INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS
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- Edith Schräder
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1 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS KIT Julian Universität Arz, des Timo LandesBingmann, Baden-Württemberg Sebastian und Schlag nationales 7. Übung Forschungszentrum Algorithmen in der Helmholtz-Gemeinschaft I Institut für Theoretische Informatik
2 Balancierte binäre Suchbäume: Red-Black-Trees Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
3 Binäre Suchbäume Wiederholung Heap vs. Binäre Suchbäume In VL: Information an Blättern, innere Knoten nur zum Suchen hier: Informationen in allen Knoten Invariante: Für alle Knoten v: w left(v) : w v und w right(v) : w > v 6 9 Problem von bin. Suchbäumen: u.u. unbalanciert Lösung der VL: (a,b)-bäume Andere Lösung hier: Red-Black-Trees Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
4 Warum balancierte Bäume? Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
5 Warum balancierte Bäume? Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
6 Warum balancierte Bäume? Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
7 Warum balancierte Bäume? Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
8 Warum balancierte Bäume? Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
9 Warum balancierte Bäume? Höhe: h O(n) Suchen: WC O(n) Löschen: WC O(n) Einfügen: WC O(n) Geht das besser? Ja! Red-Black-Trees garantieren Höhe von O(log n) Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
10 Red-Black-Trees Eigenschaften eines Red-Black-Trees: Jeder Knoten ist entweder rot oder schwarz. Die Wurzel ist schwarz. Jedes Blatt (leer) ist schwarz. Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. v: Alle Pfade von v zu Blatt enthalten gleiche Zahl schwarzer Knoten, sog. Schwarzhöhe. Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
11 Red-Black-Trees Eigenschaften eines Red-Black-Trees: Jeder Knoten ist entweder rot oder schwarz. Die Wurzel ist schwarz. Jedes Blatt (leer) ist schwarz. Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. v: Alle Pfade von v zu Blatt enthalten gleiche Zahl schwarzer Knoten, sog. Schwarzhöhe Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
12 Höhe von Red-Black-Trees - I Behauptung: h log(n + ) 6 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
13 Höhe von Red-Black-Trees - I Behauptung: h log(n + ) Betrachte Teilbaum t x an Knoten x Sei bh(x) die Anzahl schwarzer Knoten auf Pfad von x zu einem Blatt (ohne x) Lemma: t x hat mindestens bh(x) innere Knoten. Beweis: Induktion über Höhe h von t x IA: h = 0 = bh(x) = 0 und 0 = 0. IS: Aussage gilt für Kinder x, x von x mit h(x) > 0. Wir bemerken: bh(x i ) bh(x) = t xi hat mind. bh(x) innere Knoten Also hat t x mindestens ( bh(x) ) + = bh(x) innere Knoten. 6 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
14 Höhe von Red-Black-Trees - II Reminder... Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz.... Behauptung: h log(n + ) Nach Eigenschaft sind auf allen Pfaden unterhalb der Wurzel mindestens die Hälfte der Knoten schwarz. Einsetzen in vorheriges Ergebnis: n h/ = h log(n + ). 7 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
15 Höhe von Red-Black-Trees - II Reminder... Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz.... Behauptung: h log(n + ) Nach Eigenschaft sind auf allen Pfaden unterhalb der Wurzel mindestens die Hälfte der Knoten schwarz. Einsetzen in vorheriges Ergebnis: n h/ = h log(n + ). Höhe eines Rot-Schwarz-Baums ist logarithmisch in der Knotenzahl. 7 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
16 Höhe von Red-Black-Trees - II Reminder... Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz.... Behauptung: h log(n + ) Nach Eigenschaft sind auf allen Pfaden unterhalb der Wurzel mindestens die Hälfte der Knoten schwarz. Einsetzen in vorheriges Ergebnis: n h/ = h log(n + ). Höhe eines Rot-Schwarz-Baums ist logarithmisch in der Knotenzahl. Suchen offensichtlich in O(log n). Einfügen, Löschen auch in O(log n), wenn Aufwand nur von der Höhe des Baums abhängt. 7 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
