatt machen, Blatt löschen! n Rotation: lokale Operation, welche die Positionen von Knoten verändert, nicht jedoch die Suchbaumeigenschaften. n Auch die Löschzeit ist proportional zur Höhe des Baums (nicht mehr ganz so offensichtlich)
63 Die Höhe eines binären Suchbaums... n bestimmt die Laufzeit des n Suchens, n Einfügens, n Löschens.
64 Die Höhe eines binären Suchbaums... n bestimmt die Laufzeit des n Suchens, n Einfügens, n Löschens. n kann aber bereits bei einer ungünstigen Einfügereihenfolge sehr gross werden!
65 Die Höhe eines binären Suchbaums... n bestimmt die Laufzeit des n Suchens, n Einfügens, n Löschens. n kann aber bereits bei einer ungünstigen Einfügereihenfolge sehr gross werden! n Laufzeit im schlimmsten Fall nicht besser als bei einer Liste!
66 Die Höhe eines binären Suchbaums... Beispiel: Einfügen in sortierter Reihenfolge 1
67 Die Höhe eines binären Suchbaums... Beispiel: Einfügen in sortierter Reihenfolge 1 2
68 Die Höhe eines binären Suchbaums... Beispiel: Einfügen in sortierter Reihenfolge 1 2 3
69 Die Höhe eines binären Suchbaums... Beispiel: Einfügen in sortierter Reihenfolge Höhe = n-1, Baum sieht aus und verhält sich wie eine Liste. n
70 Abhilfe: Balancierung n Beim Einfügen und Löschen stets darauf achten, dass der Baum balanciert ist, (d.h. keine grossen Höhenunterschiede zwischen linken und rechten Teilbäumen)
71 Abhilfe: Balancierung n Beim Einfügen und Löschen stets darauf achten, dass der Baum balanciert ist, (d.h. keine grossen Höhenunterschiede zwischen linken und rechten Teilbäumen) n Verschiedene Möglichkeiten (mehr oder weniger kompliziert): n AVL-Bäume, Rot-Schwarz-Bäume,...
72 Abhilfe: Balancierung n Beim Einfügen und Löschen stets darauf achten, dass der Baum balanciert ist, (d.h. keine grossen Höhenunterschiede zwischen linken und rechten Teilbäumen) n Verschiedene Möglichkeiten (mehr oder weniger kompliziert): n AVL-Bäume, Rot-Schwarz-Bäume,... n Hier: Treaps (randomisierte Suchbäume)
73 Treap = Tree + Heap n Ein Binärbaum heisst Heap, wenn er leer ist, oder wenn folgende Bedingungen gelten: n Sowohl der linke als auch der rechte Teilbaum sind Heaps. n Der Schlüssel der Wurzel ist n das Maximum aller Schlüssel.
74 Heap: Schlüssel heissen Prioritäten n Ein Binärbaum heisst Heap, wenn er leer ist, oder wenn folgende Bedingungen gelten: n Sowohl der linke als auch der rechte Teilbaum sind Heaps. n Die Priorität der Wurzel ist n das Maximum aller Prioritäten.
75 Heap: Beispiel
76 Treaps n Ein Binärbaum heisst Treap, wenn jeder Knoten einen Schlüssel und eine Priorität hat, so dass folgende Eigenschaften gelten: n Der Baum ist ein binärer Suchbaum bzgl. der Schlüssel. n Der Baum ist ein Heap bzgl. der Prioritäten.
77 Treap: Beispiel Schlüssel Prioritäten 4, 9 3, 7 8, 8 1, 4 6, 6 9, 5 2, 3 5, 2 7, 1
78 Treaps: Eindeutigkeit n Satz: Für n Knoten mit verschiedenen Schlüsseln und Prioritäten gibt es genau einen Treap mit diesen Knoten.
79 Treaps: Eindeutigkeit n Satz: Für n Knoten mit verschiedenen Schlüsseln und Prioritäten gibt es genau einen Treap mit diesen Knoten. n Beweis: Die Wurzel ist der Knoten mit der höchsten Priorität; im linken Teilbaum sind alle Knoten mit kleineren und im rechten Teilbaum alle Knoten mit grösseren Schlüsseln. Mit Induktion sind die Teilbäume auch eindeutig.
