Datenstrukturen und Algorithmen. Vorlesung 14

Transkript

1 Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 14

2 Inhaltsverzeichnis Vorige Woche: Binäre Suchbäume AVL Bäume Heute betrachten wir: AVL Bäume Prüfung

3 AVL Bäume Definition: Ein AVL (Adelson-Velskii Landis) Baum ist ein Binärsuchbaum mit folgender Eigenschaft (AVL Baumeigenschaft) Falls x ein Knoten des AVL Baumes ist, dann ist der Unterschied der Höhen zwischen dem linken und dem rechten Teilbaum von x 0, 1 oder -1 (Balancierungsinformation) Bemerkung: Ein leerer AVL Baum hat die Höhe -1 Die Höhe eines Knotens ist 0

4 AVL Bäume Rotationen Es kann sein, dass die Einfüge- oder Löschoperation die AVL Eigenschaft verletzt In diesem Fall, muss die AVL Eigenschaft mithilfe von Rotationen aufbewahrt werden Nach einer Einfügeoperatioen, können nur die Höhen der Knoten auf dem Pfad zu dem eingefügten Knoten geändert werden Man überprüft die Balancierungsinformation und wenn man einen Knoten finden, der die AVL Eigenschaft verletzt, dann führt man eine Rotation aus

5 AVL Bäume Rotationen Fall 1 Lösung: einfache Rotation nach rechts

6 AVL Bäume Rotationen Fall 1

7 AVL Bäume Rotationen Fall 4 Lösung: einfache Rotation nach links

8 AVL Bäume Rotationen Fall 4

9 AVL Bäume Rotationen Fall 2 Lösung: doppelte Rotation nach rechts

10 AVL Bäume Rotationen Fall 2

11 AVL Bäume Rotationen Fall 3 Lösung: doppelte Rotation nach links

12 AVL Bäume Rotationen Fall 3

13 Wir fangen mit einem leeren AVL Baum an Füge 2 ein Brauchen wir eine Rotation? Nein Füge 11 ein

14 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Nein Füge 20 ein

15 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Ja, eine einfache Rotation nach links

16 Nach der Rotation: Füge 7 ein

17 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Nein Füge 9 ein

18 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Ja, eine einfache Rotation nach links für den Knoten 2

19 Nach der Rotation: Füge 50 ein

20 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Nein Füge 19 ein

21 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Nein Füge 25 ein

22 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Nein Füge 29 ein

23 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Ja, eine doppelte Rotation nach rechts für den Knoten 50

24 Nach der Rotation: Füge 21 ein

25 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Ja, eine doppelte Rotation nach links für den Knoten 20

26 Nach der Rotation: Füge 57 ein

27 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Ja, eine einfache Rotation nach links für den Knoten 29

28 Nach der Rotation: Füge 53 ein

29 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Ja, eine einfache Rotation nach links für den Knoten 11

30 Nach der Rotation: Füge 30 ein

31 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Nein Füge 31 ein

32 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Ja, eine einfache Rotation nach links für den Knoten 29

33 Nach der Rotation: Füge 33 ein

34 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Nein Füge 8 ein

35 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Nein Füge 17 ein

36 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Nein Füge 5 ein

37 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Nein Füge 46 ein

38 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Ja, eine einfache Rotation nach links für den Knoten 31

39 Nach der Rotation: Füge 1 ein

40 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Nein Lösche 50

41 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Ja, eine doppelte Rotation nach rechts für den Knoten 53

42 Nach der Rotation: Lösche 25

43 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Nein Lösche 20

44 Brauchen wir eine Rotation? Falls ja, welche Rotation? Ja, eine einfache Rotation nach rechts für den Knoten 21

45 Nach der Rotation:

46 Vergleich zwischen AVL und BST Wenn wir anstatt den AVL Baum einen Binärsuchbaum benutzten würden, dann sieht der Binärsuchbaum nach den Einfügeoperationen folgendermaßen aus:

47

48 AVL Baum - Repräsentierung Welche Datenstrukturen brauchen wir? AVLNode: info: TComp left: AVLNode right: AVLNode h: Integer //Höhe des Knotens AVLTree: root: AVLNode

49 AVL Baum Implementierung Wir wollen die Einfügeoperation für den AVL Baum einfügen Wir brauchen ein paar Hilfsoperationen für das Einfügen: Ein Subalgorithmus, der die Höhe eines Knotens neu berechnet Ein Subalgorithmus, der den Balancierungsfaktor eines Knotens berechnet Vier Subalgorithmen für die unterschiedlichen Rotationen (wir implementieren einen davon) Wir nehmen an, dass es eine Funktion createnode gibt, welche einen Knoten mit dem gegebenen Wert erstellt und zurückgibt (mit NIL für das linke und rechte Kind, und Höhe 0)

50 AVL Baum Höhe eines Knotens subalgorithm recomputeheight(node) is: //pre: node ist ein AVLNode. Alle Nachkommen von node haben die Höhe (h) auf den //richtigen Wert gesetzt //post: falls node NIL, h von node wird auf den richtigen Wert gesetzt if node NIL then if [node].left = NIL and [node].right = NIL then [node].h 0 else if [node].left = NIL then [node].h [[node].right].h + 1 else if [node].right = NIL then [node].h [[node].left].h + 1 else [node].h max ([[node].left].h, [[node].right].h) + 1 end-if end-if end-subalgorithm Komplexität: Θ(1)

