Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS August Arbeitszeit 90 min

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1 TU Ilmenau, Fakultät für Informatik und Automatisierung FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen Univ.-Prof. Dr. M. Dietzfelbinger, Dipl.-Ing. C. Mattern Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS August 2013 NICHT MIT BLEISTIFT ODER ROTSTIFT SCHREIBEN! Heften Sie die Blätter bei Abgabe zusammen, und tragen Sie auf jedem Blatt Ihren Namen, Vornamen, Studiennummer und Matrikel ein. Es sind keine Hilfsmittel, insbesondere Taschenrechner oder Mobiltelefone, zugelassen. Arbeitszeit 90 min Name, Vorname: Studiennummer und Matrikel: abgegeben: 5 Aufgabenblätter... eigene Blätter Datum, Unterschrift Einsichtnahme Aufgabe Summe Bonus Gesamt erreichbare Punktzahl erreichte Punktzahl Aufgabe 1 [25 Punkte] Bitte kreuzen Sie für jede der folgenden Fragen entweder JA oder NEIN in jeder Zeile an. Bewertung: Für jede Teilaufgabe werden separat Rohpunkte vergeben. Sei R die Anzahl der richtigen Antworten in einer Teilaufgabe. Bei 0 falschen Antworten erhält man R Rohpunkte in dieser Teilaufgabe, bei einer falschen Antwort max{0, R 0,4} Rohpunkte, bei zwei falschen Antworten max{0, R 1,2} Rohpunkte, sonst 0 Rohpunkte. Die Gesamtpunktzahl ist max{0, 5S A 4 } aufgerundet auf volle Punkte, wobei S die Summe der Rohpunkte der Teilaufgaben und A die Anzahl der beantworteten Fragen ist. (a) Gelten die folgenden Aussagen? [ ] [ ] Θ( f ) = O( f ) Ω( f ), für f F +. [ ] [ ] f (n) = o(g(n)) = f (n) = O(g(n)), für f, g F +. [ ] [ ] 1 i n i k = O(n k ), für alle k 1. [ ] [ ] n (log n) 2 = Ω((log n) 42 ). [ ] [ ] log n n 1/17 = o(1).

2 2 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS 2013 (b) Welche der folgenden Aussagen über binäre Bäume sind korrekt? [ ] [ ] Ein binärer Baum mit N nicht-leeren äußeren Knoten hat N 1 innere Knoten. [ ] [ ] Jeder innere Knoten hat ein Kind. [ ] [ ] Sei V die Menge aller inneren Knoten eines binären Baumes T und für v V sei d(v) die Tiefe von v in T. Dann gilt: TIPL(T) = v V d(v). [ ] [ ] Ein binärer Baum mit N nicht-leeren äußeren Knoten hat 2N 2 Kanten. [ ] [ ] Ein Präorder-Durchlauf durch einen linksvollständigen binären Baum T mit n inneren Knoten kostet Zeit O(log n). (c) Welche der folgenden Aussagen über AVL-Bäume mit n Knoten sind korrekt? [ ] [ ] Die Tiefe ist durch 0,15 log n nach oben beschränkt. [ ] [ ] Es gibt einen AVL-Baum, in dem der Balancefaktor eines Knotens Betrag 2 hat. [ ] [ ] Für jeden Knoten u, der einen Vater v besitzt, gilt key(v) key(u). [ ] [ ] Es gibt Situationen, in denen eine insert-operation Ω(log n) Einzel- bzw. Doppelrotationen auslöst. [ ] [ ] Eine delete-operation kostet Zeit Ω(n) im schlechtesten Fall. (d) Welche der folgenden Aussagen über Sortierverfahren sind korrekt? [ ] [ ] Schlüsselvergleichsverfahren, die n Schlüssel sortieren, führen zu Vergleichsbäumen mit genau n n Blättern. [ ] [ ] HeapSort führt im schlechtesten Fall mehr Vergleiche aus als QuickSort im schlechtesten Fall (im O-Sinn). [ ] [ ] InsertionSort arbeitet in-situ. [ ] [ ] CountingSort sortiert n Schlüssel aus {1,..., n 2 } in Zeit O(n). [ ] [ ] MergeSort sortiert n Schlüssel aus {1,..., n 2 } in Zeit O(n log n). (e) Welche der folgenden Aussagen über Sortierverfahren sind korrekt? [ ] [ ] Sortiert man mit QuickSort eine zufällig (uniforme Verteilung) gewählte Permutation von {1, 2,..., n}, so ist die erwartete Laufzeit O(n log n). [ ] [ ] Ein von QuickSort ausgelöster partition-aufruf auf A[i + 1..i + n] kostet Ω(n log n) Vergleiche im schlechtesten Fall. [ ] [ ] MergeSort sortiert verkettete Listen ohne zusätzlichen Speicherplatzbedarf. [ ] [ ] Das Mischen, mit dem Algorithmus aus der Vorlesung, zweier aufsteigend sortierter Arrays mit je n Elementen kostet höchstens 2n 1 Vergleiche. [ ] [ ] Das Sortieren von n Schlüsseln aus {1, 2,..., m} k mit RadixSort kostet Zeit Θ(k(n + m)).