80 Treaps mit zufälligen Prioritäten n Wir benutzen einen Treap als binären Suchbaum.
81 Treaps mit zufälligen Prioritäten n Wir benutzen einen Treap als binären Suchbaum. n Beim Einfügen eines neuen Schlüssels wird seine Priorität zufällig gewählt.
82 Treaps mit zufälligen Prioritäten n Wir benutzen einen Treap als binären Suchbaum. n Beim Einfügen eines neuen Schlüssels wird seine Priorität zufällig gewählt. n Wie bei normalen binären Suchbäumen: neuer Knoten wird neues Blatt.
83 Treaps mit zufälligen Prioritäten n Wir benutzen einen Treap als binären Suchbaum. n Beim Einfügen eines neuen Schlüssels wird seine Priorität zufällig gewählt. n Wie bei normalen binären Suchbäumen: neuer Knoten wird neues Blatt. n Zusätzlich muss die Treap-Eigenschaft wieder hergestellt werden!
84 Treaps: Einfügen 4, 9 0 einfügen, mit zufälliger Priorität 7.5 3, 7 8, 8 1, 4 6, 6 9, 5 2, 3 5, 2 7, 1
85 Treaps: Einfügen 4, 9 0 einfügen, mit zufälliger Priorität 7.5 3, 7 8, 8 1, 4 6, 6 9, 5 0, 7.5 2, 3 5, 2 7, 1 Neues Blatt
86 Treaps: Einfügen 4, 9 0 einfügen, mit zufälliger Priorität 7.5 3, 7 8, 8 1, 4 6, 6 9, 5 Heap-Eigenschaft verletzt: 4 < 7.5 0, 7.5 2, 3 5, 2 7, 1
87 Treaps: Einfügen 4, 9 0 einfügen, mit zufälliger Priorität 7.5 3, 7 8, 8 1, 4 6, 6 9, 5 0, 7.5 2, 3 5, 2 7, 1 Rechtsrotation!
88 Treaps: Einfügen 4, 9 0 einfügen, mit zufälliger Priorität 7.5 3, 7 8, 8 0, 7.5 6, 6 9, 5 1, 4 2, 3 5, 2 7, 1
89 Treaps: Einfügen 4, 9 0 einfügen, mit zufälliger Priorität 7.5 3, 7 8, 8 0, 7.5 Heap-Eigenschaft verletzt: 7 < 7.5 6, 6 9, 5 1, 4 2, 3 5, 2 7, 1
90 Treaps: Einfügen 4, 9 0 einfügen, mit zufälliger Priorität 7.5 3, 7 8, 8 0, 7.5 6, 6 9, 5 1, 4 2, 3 5, 2 Rechtsrotation! 7, 1
91 Treaps: Einfügen 4, 9 0 einfügen, mit zufälliger Priorität 7.5 0, 7.5 8, 8 3, 7 6, 6 9, 5 1, 4 2, 3 5, 2 7, 1
92 Treaps: Einfügen 4, 9 0 einfügen, mit zufälliger Priorität 7.5 0, 7.5 Heap-Eigenschaft ok, wir haben wieder einen Treap! 8, 8 3, 7 6, 6 9, 5 1, 4 2, 3 5, 2 7, 1
93 Treaps: Löschen n Element suchen, seinen Knoten durch Rotationen zu einem Blatt machen, Blatt löschen!
94 Treaps: Löschen n Element suchen, seinen Knoten durch Rotationen zu einem Blatt machen, Blatt löschen! n Stets so rotieren, dass der Knoten mit seinem Nachfolger höherer Priorität vertauscht wird. Das erhält die Heap- Eigenschaft.
95 Treaps: Löschen n Element suchen, seinen Knoten durch Rotationen zu einem Blatt machen, Blatt löschen! n Stets so rotieren, dass der Knoten mit seinem Nachfolger höherer Priorität vertauscht wird. Das erhält die Heap- Eigenschaft. n Suchbaum-Eigenschaft gilt wieder nach Löschen des Blatts.
