Algorithmen und Datenstrukturen. Bäume. M. Herpers, Y. Jung, P. Klingebiel

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Jesko Kohler
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1 Algorithmen und Datenstrukturen Bäume M. Herpers, Y. Jung, P. Klingebiel 1

2 Lernziele Baumstrukturen und Ihre Verwendung kennen Grundbegriffe zu Bäumen anwenden können Baumstruktur in C anlegen können Suchbäume aufstellen können und die Komplexität der Suche bestimmen können 2

3 Nicht-Lineare Datenstrukturen Bisher nur listenartige Strukturen betrachtet In Liste liegt jedes Element zwischen Vorgänger u. Nachfolger In Baum hat ein Element höchstens einen Vorgänger, aber evtl. mehrere Nachfolger Reihenfolge von oben nach unten wichtig: kein Element kann mehr als einen direkten Vorgänger haben Beziehung zw. Elementen entspricht in Realität oft der Beziehung "ist-teil-von" oder "ist-art-von" Baum eine der wichtigsten nicht-linearen Datenstrukturen Bäume erlauben Implementierung von Algorithmen, die viel schneller als solche sind, die lineare Datenstrukturen nutzen 3

4 Beispiele von Bäumen Stammbäume Unternehmenshierarchien DOM-Tree (bei HTML/XML) Verzeichnis-Struktur Arithmetische Ausdrücke Teile-Beziehungen (z.b. bei CAD) Objektorientierte Systeme (Klassenbibliotheken) Deutschland Vertrieb International Europa Asien Afrika 4

Bsp. Stammbaum http://www.gestuetaltefeld.

5 Bsp. Stammbaum eb_alchimist_stamm baum_517.jpg 5

6 Bsp. Rechenbaum ( ) * * 3 + * *

7 Bsp. DOM-Tree <html> <head> <title>beispiel</title> </head> <body> <h1>bla Blubb</h1> <div> Mehr Text im Absatz </div> </body> </html> html head body title h1 div #text #text #text HTML-Dokument aufgebaut als Baum mit Knoten (DOM) Wurzel (Root) in HTML ist <html>-element 7

8 Baum (Tree) Datenstruktur mit folgenden Eigenschaften: Es gibt genau eine Wurzel (root) Jeder Knoten (node), bis auf Wurzel, hat genau eine Kante zu einem Elternknoten (parent) Element wird dann auch als Kind (child) bezeichnet In Baum hat Element also höchstens einen Vorgänger, aber evtl. mehrere Nachfolger Jeder Knoten ohne Kinder heißt Blatt (leaf) Alle anderen Knoten sind innere Knoten Binärer Baum (Binary Tree) Jeder Knoten hat maximal zwei Kinder 8

9 Baum (Tree) 7 Wert 3 8 Linker Nachfolger Rechter Nachfolger 9

10 Binärer Baum Ist entweder leer oder besteht aus Wurzel mit linkem und rechtem binären Unterbaum Unterbäume können auch leer sein Kante Pfad Wurzel Innerer Knoten Niveau 0 Niveau 1 Niveau 2 Blatt Niveau 3 Teil-/Unterbaum 10

11 Grundbegriffe Pfad in Baum ist Folge von Knoten p 0,, p n, so dass jeweils p i Vater von p i+1 ist Knotenpaar (p i, p i+1 ) heißt Kante (für 0 ii nn) Kante: Verbindung eines Knotens zur Wurzel eines Unterbaums Länge eines Pfades: Anzahl der Kanten auf Pfad Niveau (level) eines Knotens Länge des Pfades von Wurzel bis zum Knoten Höhe h eines Baums Größtes Niveau eines Knotens plus 1 Anzahl Knoten in längstem Pfad von Wurzel bis Blatt 11

12 Bäume N-ärer Baum: maximal N direkte Kinder Geordneter Baum Unter Kindern gibt es bestimmte Reihenfolge Unausgewogener bzw. nicht ausgeglichener Baum Niveau-Differenz zweier Blattknoten ist größer als eins Vollständiger Baum Jeder Pfad von Wurzel zu einem Blatt ist gleichlang Alle Blätter haben gleiches Niveau und alle möglichen Kinder sind vorhanden Anzahl n der Knoten in vollständigem Binärbaum der Höhe h: nn = 2 h 1 h = log 2 (nn + 1) 12

13 Übung Höhe eines vollständigen binären Baumes berechnen Wie viele Knoten hat ein vollständiger binärer Baum der Höhe 3? 13

14 Traversierung Datenstruktur in bestimmter Reihenfolge durchlaufen Bei binären Bäumen folgende Möglichkeiten (Start mit Wurzelknoten): Pre-order (Knoten links rechts) Post-order (links rechts Knoten) In-order (links Knoten rechts) Level-order Level Order 14

15 Traversierung Pre-order (K l r) Zuerst Knoten (K) besuchen (d.h. etwas damit tun), anschließend zuerst linken (l), dann rechten (r) Teilbaum besuchen Post-order (l r K) Zuerst linken (l), dann rechten (r) Teilbaum besuchen und anschließend Knoten (K) selbst In-order (l K r) Zuerst linken (l) Teilbaum, dann Knoten (K) und anschließend rechten (r) Teilbaum besuchen Level-order Beginnend bei Wurzel (Root) werden die Ebenen von links nach rechts durchlaufen (sog. Breitensuche) Tiefensuche 15

16 Traversierung - Beispiel Pre-order: Post-order: 5 In-order:

17 Bäume traversieren Pre-order (rekursiv): Algorithmus preorder( knoten ) print( knoten ) if knoten.links null then preorder( knoten.links ) if knoten.rechts null then preorder( knoten.rechts ) F, B, A, D, C, E, G, I, H 18

