Datenstrukturen und Algorithmen. Vorlesung 5

Transkript

1 Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5

2 Inhaltsverzeichnis Vorige Woche: Sortierte Listen Zyrkuläre Listen Verkettete Listen auf Arrays Heute betrachten wir: Skip Listen ADT Set ADT Map Iterator ADT Matrix

3 Skip Liste Nehmen wir an, dass wir eine sortierte Sequenz speichern wollen. Die Elemente können in unterschiedlichen Datenstrukturen gespeichert werden: dynamisches Array verkettete Liste Was für eine Komplexität hat die Einfüge-Operation? Man kann die Einfüge-Operation in zwei Schritte teilen: die Position suchen und dann das neue Element einfügen

4 Skip Liste Die Suche geht offensichtlich schneller, wenn man Elemente überspringen (skip) kann Skip Liste Nehmen wir z.b. an, dass es nicht nur von jedem Knoten ein Zeiger auf den nächsten, sondern darüberhinaus auch von jedem zweiten Knoten einen Zeiger auf den übernächsten Knoten gibt Man kann dieses Prinzip wiederholen, sodass die Liste eine Zugriffsstruktur ähnlich wie die der binären Bäume bekommt

5 Skip Liste H und T sind zwei spezielle Knoten, die dem Head und Tail entsprechen Diese können nicht gelöscht werden, sie bleiben auch wenn die Liste leer ist

6 Skip Liste Man fängt vom Head an und von dem höchsten Niveau Wenn möglich, geht man nach rechts weiter Wenn man nicht nach rechts gehen kann (das nächste Element ist größer als das gesuchte Element), dann geht man ein Niveau nach unten

7 Skip Liste Das untere Niveau enthält alle n Elemente Das nächste Niveau enthält n 2 Elemente Das nächste Niveau enthält n 4 Elemente,... Es gibt also ungefähr log 2 n Niveaus Man überprüft von jedem Niveau höchsten 2 Knoten Die Komplexität der Suchoperation: O(log 2 n)

8 Skip Liste Insert Füge 21 ein: Welches Niveau sollte der neue Knoten haben?

9 Skip Liste Insert Das Niveau eines Knotens wird zufällig ausgewählt (random), aber so dass ungefähr die Hälfte der Knoten auf Niveau 2 sind, ein Viertel der Knoten auf Niveau 3, usw. Wir nehmen an, dass der neue Knoten das Niveau 3 hat

10 Skip Liste Skip Listen sind probabilistische Datenstrukturen, da die Höhe/Niveau eines neuen Knotens randomisiert berechnet wird Es kann ein schlimmster Fall geben, wo jeder Knoten die Höhe 1 hat (also es ist eine normale verkettete Liste) Im Praxis funktionieren Skip Listen gut

11 ADT Set Ein Set/Menge ist ein Container, deren Elemente eindeutig sind, wobei die Reihenfolge der Elemente keine Rolle spielt (die Elemente haben keine entsprechende Positionen) Es gibt keine Operationen basierend auf Positionen Die Elemente sind nicht unbedingt in derselben Reihenfolge gespeichert, in der sie eingefügt wurden Domäne für ADT Set: S = {s s ist ein Set mit Elementen vom Typ TElem}

12 Set Interface init(s) descr: erstellt einen leeren Set pre: wahr post: s S, s ist einen leeren Set add(s, e) descr: fügt ein neues Element zu dem Set ein pre: s S, e TElem post: s S, s = s {e} (TElem e wird in dem Set eingefügt nur falls er noch nicht in dem Set enthalten war, ansonsten bleibt s unverändert)

13 Set Interface remove(s, e) descr: löscht ein Element aus dem Set pre: s S, e TElem post: s S, s = s {e} (Falls e nicht in s enthalten war, dann bleibt s unverändert) find(s, e) descr: sucht ob ein Element in dem Set enthalten ist pre: s S, e TElem wahr, falls e s post: find ቊ falsch, ansonsten

14 Set Interface size(s) descr: gibt die Anzahl der Element aus dem Set zurück pre: s S post: size Anzahl der Elemente aus s iterator(s, i) descr: gibt ein Iterator für einen Set zurück pre: s S post: i I, i ist ein Iterator für s

15 Set Interface destroy(s) descr: zerstört einen Set pre: s S post: s wurde zerstört

16 Set Interface Andere mögliche Operationen (spezifisch für mathematische Mengen): Vereinigung zweier Mengen Durchschnitt zweier Mengen Differenz zweier Mengen

17 SortedSet In einem Set können die Elemente basierend auf einer Ordnungsrelation sortiert werden SortedSet Die einzigen Änderungen zu dem Interface sind bei der init Operation, wo man auch die Relation als Parameter hat Für einen sortierten Set muss der Iterator die Elemente in der Reihenfolge gegeben von der Relation durchlaufen