96 Treaps: Laufzeit n Satz (Seidel, Aragon 1996): In einem Treap über n Knoten mit zufälligen Prioritäten ist der zeitliche Aufwand für eine Einfüge-, Lösch- oder Suchoperation im Erwartungswert proportional zu log 2 n.
97 Treaps: Laufzeit n Satz (Seidel, Aragon 1996): In einem Treap über n Knoten mit zufälligen Prioritäten ist der zeitliche Aufwand für eine Einfüge-, Lösch- oder Suchoperation im Erwartungswert proportional zu log 2 n. n Mehr dazu in der nächsten Stunde.
98 Mengen: Lösung mit Treaps n Zur Erinnerung: Suche nach den letzten 100 Elementen in einer Liste von 10,000,000 Elementen List l; for (int i=0; i< ; ++i) l.push_front(i); //...and search for the 100 first ones for (int i=0; i<100; ++i) l.find(i); 6.5 Sekunden
99 Mengen: Lösung mit Treaps n Neu: Suche nach den letzten 100 Elementen in einem Treap von 10,000,000 Elementen Treap t; for (int i=0; i< ; ++i) t.insert(i); //...and search for the 100 first ones for (int i=0; i<100; ++i) t.find(i); Sekunden
100 Sortieren mit Treaps n Folgerung: Durch Einfügen einer Folge von n Zahlen in einen Treap mit zufälligen Prioritäten kann die Folge in Zeit proportional zu n log 2 n sortiert werden.
101 Sortieren mit Treaps n Folgerung: Durch Einfügen einer Folge von n Zahlen in einen Treap mit zufälligen Prioritäten kann die Folge in Zeit proportional zu n log 2 n sortiert werden. n Gleicher optimaler Proportionalitätsfaktor wie Mergesort
102 Sortieren mit Treaps n Folgerung: Durch Einfügen einer Folge von n Zahlen in einen Treap mit zufälligen Prioritäten kann die Folge in Zeit proportional zu n log 2 n sortiert werden. n Gleicher optimaler Proportionalitätsfaktor wie Mergesort n Das Treap-basierte Verfahren ist im wesentlichen äquivalent zu Quicksort.
103 Treaps in C++ n Aehnlich wie bei Listen: n Klasse TreapNode für die Knoten n Jeder TreapNode speichert ausser Schlüssel und Priorität zwei Zeiger auf TreapNodes (linkes und rechtes Kind = Wurzeln des linken und rechten Teilbaums)
104 Treaps in C++ n Aehnlich wie bei Listen: n Klasse TreapNode für die Knoten n Jeder TreapNode speichert ausser Schlüssel und Priorität zwei Zeiger auf TreapNodes (linkes und rechtes Kind = Wurzeln des linken und rechten Teilbaums) n Klasse Treap; jeder Treap ist durch einen Zeiger auf den Wurzelknoten repräsentiert.
105 Die Klasse TreapNode class TreapNode! {! public:! // constructor! TreapNode( int key, int priority, TreapNode* left = 0, TreapNode* right = 0);!! // Getters! int get_key() const;! int get_priority() const;! const TreapNode* get_left() const;! const TreapNode* get_right() const;!!! private:! int key_;! double priority_;! TreapNode* left_;! TreapNode* right_;!! friend class Treap;! };!
106 Die Klasse TreapNode class TreapNode! {! public:! // constructor! TreapNode( int key, int priority, TreapNode* left = 0, TreapNode* right = 0);!! // Getters! int get_key() const;! int get_priority() const;! const TreapNode* get_left() const;! const TreapNode* get_right() const;!!! private:! int key_;! double priority_;! TreapNode* left_;! TreapNode* right_;!! friend class Treap;! };! Wie bei Facebook: Freunde dürfen auf private Daten und Methoden (Mitgliedsfunktionen) zugreifen.