3 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS Aufgabe 2 (Binäre Bäume) [5 Punkte] (a) Zeigen Sie, dass für einen binären Baum der Tiefe d 0 mit N nicht-leeren äußeren Knoten gilt: N 2 d. (Hinweis: Z. B. mit Induktion über d.) (3 Punkte) (b) Folgern Sie aus (a) eine untere Schranke für die Baumtiefe! (1 Punkt) untere Schranke: (c) Geben Sie eine möglichst scharfe obere Schranke für die Baumtiefe an, in Abhängigkeit von der Anzahl an nicht-leeren äußeren Knoten (Ohne Beweis)! (1 Punkt) obere Schranke:

4 4 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS 2013 Aufgabe 3 (Wörterbuch) [15 Punkte] Seien U und R nicht-leere Mengen. Im Folgenden wird der Datentyp Wörterbuch (mit Schlüsseln aus U und Daten aus R) mit den Sorten Keys, Range und Maps und den Operationen empty, insert, delete und lookup betrachtet. (a) Geben Sie die Signatur für alle Operationen an! empty: insert: delete: lookup: (4 Punkte) (b) Geben Sie das mathematische Modell für alle Sorten und Operationen an! (7 Punkte) Sorten: Keys = Range = Maps = Operationen: empty() = insert(,, ) = delete(, ) = lookup(, ) = (c) Sei (U, <) total geordnet. Benennen Sie in O-Notation, aber möglichst genau, die Kosten der oben genannten Operationen im schlechtesten Fall für eine Implementierung mittels balancierter binärer Suchbäume! (n ist die Anzahl der Knoten im Suchbaum.) (4 Punkte) empty: insert: delete: lookup:

5 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS Aufgabe 4 (AVL-Bäume) [7 Punkte] Der folgende AVL-Baum T mit Schlüsseln aus U = N sei gegeben (der Datenteil aus R wird hier der Einfachheit halber ignoriert): T : (a) Zeichnen Sie in dem gegebenen Baum T die Balancefaktoren ein! (1 Punkt) (b) Löschen Sie mit dem AVL-Löschverfahren der Vorlesung in dem gegebenen Baum T den Schlüssel 1! Zeichnen Sie den Baum nach jeder Einfach- oder Doppelrotation und benennen Sie die Art der Rotation (Links-, Rechts-, Links-Rechts- oder Rechts-Links-Rotation)! (6 Punkte)