18 Set Um ADT Set (oder ADT SortedSet) zu implementieren kann man folgende Datenstrukturen für die Repräsentierung benutzen: (dynamisches) Array Verkettete Liste Hashtabellen (balancierte) Binärbäume für sortierte Sets Skip Listen für sortierte Sets

19 ADT Map Eine Map ist ein Container dessen Elemente Paare der Form <key, value> sind Jeder Schlüssel darf in einer Map nur genau einmal vorhanden sein (eindeutig) Jeder Schlüssel hat genau einen zugehörigen Wert (falls es eine Liste von Werten ist, dann redet man von MultiMap) Man kann auf den Wert nur mit Hilfe des Schlüssels zugreifen (es gibt keine Positionen in einer Map) Wen man eine Map implementiert, dann braucht man eine Datenstruktur, in der es einfach ist einen Schlüssel zu finden

20 Map Beispiele für das Benutzen von Maps: Bankkonto: Kontonummer als Schlüssel und alle zugehörige Informationen als Wert Student Id als Schlüssel und alle Informationen über den Student als Wert Domäne von ADT Map: M = {m m ist ein Map mit Elementen e = (k, v), wobei k TKey und v TValue}

21 Map Interface init(m) descr: erstellt eine leere Map pre: wahr post: m M, m ist eine leere Map destroy(m) descr: zerstört eine Map pre: m M post: m wurde zerstört

22 Map Interface add(m, k, v) descr: fügt ein neues key-value Paar zu dem Map ein (die Operation kann auch put genannt werden) pre: m M, k TKey, v TValue post: m M, m = m <k, v> Was passiert wenn es schon ein Paar <k,v> gibt?

23 Map Interface remove(m, k, v) descr: löscht ein Paar mit einem gegebenen Schlüssel aus dem Map pre: m M, k TKey post: v TValue, wobei: v ቊ v, falls < k, v > m und m M, m = m < k, v > o TValue, ansonsten

24 Map Interface search(m, k, v) descr: such den Wert, der dem gegebenen Schlüssel entspricht pre: m M, k TKey post: v TValue, wobei: v ቊ v, falls < k, v > m o TValue, ansonsten

25 Map Interface iterator(m, it) descr: gibt ein Iterator für eine Map zurück pre: m M post: it I, it ist in Iterator für m size(m) descr: gibt die Anzahl der Paare in der Map zurück pre: m M post: size Anzahl der Paare in m

26 Map Interface keys(m, s) descr: gibt die Menge der Schlüssel aus der Map zurück pre: m M post: s S, s ist ein Set, der alle Schlüssel aus m enthält values(m, b) descr: gibt ein Bag von Werten aus der Map zurück pre: m M post: b B, b ist ein Bag, der alle Werte aus m enthält

27 Map Interface pairs(m, s) descr: gibt die Menge der Paare aus der Map zurück pre: m M post: s S, s ist ein Set, der alle Paare aus m enthält

28 Sorted Map Man kann für die Schlüssel in der Map eine Ordnungsrelation definieren, dann benutzt man TComp anstatt TKey Die einzigen Änderungen zu dem Interface sind bei der init Operation, wo man auch die Relation als Parameter hat Für eine sortierte Map muss der Iterator die Paare in der Reihenfolge gegeben von der Relation durchlaufen. In diesem Fall geben die Operationen keys und pairs SortedSets zurück.

29 Map Um ADT Map (oder ADT SortedMap) zu implementieren kann man folgende Datenstrukturen für die Repräsentierung benutzen: (dynamisches) Array Verkettete Liste Hashtabellen (balancierte) Binärbäume für sortierte Sets Skip Listen für sortierte Maps

30 Iterator Alle Containers haben Iteratoren und für jede Repräsentierung des Containers besprechen wir die Implementierung des Iterators Warum sind Iteratoren so wichtig? uniforme Iterierung der Elemente eines Containers (unabhägig von dem Container und von der Repräsentierung)!! für viele Containers bietet der Iterator die einzige Möglichkeit den Container zu durchlaufen

31 Iterator Wenn man in einem Container auf die Positionen der Elemente verzichtet, dann kann man manche Operationen optimieren: Man kann Datenstrukturen benutzen, die eine gute Komplexität für die Operationen haben, aber wo die Positionen der Elemente keine Rolle spielen und wo es schwer ist die Positionen zu erzwingen (z.b. Hashtabellen) Auch wenn der Container Positionen für die Elemente hat, kann es effizienter sein den Container mit dem Iterator zu durchlaufen anstatt mit Hilfe der Positionen (Position inkrementieren und Element zurückgeben)

32 ADT Matrix Ein Matrix ist ein Container, der ein zweidimensionales Array enthaltet Jeder Element hat eine eindeutige Position, bestimmt von zwei Indexe: Zeile und Spalte Die Operationen einer Matrix unterscheiden sich von den Operationen der meisten Containers, weil man in einem Matrix kein Element einfügen oder löschen kann. Man kann nur den Wert eines Elementes ändern.