18 Übung 1 (Traversieren) Post-order (rekursiv): Algorithmus postorder( knoten ) if knoten.links null then postorder( knoten.links ) if knoten.rechts null then postorder( knoten.rechts ) print( knoten ) A, C, E, D, B, H, I, G, F Was müsste man hier für In-Order ändern? 19

19 Anwendung Post-Order Anwendung der Postorder-Traversierung Umgekehrte polnische Notation (UPN) * 3 2 * + Rekursive Operation liefert Wert von Unterbaum zurück Bei Verarbeitung innerer Knoten (Operator) werden Werte beider Teilbäume kombiniert (Zahlenwerte in Blättern)

20 Queue aus Baum erzeugen (Level-Order) Algorithmus levelorder(root) q createqueue() enqueue(q, root) while (!empty(q)) do node dequeue(q) print(node) if (node.left null) then enqueue(q, node.left) if (node.right null) then enqueue(q, node.right) 21

21 Umsetzung in C BINÄRBÄUME 22

22 Binäre Bäume Darstellung eines Baumes (Beispiel) 23

23 Binäre Bäume in C Graphische Darstellung eines Knotens Hinweis: data kann beliebiger Datentyp sein C-Code: struct node { int data; struct node *left; struct node *right; }; left data right struct node *root = NULL; 24

24 Implementierung in C typedef struct node { int data; struct node *left, *right; } Tree; Erzeugung eines Knotens: Tree *b = (Tree*)malloc(sizeof(Tree)); if (b!= NULL) { b->left = NULL; b->right = NULL; b->data = 42; } 25

25 SUCHBÄUME 26

26 Binärer Suchbaum Binärbaum heißt sortiert nach <, falls Ausgabe der Knoteninhalte beim Inorder-Durchlauf diese aufsteigend sortiert liefert Binärer Suchbaum ist spezielle Implementierung der abstrakten Datenstruktur Suchbaum Elemente eines binären Suchbaumes liegen sortiert vor Ausgehend von Wurzel kann jeder Knoten zwei Nachfolger haben Nachfolger sind in bestimmter Ordnung angegeben, z.b. in alphabetischer Häufig keine doppelten Elemente enthalten 27

27 Binärer Suchbaum Sonderform eines binären Baums bei dem Knoten des linken Teilbaums eines Knotens nur kleinere (oder gleiche) Schlüssel besitzen Knoten des rechten Teilbaums eines Knotens nur größere (oder gleiche) Schlüssel besitzen Suchen viel schneller als in anderen Datenstrukturen In einem wohl ausgewogenen Binärbaum (bester Fall) findet man in Komplexität O (log 2 n), was man sucht In degeneriertem Baum (schlechtester Fall) in O (n) Schlechtester Fall 28

28 Rekursive Suche Algorithmus BinTreeSR(k, x) Input Wurzel k des zu durchsuchenden Teilbaums, gesuchtes Element x Output Knoten mit gesuchtem Element bzw. NULL, wenn x nicht gefunden wurde if k = NULL return NULL else if x = k.data return k else if x < k.data then return BinTreeSR(k.left, x) else return BinTreeSR(k.right, x) 29

29 Beispiel adr1 9 Schritt k k.data adr2 adr adr adr5 30

30 Einfügen in binären Suchbaum Zum Einfügen wird passendes Blatt s gesucht Dazu wird bei jedem inneren Knoten der gespeicherte Wert betrachtet Dann Suche nach s im linken Unterbaum (Wert ist kleiner) oder im rechten Unterbaum (Wert größer) fortsetzen Anschließend wird Blatt s um beide Kinder erweitert und Wert in neuen Knoten eingefügt < 6 2 > > s s

31 Übung 1 Fügen Sie die Schlüssel 30, 40, 24, 58, 48, 26, 11, 13 in genau dieser Reihenfolge in einen Anfangs leeren binären Suchbaum ein Zeichnen Sie den resultierenden binären Suchbaum Lösung:

32 Übung 2 Beispiel für Aufbau eines Suchbaums: is now the for men of time all good party their to aid come 1. Wortweise einsortieren: now is the time for all good men to come to the aid of their party 2. Ggfs. zählen, wie oft Wort vorkommt 33

33 C: Knoten sortiert einfügen void insert(tree **b, int i) { if (*b == NULL) *b = create(i); else { if ((*b)->data > i) Enthält Adresse insert(&((*b)->left), i); else insert(&((*b)->right), i); } } 34

34 Exkurs: AVL-Bäume Laufzeit bei binärem Suchbaum in ungünstigstem Fall linear von Anzahl Knoten abhängig ( nicht besser als listenbasierte Implementierung!) AVL-Baum ist binärer Suchbaum, bei dem sich für jeden inneren Knoten Höhen beider Kinder höchstens um 1 unterscheiden AVL-Bäume (Adelson-Velski und Landis, 1962) sind balancierte Suchbäume Jeder Unterbaum eines AVL-Baums ist wieder AVL-Baum Worst-Case-Performance: O(log 2 n) Beispiel siehe rechts: Neben Knoten stehen jeweilige Höhen Höhe eines Knotens definiert als maximaler Abstand zu Blatt

35 Lernziele Baumstrukturen und Ihre Verwendung kennen Grundbegriffe zu Bäumen anwenden können Baumstruktur in C anlegen können Suchbäume aufstellen können und die Komplexität der Suche bestimmen können 36

36 FRAGEN? 37

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