107 Die Klasse Treap Die Viererbande class Treap { public: // default constructor: // POST: *this is an empty tree Treap(); // copy constructor // POST *this is a copy of other Treap(const Treap& other); // assignment operator // Post: other was assigned to *this Treap& operator= (const Treap& other); Konstruktor Copy- Konstruktor Zuweisungsoperator // Destructor ~Treap(); Destruktor
108 Die Klasse Treap Die Viererbande + Wurzel class Treap { public: // default constructor: // POST: *this is an empty tree Treap(); // copy constructor // POST *this is a copy of other Treap(const Treap& other); // assignment operator // Post: other was assigned to *this Treap& operator= (const Treap& other); Konstruktor Copy- Konstruktor Zuweisungsoperator // Destructor ~Treap(); private: TreapNode* root_; Destruktor Zeiger auf die Wurzel (0: leerer Treap)
109 Die Klasse Treap Einfügen void Treap::insert(const int key)! {! insert (root_, key, std::rand());! }!
110 Die Klasse Treap Einfügen void Treap::insert(const int key)! {! insert (root_, key, std::rand());! }! private Hilfsfunktion Zufällige Priorität
111 Die Klasse Treap Einfügen // PRE: current is a pointer in *this // POST: a new TreapNode with key and priority is inserted into the // subtree hanging off current void Treap::insert (TreapNode*& current, const int key, const int priority) { if (current == 0) current = new TreapNode (key, priority); else if (key < current->key_) { } insert (current->left_, key, priority); if (priority > current->get_priority()) rotate_right (current); } else { insert (current->right_, key, priority); } if (priority > current->get_priority()) rotate_left (current);
112 Die Klasse Treap Einfügen // PRE: current is a pointer in *this // POST: a new TreapNode with key and priority is inserted into the // subtree hanging off current void Treap::insert (TreapNode*& current, const int key, const int priority) { } if (current == 0) current = new TreapNode (key, priority); else if (key < current->key_) { insert (current->left_, key, priority); if (priority > current->get_priority()) rotate_right (current); } else { insert (current->right_, key, priority); } if (priority > current->get_priority()) rotate_left (current); 9, 10 current verweist auf eine leere Blattposition. 8, 8 current
113 Die Klasse Treap Einfügen // PRE: current is a pointer in *this // POST: a new TreapNode with key and priority is inserted into the // subtree hanging off current void Treap::insert (TreapNode*& current, const int key, const int priority) { } if (current == 0) current = new TreapNode (key, priority); else if (key < current->key_) { insert (current->left_, key, priority); if (priority > current->get_priority()) rotate_right (current); } else { insert (current->right_, key, priority); } if (priority > current->get_priority()) rotate_left (current); 9, 10 current verweist auf eine leere Blattposition. 8, 8 current 9, 10
114 Die Klasse Treap Einfügen // PRE: current is a pointer in *this // POST: a new TreapNode with key and priority is inserted into the // subtree hanging off current void Treap::insert (TreapNode*& current, const int key, const int priority) { } if (current == 0) current = new TreapNode (key, priority); else if (key < current->key_) { insert (current->left_, key, priority); if (priority > current->get_priority()) rotate_right (current); } else { insert (current->right_, key, priority); } if (priority > current->get_priority()) rotate_left (current); 9, 10 current verweist auf eine leere Blattposition. 8, 8 current 9, 10 Damit das klappt, muss current ein Alias des entsprechenden Zeigers im Baum sein, keine Kopie!
115 Die Klasse Treap Einfügen // PRE: current is a pointer in *this // POST: a new TreapNode with key and priority is inserted into the // subtree hanging off current void Treap::insert (TreapNode*& current, const int key, const int priority) { } if (current == 0) current = new TreapNode (key, priority); else if (key < current->key_) { insert (current->left_, key, priority); if (priority > current->get_priority()) rotate_right (current); } else { insert (current->right_, key, priority); } if (priority > current->get_priority()) rotate_left (current); 9, 10 current verweist auf eine leere Blattposition. 8, 8 current 9, 10 Heap-Eigenschaft ist noch verletzt; das wird weiter oben in der Rekursion repariert.
