Übungsblatt 1. f(n) = f(n) = O(g(n)) g(n) = O(f(n)) Zeigen oder widerlegen Sie: 3 n = Θ(2 n ) Aufgabe 1.2 Gegeben sei die folgende Funktion:

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1 Übungsblatt 1 Aufgabe 1.1 Beweisen oder widerlegen Sie, dass für die im Folgenden definierte Funktion f(n) die Beziehung f(n) = Θ(n 4 ) gilt. Beachten Sie, dass zu einem vollständigen Beweis gegebenenfalls auch geeignete Werte für die verwendeten Konstanten anzugeben sind. f(n) = { 3n 4 7n 2 n + π falls n teilbar durch 4 n 4 n log n falls n nicht teilbar durch 4 (b) Beweisen oder widerlegen Sie die nachstehende Behauptung für eine beliebige positive Funktion g(n): f(n) = O(g(n)) g(n) = O(f(n)) (c) Zeigen oder widerlegen Sie: 3 n = Θ(2 n ) Aufgabe 1.2 Gegeben sei die folgende Funktion: log 8 n + 8 n, f(n) = 1 log 8 n + 8 1, n wenn log 8 n durch 8 teilbar ist sonst Kreuzen Sie in der folgenden Tabelle die zutreffenden Felder an: f(n) ist O(.) Ω(.) Θ(.) keines 8 n log 8 n 1 log 8 n

2 2 Aufgabe 1.3 Welche Laufzeiten in Θ-Notation haben die folgenden Algorithmen abhängig von n? (i) l = n + 5; solange l > 0 { p = n 3 l; l = l 1; (iii) m = n; für i = 1,..., n { p = p + i; m = m/3 ; bis m 0 (ii) p = n; p = p/2; l = n p; bis p 1 (iv) n = 2 k ; für i = 1,..., k { sum = sum + 2 k + n; Aufgabe 1.4 Ergänzen Sie die folgenden Algorithmen, so dass sie die angegebene Laufzeit haben: (i) Θ(n log 3 n) m = n 2 ; für i = 1,..., NNN { m = NNN ; l = n m; bis m 1 (ii) Θ(n) s = n + 3; solange s > 0 { t = n 2 s; s = NNN ; (iii) Θ(log 2 n) k = n; solange k > 0 { für j = 1,..., NNN { b = b + j; k = NNN ; (iv) Θ(n 2 ) m = NNN ; für i = 1,..., NNN { p = p + i; m = m/2 ; bis m 0

3 3 Aufgabe 1.5 Betrachten Sie die folgende Funktion: T (n) = { 1 n + 2T ( n ) für n für n < 3 Dabei ist x die größte ganze Zahl, die kleiner als x ist. Berechnen Sie T (30). Geben Sie auch die dabei auftretenden Zwischenergebnisse an. (b) Schätzen Sie die Funktion mittels der Θ-Notation ab. Begründen Sie ihre Antwort. Aufgabe 1.6 Die Folge der sogenannten Fibonacci-Zahlen f n = 1, 1, 2, 3, 5,... kann durch die folgende rekursive Funktion f(n) beschrieben werden: f(n) = { 1 falls n 2 f(n 1) + f(n 2) falls n > 2 Schreiben Sie einen Algorithmus in Pseudocode, der diese Funktion in der angegebenen rekursiven Form implementiert. (b) Geben Sie die Zahl der von Ihrer Implementierung vorgenommenen rekursiven Aufrufe bei der Berechnung von f 10 an. Aufgabe 1.7 Modifizieren Sie den Algorithmus aus Aufgabe 1.6 unter Beibehaltung seiner Rekursivität derart, dass er lineare Laufzeit erhält, also Laufzeit in O(n). Nehmen Sie dabei an, dass Ihnen ein beliebig großes, globales Array A = A[1], A[2],... zum Speichern von Zwischenergebnissen zur Verfügung steht. Beweisen Sie, dass Ihre verbesserte Version lineare Laufzeit hat, und analysieren Sie auch den Speicherverbrauch in Θ-Notation.

