Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT)

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1 Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT) Sommersemester 2018 Dr. Stefanie Demirci Computer Aided Medical Procedures Technische Universität München

2 Organisatorisches: Keine Vorlesung nächste Woche wegen Pfingsten Daher auch keine Zentralübung und keine Tutorübungen Also nächste Woche komplett frei (aber nur ADS) 2

3 Programm heute 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen Graphen Bäume Heaps Priority Queues 3

4 Definition Heap Definition Heap Sei G = (V,E) ein Binärbaum mit Wurzel w V. Jeder Knoten v V sei mit einem Wert key(v) verknüpft, die Werte seien durch, geordnet. G heißt Heap, falls er folgende zwei Eigenschaften erfüllt: G ist fast vollständig, d.h. alle Ebenen sind vollständig gefüllt, ausser auf der untersten Ebene, die von links her nur bis zu einem bestimmten Punkt gefüllt sein muss. G erfüllt die Min-Heap-Eigenschaft bzw. die Max-Heap-Eigenschaft, d.h. für alle Knoten v V, v w gilt Min-Heap: key(v.vater) key(v) Max-Heap: key(v.vater) key(v) Entsprechend der Heap-Eigenschaft heißt G Min-Heap bzw. Max-Heap. 4

5 Bemerkungen zur Heap Definition Sei G = (V,E) Min-Heap. wir beschränken uns hier auf Min-Heaps, alle Aussagen gelten mit entsprechenden trivialen Änderungen auch für Max-Heaps typische Keys von Knoten sind Zahlen, z.b. key : V R weiteres Beispiel: Strings als Keys, lexikographisch geordnet ein Heap ist kein abstrakter Datentyp! 5

6 Min-Heap: Beispiel Keys sind hier natürliche Zahlen Baum ist fast vollständiger Binärbaum Baum erfüllt Min-Heap-Eigenschaft: für alle Knoten v (ausser Wurzel) gilt key(v.vater) key(v) 6

7 Heap Eigenschaften Sei G = (V,E) Heap mit Wurzel w V. G als Min-Heap bzw. Max-Heap hat immer Element mit kleinstem bzw. größtem Key in Wurzel w G ist aber nicht vollständig sortiert (d.h. Traversierung liefert nicht notwendigerweise vollständig sortierte Folge) Ist V = n, so hat G Höhe von Θ(logn) typische Operation: extrahiere kleinsten (bzw. größten) Key (d.h. Wurzel), kurz: extractmin (bzw. extractmax) anschließendes Problem: Heap-Eigenschaft wiederherstellen, als Operation: minheapify (bzw. maxheapify) 7

8 Heap: extractmin Sei G = (V,E) Min-Heap mit Wurzel w V. Operation extractmin: entferne Wurzel w aus Heap G und liefere key(w) zurück tausche letzten Knoten von G an Stelle von Wurzel stelle Heap-Eigenschaft wieder her mit minheapify Output: minimaler Key in G extractmin(g): min = key(w); tausche Inhalt von w mit letztem Knoten in G; minheapify(g,w); return min;

9 Heap: minheapify Sei G = (V,E) Min-Heap mit Wurzel w V und V = n. Operation minheapify auf Knoten v V zur Wiederherstellung der Min-Heap-Eigenschaft Voraussetzung: nur Knoten v verletzt Min-Heap-Eigenschaft lasse v durch Heap absinken, bis Min-Heap-Eigenschaft wiederhergestellt Input: Knoten v minheapify(g,v): if (v ist Blatt) return; knoten = Minimum (bzgl. key) von v.links und v.rechts; if (key(knoten) < key(v) ) { tausche Inhalt von knoten und v; minheapify(g, knoten); } Komplexität: O(log n) 9

10 Beispiel extractmin / minheapify extractmin minheapify minheapify minheapify 10

11 Heap erzeugen: buildminheap Gegeben sei Knoten-Liste V mit V = n und Keys key(v) für v V. wie erzeugt man aus V einen Min-Heap G = (V,E)? erzeuge irgendwie fast vollständigen Binärbaum aus V wende minheapify auf alle Knoten v V an, von unten nach oben (nicht nötig für unterste Ebene des Baumes!) Input: Knoten-Liste V Output: Min-Heap G buildminheap(v): G = erzeuge beliebigen fast vollständigen Binärbaum aus V; for each Knoten v in G von unten nach oben { minheapify(g,v); } Komplexität: O(n) (nicht nur O(n log n)!)