51 AVL Baum Höhe eines Knotens function balancefactor(node) is: //pre: node ist ein AVLNode. Alle Nachkommen von node haben die Höhe (h) auf //den richtigen Wert gesetzt //post: gibt den Balancierungsfaktor des Knotens zurück if [node].left = NIL and [node].right = NIL then balancefactor 0 else if [node].left = NIL then balancefactor -1 - [[node].right].h //height of empty tree is -1 else if [node].right = NIL then balancefactor [[node].left].h + 1 else balancefactor [[node].left].h - [[node].right].h end-if end-subalgorithm Komplexität: Θ(1)

52 AVL Baum Rotationen Aus den vier Rotationen implementieren wir eine, die doppelte Rotation nach rechts (DRR) Die anderen drei können ähnlich implementiert werden (SRR simple right rotation, SLR simple left rotation, DLR double left rotation)

53 AVL Baum - DRR function DRR(node) is: //pre: node ist ein AVLNode auf welchem man die doppelte Rotation nach rechts // ausführt //post: DRR gibt die neue Wurzel zurück, nach der Rotation k2 node k1 [node].left k3 [k1].right k3left [k3].left k3right [k3].right //man muss die Links umsetzen (reset) newroot k3 [newroot].left k1 [newroot].right k2 [k1].right k3left [k2].left k3right //Fortsetzung auf der nächsten Folie

54 AVL Baum - DRR //man muss die Höhe der geänderten Knoten neu berechnen recomputeheight(k1) recomputeheight(k2) recomputeheight(newroot) DRR newroot end-function Komplexität: Θ(1)

55 AVL Baum insert function insertrec(node, elem) is //pre: node ist ein AVLNode, elem ist der Wert, den man in dem Teilbaum mit // Wurzel node einfügen muss //post: insertrec gibt die neue Wurzel des Teilbaumes nach dem Einfügen zurück if node = NIL then insertrec createnode(elem) else if elem [node].info then [node].left insertrec([node].left, elem) else [node].right insertrec([node].right, elem) end-if //Fortsetzung auf der nächsten Folie

56 AVL Baum insert recomputeheight(node) balance getbalancefactor(node) if balance = -2 then //der rechte Teilbaum hat die größere Höhe, also man braucht eine Rotation //nach LINKS rightbalance getbalancefactor([node].right) if rightbalance < 0 then //der rechte Teilbaum des rechten Teilbaums hat die größere Höhe, SLR node SLR(node) else node DLR(node) end-if //Fortsetzung auf der nächsten Folie

57 AVL Baum insert else if balance = 2 then //der linke Teilbaum hat die größere Höhe, also man braucht eine Rotation //nach RECHTS leftbalance getbalancefactor([node].left) if leftbalance > 0 then // der linke Teilbaum des linken Teilbaums hat die größere Höhe, SRR node SRR(node) else node DRR(node) end-if end-if insertrec node end-function

58 AVL Baum insert Komplexität des Algorithmus insertrec: O(log 2 n) Da insertrec einen Zeiger zu einem Knoten als Eingabeparamter hat, braucht man eine Wrapper Funktion: subalgorithm insert(tree, elem) is //pre: tree ist ein AVL Tree, elem ist das Element zum Einfügen //post: elem wurde in tree eingefügt tree.root insertrec(tree.root, elem) end-subalgorithm Die Löschoperation kann ähnlich implementiert werden (man löscht ein Element wie in einem BST und man führt Rotationen aus, falls nötig)

59 Projekt Vorträge Die Vorträge finden am Freitag, 15. Juni, und am Montag, 18. Juni, statt Raum und genaue Zeit für jede Gruppe findet ihr auf der Website Jeder Student muss mit seiner Gruppe kommen Bringe die Projektdokumentation ausgedruckt! Sei vorbereitet kleine Änderungen an dem Projekt zu implementieren. Ohne richtige Implementierung der Änderungen ist die Projektnote 4.

60 Projekt Note Für das Bestehen der Prüfung braucht ihr wenigstens Note 5 auf dem Projekt Wenn ihr weniger als 5 auf dem Projekt habt, müsst ihr das Projekt für die zweite Prüfung (restante) verbessern/neu implementieren

61 Schriftliche Prüfung um 8.00 in C335 ODER um 8.00 in C335 Bitte Datum auswählen und hier einschreiben: 02zrjzaSsWoGpB79-760BRFnFF8oTg/edit#gid=0

62 Schriftliche Prüfung Dauert Stunden Für das Bestehen der Prüfung braucht ihr wenigstens Note 5

63 Schriftliche Prüfung - unterschiedliche Aufgaben Aufgaben mit kurzen Antworten, wie zum Beispiel: füge etwas in dem BST Baum ein lösche einen Knoten aus einem binären Heap merge zwei binomiale Heaps Implementierungsaufgaben (für die Datenstrukturen, die wir in der Vorlesung besprochen haben): Für einen bestimmten Container wähle die beste Repräsentierung, sodass die Operation X die Komplexität Y hat/minimale Komplexität hat und implementiere diese Operation Implementiere eine bestimmte Operation für den gegebenen Container mit einer gegebenen Repräsentierung

64 Schriftliche Prüfung - unterschiedliche Aufgaben Fragen der Form: Wähle die richtige Antwort aus a,b,c,d und erkläre Bestimmt eine Frage der Form: denke nach Eine Aufgabe mit Bäumen Versuche die Datenstrukturen und Algorithmen zu verstehen und nicht auswendig zu lernen!!