116 Die Klasse Treap Einfügen // PRE: current is a pointer in *this // POST: a new TreapNode with key and priority is inserted into the // subtree hanging off current void Treap::insert (TreapNode*& current, const int key, const int priority) { } if (current == 0) current = new TreapNode (key, priority); else 9 8 if (key < current->key_) { insert (current->left_, key, priority); if (priority > current->get_priority()) rotate_right (current); } else { insert (current->right_, key, priority); } if (priority > current->get_priority()) rotate_left (current); 9, 10 current verweist auf einen Knoten. 8, 8 current
117 Die Klasse Treap Einfügen // PRE: current is a pointer in *this // POST: a new TreapNode with key and priority is inserted into the // subtree hanging off current void Treap::insert (TreapNode*& current, const int key, const int priority) { } if (current == 0) current = new TreapNode (key, priority); else if (key < current->key_) { insert (current->left_, key, priority); if (priority > current->get_priority()) rotate_right (current); } else { insert (current->right_, key, priority); } if (priority > current->get_priority()) rotate_left (current); 9, 10 current verweist auf einen Knoten. A 8, 8 current 9, 10
118 Die Klasse Treap Einfügen // PRE: current is a pointer in *this // POST: a new TreapNode with key and priority is inserted into the // subtree hanging off current void Treap::insert (TreapNode*& current, const int key, const int priority) { } if (current == 0) current = new TreapNode (key, priority); else if (key < current->key_) { insert (current->left_, key, priority); if (priority > current->get_priority()) rotate_right (current); } else { 10 8 insert (current->right_, key, priority); } if (priority > current->get_priority()) rotate_left (current); 9, 10 current verweist auf einen Knoten. A 8, 8 current 9, 10
119 Die Klasse Treap Einfügen // PRE: current is a pointer in *this // POST: a new TreapNode with key and priority is inserted into the // subtree hanging off current void Treap::insert (TreapNode*& current, const int key, const int priority) { } if (current == 0) current = new TreapNode (key, priority); else if (key < current->key_) { insert (current->left_, key, priority); if (priority > current->get_priority()) rotate_right (current); } else { insert (current->right_, key, priority); } if (priority > current->get_priority()) rotate_left (current); 9, 10 current verweist auf einen Knoten. 8, 8 current 9, 10
120 Die Klasse Treap Einfügen // PRE: current is a pointer in *this // POST: a new TreapNode with key and priority is inserted into the // subtree hanging off current void Treap::insert (TreapNode*& current, const int key, const int priority) { } if (current == 0) current = new TreapNode (key, priority); else if (key < current->key_) { insert (current->left_, key, priority); if (priority > current->get_priority()) rotate_right (current); } else { insert (current->right_, key, priority); } if (priority > current->get_priority()) rotate_left (current); A 9, 10 current verweist auf einen Knoten. 8, 8 9, 10 current
121 Die Klasse Treap Einfügen // PRE: current is a pointer in *this // POST: a new TreapNode with key and priority is inserted into the // subtree hanging off current void Treap::insert (TreapNode*& current, const int key, const int priority) { } if (current == 0) current = new TreapNode (key, priority); else if (key < current->key_) { insert (current->left_, key, priority); if (priority > current->get_priority()) rotate_right (current); } else { insert (current->right_, key, priority); } if (priority > current->get_priority()) rotate_left (current); A 9, 10 current verweist auf einen Knoten. 8, 8 9, 10 current Fertig!
Mengen. Binäre Suchbäume. Mengen: Anwendungen (II) Mengen: Lösung mit Listen 12/3/12. Mengen, Funktionalität, Binäre Suchbäume, Heaps, Treaps
// Mengen Binäre Suchbäume Mengen, Funktionalität, Binäre Suchbäume, Heaps, Treaps n Ziel: ufrechterhalten einer Menge (hier: ganzer Zahlen) unter folgenden Operationen: n eines Elements n eines Elements
Binäre Suchbäume. Mengen, Funktionalität, Binäre Suchbäume, Heaps, Treaps
Binäre Suchbäume Mengen, Funktionalität, Binäre Suchbäume, Heaps, Treaps Mengen n Ziel: Aufrechterhalten einer Menge (hier: ganzer Zahlen) unter folgenden Operationen: Mengen n Ziel: Aufrechterhalten einer
7 Weitere Baumstrukturen und Heapstrukturen
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