6 6 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS 2013 Aufgabe 5 (2-3-Suchbäume) [12 Punkte] (a) Sei (U, <) eine total geordnete Menge. Definieren Sie: T ist ein 2-3-Baum mit Schlüsseln aus U. (Hinweis: Der Begriff Mehrweg-Suchbaum mit Schlüsseln aus U sei bekannt und darf benutzt werden.) (3 Punkte) (b) Geben Sie eine (möglichst genaue) obere und untere Schranke für die Tiefe d eines 2-3- Baumes mit n Schlüsseln an! (2 Punkte) untere Schranke: obere Schranke: (c) Sei U = N. Fügen Sie die Schlüssel 1, 9, 2, 5, 4, 7, 6, in dieser Reihenfolge, in einen anfangs leeren 2-3-Suchbaum ein. Zeichnen Sie den nach jeder Einfügeoperation entstehenden 2-3-Suchbaum. (7 Punkte)

7 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS Aufgabe 6 (HeapSort) [7 Punkte] (a) Definieren Sie H[1..n] ist ein Min-Heap! (3 Punkte) (b) Ist HeapSort stabil und/oder in-situ (richtige Antwort ankreuzen)? (2 Punkte) stabil in-situ nicht stabil in-situ stabil nicht in-situ nicht stabil nicht in-situ (c) Geben Sie die Kosten der Operationen MakeHeap und HeapSort für ein Array mit n Elementen möglichst genau in O-Notation an! (2 Punkte) MakeHeap: HeapSort:

8 8 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS 2013 Aufgabe 7 (Hashfunktionen) [7 Punkte] Im Folgenden betrachten wir das Universum U von Schlüsseln und eine Hash-Tabelle T[0..m 1]. (a) Formulieren Sie die Uniformitätsannahme (UF) 2 für die Hashfunktion h, Tabellengröße m und Schlüsseluniversum U! (3 Punkte) (b) Sei nun U = [s] r, m = 2 l und s, r, l N. Geben Sie die Formel für die Hashfunktion beim Tabellenhashing an! Welche Datenstruktur wird benötigt und wie wird diese initialisiert, um eine solche Hashfunktion festzulegen? Gilt (UF) 2? (4 Punkte) Hashfunktion: Datenstruktur: Initialisierung: Gilt (UF) 2?

9 Klausur Algorithmen und Datenstrukturen SS Aufgabe 8 (geschlossenes Hashing) [12 Punkte] Lösen Sie entweder Teilaufgabe (a) oder Teilaufgabe (b). Für Teilaufgabe (b) erhalten Sie maximal 8 Punkte, statt der möglichen 12 Punkte für Teilaufgabe (a). Gelöste Teilaufgabe: Teilaufgabe (a) Teilaufgabe (b) (a) Gegeben seien die Schlüssel A, B,..., H, eine Hashtabelle T[0..m 1] der Größe m = 11. Kollisionen werden mit Doppel-Hashing behandelt, die Hashfunktionen h 1 und 1 + h 2 sind dabei: x A B C D E F G H h 1 (x) h 2 (x) In T wurden die Schlüssel A, B,..., H eingefügt und anschließend wurden die Schlüssel C und D gelöscht. Die Tabelle T soll nun ohne zusätzlichen Platz mit dem Algorithmus aus der Vorlesung umorganisiert werden. Der Umorganisierungsalgorithmus arbeitet bekanntlich mit Markierungen aus {alt, leer, voll}. Tragen Sie in Tabelle (i) die Anfangssituation (nach Umbenennung der Status-Felder) ein, in Tabelle (ii) das Ergebnis der Umorganisation, inkl. des Status der Zellen, ein und geben Sie in Tabelle (iii) die beim Umorganisieren sondierten Zellen an. (i) Hashtabelle T (ii) Hashtabelle T (iii) Sondierungsfolgen (12 Punkte) i T[i] Status 0 E 1 A 2 D 3 H 4 B 5 G C 9 10 F i T[i] Status x h(x, k) für k = 0, 1, 2,... A B C D E F G H (b) Alternative (Punktabzug): Tragen Sie die Schlüssel A, B,..., H, in dieser Reihenfolge, in eine anfangs leere Hashtabelle ein. Notieren Sie das Ergebnis, ohne Zellenmarkierungen, in der obigen Tabelle (ii). Geben Sie die Sondierungsfolgen in der obigen Tabelle (iii) an! (8 Punkte) Viel Erfolg!