4 4 Aufgabe 1.8 In der Vorlesung haben Sie das Sortierverfahren Insertion Sort kennen gelernt. Geben Sie die Anzahl der Schlüsselvergleiche und Schlüsselbewegungen für Insertion Sort in Θ-Notation für N an, wobei N eine beliebige große gerade Zahl sein kann, wenn der Input folgendermaßen aussieht: (b) N 2, N 2 + 1,..., N, 1, 2,..., N 2 1 N 2, N 2 + 1, N 2 1, N 2 + 2, N 2 2,..., 2, N 1, 1, N Begründen Sie Ihre Antwort. (Hinweis falls Sie Probleme mit der Aufgabenstellung haben: Wählen Sie z. B. N = 8 und beobachten Sie, was passiert.) Aufgabe 1.9 Führen Sie das Sortierverfahren Selection-Sort (Sortieren durch Auswahl) mit dieser Zahlenfolge durch: Stellen Sie die Daten nach jeder Iteration dar. Markieren Sie jeweils die Datenelemente, deren Position sich verändert hat. Ein Sortierverfahren heißt stabil, wenn es so implementiert werden kann, dass die Reihenfolge der Elemente mit gleichem Schlüssel vor und nach dem Sortiervorgang gleich ist. Ist Selection-Sort stabil? Begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 1.10 Eine gängige Implementierung des Sortierverfahrens Bubblesort sieht wie folgt aus: für i = 1,..., n 1 { für j = 1,..., n i { falls A[j] > A[j + 1] dann { Vertausche A[j] und A[j + 1];

5 Probieren Sie den Algorithmus mit dieser Eingabefolge aus: Stellen Sie die Daten nach jeder Iteration dar. Markieren Sie jeweils die Datenelemente, deren Position sich verändert hat. (b) Hängt die Laufzeit dieses Algorithmus vom Inhalt der Eingabefolge A ab? Wenn ja: wie? Wenn nein: warum nicht? Wie ist die Laufzeit dieses Algorithmus in Θ- Notation? 5 Aufgabe 1.11 Modifizieren Sie den Algorithmus Mergesort so, dass die Eingabefolge absteigend sortiert wird. Geben Sie Ihren veränderten Pseudocode an. Führen Sie anschließend Ihren Algorithmus anhand der folgenden Zahlenfolge durch und veranschaulichen Sie dabei jeden Schritt durch Hinschreiben der Zahlenfolge nach der Durchführung des Schrittes. Aufgabe 1.12 Ändern Sie den Algorithmus von Quicksort so, dass zur Wahl des Pivotelements jeweils das erste, mittlere und letzte Element der Teilfolge betrachtet werden und dann jenes Element gewählt wird, dessen Wert zwischen dem der beiden anderen liegt. Geben Sie den gesamten Pseudocode für den veränderten Quicksort an. (b) Halten Sie die Änderung für sinnvoll? Warum (nicht)? (c) Sortieren Sie die Zahlenfolge mit dem von Ihnen veränderten Algorithmus. Aufgabe 1.13 Im Internet findet man verschiedenste Visualisierungen von Sortierverfahren. Suchen Sie mind. zwei, die möglichst viele der bis jetzt behandelten Sortierverfahren darstellen und vergleichen Sie diese. Überlegen Sie sich dazu, welche kriterien für so eine Visualisierung wichtig wären (z.b.: Art der Eingabefolge ändern, Laufzeit vergleichen, Bewegungen und Vergleiche extra aufzeigen, usw.).

6 6 Aufgabe 1.14 Gegeben ist der folgende Algorithmus: Sortiere (A,l,r): falls r l > 1 dann { min = Position des minimalen Elementes in A[l... r]; max = Position des maximalen Elementes in A[l... r]; Vertausche A[l] und A[min]; Vertausche A[r] und A[max]; Sortiere (A, l + 1, r 1); sonst { falls r l = 1 dann { falls A[l] > A[r] dann { Vertausche A[l] und A[r]; Nehmen Sie an, der Algorithmus wird auf eine Folge A aus n Zahlen angewendet. Der entsprechende Funktionsaufruf ist dann Sortiere(A,1,n). Warum sortiert der Algorithmus nicht jede Folge korrekt? Ändern Sie den Algorithmus so, dass er funktioniert. Ihre Änderung sollte die zentrale Idee des Algorithmus beibehalten, also das kleinste Element nach vorne bringen, das größte nach hinten und dann den Mittelteil rekursiv sortieren. Geben Sie den Pseudocode Ihres neuen Algorithmus an. Aufgabe 1.15 Um die bis jetzt behandelten Sortierverfahren miteinander zu vergleichen, vervollständigen Sie folgende Tabelle:

7 7 Art der Einagbefolge: worst case best case average case Anzahl der Vergleiche: worst case best case average case Anzahl der Bewegungen: worst case best case average case Stabil : Insertion Sort Selection Sort Merge Sort Quick Sort Bubble Sort