17 Insert in Red-Black-Trees Reminder... Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. v: Alle Pfade von v zu Blatt enthalten gleiche Zahl schwarzer Knoten. Einfügen Insert wie in normalen binären Suchbaum Einfügen kann RB-Eigenschaften verletzen. Vorgehen: Roten Knoten in binären Suchbaum einfügen und danach Eigenschaften reparieren 8 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
18 Insert in Red-Black-Trees Reminder... Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. v: Alle Pfade von v zu Blatt enthalten gleiche Zahl schwarzer Knoten. Einfügen Insert wie in normalen binären Suchbaum Einfügen kann RB-Eigenschaften verletzen. Vorgehen: Roten Knoten in binären Suchbaum einfügen und danach Eigenschaften reparieren Reparatur durch zwei grundlegende Operationen: Umfärbung von Knoten Rotation von Teilbäumen 8 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
19 Was ist eine Rotation? Lokale Operation, die binäre Suchbaumeigenschaft erhält. Umhängen einer konstanten Zahl an Pointern pro Teilbaum a Linksrotation b b Rechtsrotation a < a > b (a, b) > b < a (a, b) 9 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
20 Insert in Red-Black-Trees... Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. v: Alle Pfade von v zu Blatt enthalten gleiche Zahl schwarzer Knoten. Vorgehen: Roten Knoten in binären Suchbaum einfügen und danach Eigenschaften reparieren Kein Vorgänger Neuer Knoten ist Wurzel N 0 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
21 Insert in Red-Black-Trees... Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. v: Alle Pfade von v zu Blatt enthalten gleiche Zahl schwarzer Knoten. Vorgehen: Roten Knoten in binären Suchbaum einfügen und danach Eigenschaften reparieren Kein Vorgänger Neuer Knoten ist Wurzel Umfärben N Umfärben N 0 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
22 Insert in Red-Black-Trees... Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. v: Alle Pfade von v zu Blatt enthalten gleiche Zahl schwarzer Knoten. Vorgehen: Roten Knoten in binären Suchbaum einfügen und danach Eigenschaften reparieren Schwarzer Vorgänger Oder N N 0 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
23 Insert in Red-Black-Trees... Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. v: Alle Pfade von v zu Blatt enthalten gleiche Zahl schwarzer Knoten. Vorgehen: Roten Knoten in binären Suchbaum einfügen und danach Eigenschaften reparieren Schwarzer Vorgänger Nichts zu tun Oder N N 0 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
24 Insert in Red-Black-Trees... Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. v: Alle Pfade von v zu Blatt enthalten gleiche Zahl schwarzer Knoten. Vorgehen: Roten Knoten in binären Suchbaum einfügen und danach Eigenschaften reparieren Roter Vorgänger Oder Oder Oder N N N N 0 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
25 Insert in Red-Black-Trees... Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. v: Alle Pfade von v zu Blatt enthalten gleiche Zahl schwarzer Knoten. Vorgehen: Roten Knoten in binären Suchbaum einfügen und danach Eigenschaften reparieren Roter Vorgänger mögliche Strukturen, aber: durch Spiegelung und max. eine Rotation identisch N N N N 0 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
26 Insert in Red-Black-Trees... Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. v: Alle Pfade von v zu Blatt enthalten gleiche Zahl schwarzer Knoten. Vorgehen: Roten Knoten in binären Suchbaum einfügen und danach Eigenschaften reparieren Roter Vorgänger mögliche Strukturen, aber: durch Spiegelung und max. eine Rotation identisch N 0 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
27 Insert in Red-Black-Trees... Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. v: Alle Pfade von v zu Blatt enthalten gleiche Zahl schwarzer Knoten. N Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
28 Insert in Red-Black-Trees... Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. v: Alle Pfade von v zu Blatt enthalten gleiche Zahl schwarzer Knoten. Umfärben N N Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