33 Matrix- Operationen Die minimale Menge der Operationen für ADT Matrix ist: init(matrix, nrl, nrc) erstellt eine neue Matrix mit nrl Zeilen und nrc Spalten nrline(matrix) gibt die Anzahl der Zeilen aus dem Matrix zurück nrcolumns(matrix) - gibt die Anzahl der Spalten aus dem Matrix zurück element(matrix, i, j) gibt das Element von Zeile i und Spalte j zurück modify(matrix, i, j, val) ändert den Wert des Elementes von Zeile i und Spalte j

34 Matrix- Operationen Andere mögliche Operationen: Gebe die Position eines Elementes zurück Erstelle einen Iterator, der die Elemente nach Spalten iteriert Erstelle einen Iterator, der die Elemente nach Zeilen iteriert Usw.

35 Matrix Repräsentierung Meistens benutzt man für eine Matrix eine sequentielle Repräsentierung (die Zeilen der Matrix werden im Speicherplatz auf aufeinanderfolgende Blöcke gespeichert) Falls die Matrix viele 0-Werte ( oder 0 TElem ) enthält, dann redet man von schwachbesetzte oder dünnbesetzte Matrix (sparse) in diesem Fall ist es effizienter die Elemente unterschiedlich von 0 zu speichern

36 Schwachbesetzte Matrix Beispiel Von den 36 Elemente sind nur 10 Elemente unterschiedlich von 0:

37 Schwachbesetzte Matrix Repräsentierung Man kann nur Tupeln der Form (Zeile, Spalte, Wert) speichern, für die Werte unterschiedlich von 0 (oder 0 TElem ) Für die Effizienz speichert man die Elemente sortiert nach (Zeile, Spalte) Die Tupeln können in folgende Datenstrukturen gespeichert werden: (dynamisches) Array Verkettete Listen (balancierte) Binärbäume

38 Schwachbesetzte Matrix Repräsentierung Beispiel Für das vorige Beispiel speichert man folgende Tupeln: <1,3,3>, <1,5,5>, <2,1,2>, <3,6,4>, <4,1,1>, <4,4,7>, <5,2,6>, <5,6,5>, <6,3,9>, <6,4,1> Man muss auch die Dimensionen der Matrix speichern (es kann sein, dass die letzten Zeilen oder Spalten nur 0-Werte enthalten)

39 Schwachbesetzte Matrix Repräsentierung 2 Verkettete Repräsentierung mit Hilfe von zyrkulären Listen Jeder Knoten enthält die Zeile, die Spalte, den Wert (unterschiedlich von 0) und zwei Pointers: zu dem nächsten Element von derselben Zeile und zu dem nächsten Element von derselben Spalte Die letzten Knoten haben ein Pointer zu dem ersten Knoten (zyrkuläre Listen) Jede Zeile und Spalte hat einen speziellen Knoten, der den Anfang der entsprechenden Liste bezeichnet

40 Schwachbesetzte Matrix Repräsentierung 2 Beispiel

41 Schwachbesetzte Matrix Repräsentierung 2 Beispiel Jeder Knoten enthält: die Zeile, die Spalte, den Wert (unterschiedlich von 0), ein Pointer zu dem nächsten Element von derselben Zeile und ein Pointer zu dem nächsten Element von derselben Spalte Element von Zeile 2, Spalte 1 mit dem Wert 1:

42 Schwachbesetzte Matrix Repräsentierung 2 Beispiel

43 Schwachbesetzte Matrix Repräsentierung 2 Die Knoten mit dem Wert H sind Header Knoten. Diese sind keine echte Elemente, sondern bezeichnen nur den Anfang der entsprechenden Zeile oder Spalte Die Knoten werden irgendwo im Speicherplatz gespeichert, nicht unbedingt auf aufeinanderfolgenden Speicherplätze, aber die graphische Repräsentierung wurde intuitiv in Form einer Matrix dargestellt Da die Repräsentierung zyrkuläre Listen benutzt, verweist der letzte Knoten von jeder Zeile und Spalte auf den entsprechenden Header Knoten Es genügt nicht nur die Adresse des 0,0 Header Knotens zu speichern

44 Schwachbesetzte Matrix Repräsentierung 2

45 Schwachbesetzte Matrix Operationen Die Operationen der schwachbesetzten Matrix sind gleich mit den Operationen der regulären Matrix. Die schwierigste Operation ist modify, weil man 4 Fälle unterscheiden muss basierend auf dem aktuellen Wert von Zeile i und Spalte j (old_value) und den neuen Wert (new_value): old_value = 0 und new_value = 0 tu nichts old_value = 0 und new_value 0 füge einen neuen Tupel/Knoten ein mit new_value old_value 0 und new_value = 0 lösche den Tupel/Knoten mit old_value old_value 0 und new_value 0 aktualisiere den Wert aus dem Tupel/Knoten mit new_value