12 Beispiel buildminheap

13 13

14 Wiederholung: Binärbaum als sequentielle Liste I vollständiger Binärbaum Höhe k hat 2 k+1 1 Knoten speichere Knoten von oben nach unten, von links nach rechts in sequentieller Liste (Array) maximale Grösse von Array: 2 k+1 1 Beispiel fast vollständiger Binärbaum:

15 Wiederholung: Binärbaum als sequentielle Liste II Wurzel: an Position 1 Knoten an Position i: Vater-Knoten an Position i/2 linkes Kind an Position 2i; rechtes Kind an Position 2i +1 Pseudocode: vater(i): return i/2 ; links(i): return 2i; rechts(i): return 2i +1; Index i:

16 HeapSort Sortieren mit Heap Idee: Heap erstellen mit buildminheap wiederhole extractmin bis Heap leer mit Heap direkt im Eingabefeld: Input: Feld A[1..n] der Länge n HeapSort(A): buildminheap(a); for i=n downto 2 { tausche A[1] mit A[i]; A.length = A.length - 1; minheapify(a, 1); } min-heap sortiert in absteigender Reihenfolge max-heap sortiert in aufsteigender Reihenfolge 16

17 HeapSort: Beispiel I 2 tausche minheapify tausche 9 minheapify tausche minheapify

18 HeapSort: Beispiel II 5 tausche minheapify tausche minheapify tausche minheapify

19 HeapSort Eigenschaften sortiert in-place Komplexität O(nlogn) besser als QuickSort im worst case! in Praxis aber erst bei grossem n nicht stabil 19

20 Stabilität von Sortierverfahren Stabilität Ein Sortierverfahren heißt stabil, wenn es die Reihenfolge von gleichrangigen Elementen bewahrt. Beispiel: unsortierte Liste: (blau vor rot) sortierte Liste (stabil): (blau vor rot) sortiere Liste (nicht stabil): (rot vor blau) 20

21 Sortier-Algorithmen illustriert Animationen der Sortier-Algorithmen: 21

22 Sortier-Algorithmen Zusammenfassung Insertion Sort in-place, stabil Komplexität O(n 2 ), best case: O(n) Selection Sort (Übung) in-place, nicht stabil Komplexität O(n 2 ) MergeSort benötigt zusätzlichen Speicher, stabil Komplexität O(nlogn) QuickSort in-place, nicht stabil Komplexität im Mittel O(nlogn), worst case: O(n 2 ) HeapSort in-place, nicht stabil Komplexität O(nlogn) 22

23 Programm heute 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen Graphen Bäume Heaps Priority Queues 23

24 Definition Priority Queue Definition Priority Queue Eine Priority Queue ist ein abstrakter Datentyp. Sie beschreibt einen Queue-artigen Datentyp für eine Menge von Elementen mit zugeordnetem Schlüssel und unterstützt die Operationen Einfügen von Element mit Schlüssel in die Queue, Entfernen von Element mit minimalem Schlüssel aus der Queue, Ansehen des Elementes mit minimalem Schlüssel in der Queue entsprechend gibt es auch eine Priority Queue mit Entfernen/Ansehen von Elememt mit maximalem Schlüssel 24

25 Definition Priority Queue (abstrakter) Priority Queue P ist ein abstrakter Datentyp mit Operationen insert(p, x) wobei x ein Element extractmin(p) liefert ein Element minimum(p) liefert ein Element isempty(p) liefert true or false initialize liefert eine Priority Queue Instanz und mit Bedingungen isempty(initialize()) == true isempty(insert(p, x)) == false minimum(initialize()) ist nicht erlaubt (Fehler) extractmin(initialize()) ist nicht erlaubt (Fehler) (Fortsetzung nächste Folie) 25