29 Insert in Red-Black-Trees... Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. v: Alle Pfade von v zu Blatt enthalten gleiche Zahl schwarzer Knoten. Umfärben Rotieren N N N Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
30 Insert in Red-Black-Trees... Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. v: Alle Pfade von v zu Blatt enthalten gleiche Zahl schwarzer Knoten. N Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
31 Insert in Red-Black-Trees... Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. v: Alle Pfade von v zu Blatt enthalten gleiche Zahl schwarzer Knoten. Umfärben N N Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
32 Insert in Red-Black-Trees... Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. v: Alle Pfade von v zu Blatt enthalten gleiche Zahl schwarzer Knoten. Umfärben Rekursion N N N Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
33 Red-Black-Trees Aufwandsabschätzung Speicher: Bit pro Knoten für Farbe Parent-Pointer ist nötig! Zeit: Konstanter Aufwand pro Knoten Färben/Rotieren Maximal O(log n) Rekursionstiefe Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
34 Red-Black-Trees Aufwandsabschätzung Speicher: Bit pro Knoten für Farbe Parent-Pointer ist nötig! Zeit: Konstanter Aufwand pro Knoten Färben/Rotieren Maximal O(log n) Rekursionstiefe Ziel erreicht: O(n) Platz und Operationen alle in O(log n). Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
35 Die Zahl binärer Suchbäume Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
36 Alle binäre Suchbäume mit n =,, : n = : n = : n = : Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
37 Alle binäre Suchbäume mit n = : Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
38 Die Anzahl binärer Suchbäume C n x < x > x Bekannte Startwerte: C 0 = 0, C =, C =, C =, C =. 6 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
39 Die Anzahl binärer Suchbäume C n x < x > x Bekannte Startwerte: C 0 = 0, C =, C =, C =, C =. Durch Partitionieren der sortieren Folge: C n = C 0 C n + C C n + + C n C + C n C 0, n > 0. 6 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
40 Die Anzahl binärer Suchbäume C n x < x > x Bekannte Startwerte: C 0 = 0, C =, C =, C =, C =. Durch Partitionieren der sortieren Folge: C n = C 0 C n + C C n + + C n C + C n C 0, n > 0. Wende erzeugende Funktionen an: C(z) = C z z n = C(z) zc(z) +. n=0 6 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
41 Die Anzahl binärer Suchbäume C n x < x > x Bekannte Startwerte: C 0 = 0, C =, C =, C =, C =. Durch Partitionieren der sortieren Folge: C n = C 0 C n + C C n + + C n C + C n C 0, n > 0. Wende erzeugende Funktionen an: C(z) = n=0 C n heißen die Catalan-Zahlen. C z z n = C(z) zc(z) +. = C n = ( ) n. wie in. Übung n + n 6 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
42 Datenstrukturen in der Wirklichkeit Java Collections java.util.linkedlist<t> java.util.arraylist<t> java.util.arraydeque<t> java.util.priorityqueue<t,c> java.util.treemap<k,v> java.util.treeset<k> java.util.hashtable<k,v> java.util.hashmap<k,v> java.util.hashset<k> C++ STL std::list<t> std::vector<t> std::deque<t> std::priority_queue<t,c> std::map<k,v> std::set<k> std::unordered_map<k,v> std::unordered_set<k> 7 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
43 Notizen zu (a, b)-bäumen B-Bäume sind fast ( m, m)-bäume mit m = B ein Festplatten-Block. 8 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
44 Insert-Geschwindigkeit (Integer, C++) Microsekunden pro Insert. 0. Red-Black Tree verkettete Hashtabelle (, )-Baum (6, )-Baum (, 6)-Baum (6, 8)-Baum Anzahl von Elementen 9 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
45 Locate-Geschwindigkeit (Integer, C++) Microsekunden pro Locate Red-Black Tree verkettete Hashtabelle (, )-Baum (6, )-Baum (, 6)-Baum (6, 8)-Baum Anzahl von Elementen 0 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
46 Speicherverbrauch (Integer, C++) Memory Usage [MiB] Memory Usage Profile - Insertion of Integer Pairs std::multimap gnu_cxx::hash_multimap std::tr::unordered_multimap stx::btree_multimap std::vector std::deque Program Execution Time [s] Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
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