26 Definition Priority Queue (abstrakter) Fortsetzung Bedingungen Priority Queue P: minimum(insert(p, x)) liefert zurück falls P == initialize(), dann x sonst: min(x, minimum(p)) extractmin(insert(p, x)) falls x == minimum(insert(p, x)), dann liefert es x zurück und hinterlässt P im Originalzustand sonst liefert es extractmin(p) zurück und hinterlässt P im Zustand insert(extractmin(p), x) (entsprechend für die Priority Queue mit maximalem Schlüssel) 26

27 Priority Queue: Implementationen I mit sortierten Feldern (als sequentielle oder verkette Liste) insert legt Element an richtiger Stelle in sortierter Liste ab mit O(n) Komplexität minimum, extractmin als O(1) Operation 27

28 Priority Queue: Implementationen I mit sortierten Feldern (als sequentielle oder verkette Liste) insert legt Element an richtiger Stelle in sortierter Liste ab mit O(n) Komplexität minimum, extractmin als O(1) Operation mit unsortierten Feldern (als sequentielle oder verkettete Liste) insert hängt Element einfach an Ende an mit O(1) minimum, extractmin suchen nach Element mit kleinstem Schlüssel mit O(n) 27

29 Priority Queue: Implementationen I mit sortierten Feldern (als sequentielle oder verkette Liste) insert legt Element an richtiger Stelle in sortierter Liste ab mit O(n) Komplexität minimum, extractmin als O(1) Operation mit unsortierten Feldern (als sequentielle oder verkettete Liste) insert hängt Element einfach an Ende an mit O(1) minimum, extractmin suchen nach Element mit kleinstem Schlüssel mit O(n) beides nicht sonderlich effizient (je nach Abfolge der Operationen aber ok) 27

30 Priority Queue: Implementationen II Priority Queue P als min-heap G = (V,E) mit Wurzel w: minimum von P liefert Wurzel w zurück Komplexität O(1) extractmin von P entspricht extractmin von G Komplexität O(log n) insert von P erfordert ein klein wenig Extra-Aufwand: Input: Priority Queue P (als min-heap mit seq. Liste A), Element x insert(a, x): füge Element x an Ende von Heap A ein; i = Index von letztem Element; while ( (i!= 1) && (A[vater(i)] > A[i]) ) { tausche A[i] mit A[vater(i)]; i = vater(i); } Komplexität O(log n) 28

31 Priority Queue: insert Beispiel i i i

32 Priority Queue: dynamisches Anpassen von Keys manchmal ändert sich der Priorität von Schlüsseln Beispiel Algorithmen dafür in Kapitel 9! Operation decreasekey verringert Schlüssel von bestimmten Element Input: Priority Queue P (als min-heap mit seq. Liste A), Element mit Index i, neuer Schlüsselwert wert decreasekey(a, i, wert): if (wert > A[i]) error neuer Schlüssel größer als alter! A[i] = wert; while ( (i!= 1) && (A[vater(i)] > A[i]) ) { tausche A[i] mit A[vater(i)]; i = vater(i); } Komplexität O(log n) 30

33 Priority Queue: decreasekey Beispiel i i i

34 Priority Queue: decreasekey / insert mit Operation decreasekey läßt sich insert anders formulieren: Input: Priority Queue P (als min-heap mit seq. Liste A), Element x insert(a, x): A.length = A.length + 1; A[A.length] = ; decreasekey(a, A.length, x); 32

35 Priority Queue: Ausblick Priority Queue mit Heap: insert und decreasekey sind O(log n) dies läßt sich mit Fibonacci-Heap bzw. Radix-Heap verbessern auf (amortisiert) O(1) Effiziente Algorithmen in Informatik 33

36 Priority Queues und Sortieren mit Priority Queues lassen sich Sortier-Algorithmen implementieren Schema: alle Elemente in Priority Queue einfügen der Reihe nach alle Elemente mit extractmin / extractmax entfernen Beispiele: Priority Queue mit Heap: HeapSort Priority Queue mit sortierter sequentieller Liste: Insertion Sort Priority Queue mit unsortierter sequentieller Liste: Selection Sort 34

37 Zusammenfassung 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen Graphen Bäume Heaps Priority Queues 35