Algorithmentheorie Treaps

Transkript

1 Algorithentheorie 04 - Treaps Prof. Dr. S. Albers

2 Das Wörterbuch-Proble Gegeben: Universu (U,<) von Schlüsseln it einer totalen Ordnung Ziel: Verwalte Menge S U, it folgenden Operationen Suche(x,S): Ist x S? Einfüge(x,S): Füge x zu S hinzu, sofern noch nicht vorhanden. Entferne(x,S): Entferne x aus S. 2

3 Erweiterte Operationen Miniu(S): Finde kleinsten Schlüssel. Maxiu(S): Finde größten Schlüssel. List(S): Gib Einträge in aufsteigender Reihenfolge aus. Vereinige(S,S 2 ): Vereinige S und S 2. Voraussetzung: x S, x 2 S 2 : x < x 2 Spalte(S,x,S,S 2 ): Spalte S in S und S 2. x S, x 2 S 2 : x x und x 2 > x 3

4 Bekannte Lösungen Binäre Suchbäue d b g a c h Nachteil: Sequenz von Einfügungen kann zu einer linearen Liste führen a, b, c, d, e, f Höhenbalancierte Bäue: AVL-Bäue, (a,b)-bäue Nachteil: Koplexe Algorithen oder hoher Speicherbedarf 4

5 Ansatz für randoisierte Suchbäue Werden n Eleente in zufälliger Reihenfolge in einen binären Suchbau eingefügt, so ist die erwartete Tiefe,39 log n. Idee: Jedes Eleent x erhält eine zufällig gewählte Priorität prio(x) R Ziel ist es, die folgende Eigenschaft herzustellen. (*) Der Suchbau hat die Struktur, die entstanden wäre, wenn die Eleente in der durch die Prioritäten gegebenen Reihenfolge eingefügt worden wären. 5

6 Treaps (Tree + Heap) Definition: Ein Treap ist ein binärer Bau. Jeder Knoten enthält ein Eleent x it key(x) U und prio(x) R. Es gelten die folgenden Eigenschaften. Suchbau-Eigenschaft Für jedes Eleent x gilt: - Eleente y i linken Teilbau von x erfüllen: key(y) < key(x) - Eleente y i rechten Teilbau von x erfüllen: key(y) > key(x) Heap-Eigenschaft Für alle Eleente x,y gilt: Ist y ein Kind von x, so ist prio(y) > prio(x). Alle Prioritäten sind verschieden. 6

7 Beispiel Schlüssel a b c d e f g Priorität d a 3 f 2 c 4 e 5 g 6 b 7 7

8 Eindeutigkeit von Treaps Lea: Für Eleente x,..., x n it key(x i ) und prio(x i ) existiert ein eindeutiger Treap. Dieser erfüllt Eigenschaft (*). Beweis: n=: ok n>: 8

9 Suche nach eine Eleent d a 3 f 2 c 4 e 5 g 6 b 7 9

10 Suche nach Eleent it Schüssel k v := Wurzel; 2 while v nil do 3 case key(v) = k : stop; Eleent gefunden (erfolgreiche Suche) 4 key(v) < k : v:= RechtesKind(v); 5 key(v) > k : v:= LinkesKind(v); 6 endcase; 7 endwhile; 8 Eleent nicht gefunden (nicht erfolgreiche Suche) Laufzeit: O(# Eleente auf de Suchpfad) 0

11 Analyse des Suchpfads Eleente x,, x n x i hat i-t kleinsten Schlüssel M sei Teilenge der Eleente P in (M) = Eleent aus M it kleinster Priorität Lea: a) Sei i<. x i ist Vorfahre von x gdw P in ({x i,,x }) = x i b) Sei <i. x i ist Vorfahre von x gdw P in ({x,,x i }) = x i

12 Analyse des Suchpfads Beweis: a) Verwende (*). El. werden geäß steigenden Prioritäten eingefügt. P in ({x i,,x }) = x i x i wird als erstes aus {x i,,x } eingefügt Wenn x i eingefügt wird, enthält der Bau nur Schlüssel k it k < key(x i ) oder k > key(x ) k key(x i ) > k k key(x i ) < k 2

13 Analyse des Suchpfads Beweis: a) (Sei i<. x i ist Vorfahre von x gdw P in ({x i,,x }) = x i ) Seix j = P in ({x i,,x }). Z.z. x i = x j Annahe: x i x j Fall : x j = x Fall 2: x j x Teil b) analog. 3

14 Analyse der Suche-Operation Sei T ein Treap it Eleenten x,, x n x i hat i-t kleinsten Schlüssel n-te Haronische Zahl: n H = / n k = k Lea:. Erfolgreiche Suche: Die erwartete Anzahl von Knoten auf de Pfad nach x ist H + H n Nicht erfolgreiche Suche: Sei die Anzahl der Schlüssel, die kleiner als der gesuchte Schlüssel k sind. Die erwartete Anzahl von Knoten auf de Suchpfad ist H + H n-. 4

15 Analyse der Suche-Operation Beweis: Teil X, i = 0 x i ist Vorfahre von sonst x X = # Knoten auf Pfad von der Wurzel nach x (inkl. x ) X = + X, i + X, i i< i> E[ X ] + E + E = X, i i< i> X, i 5

16 Analyse der Suche-Operation i < : E[ X, ] = Prob[ x ist Vorfahre von x ] = /( i + ) i i Alle El. aus {x i,, x } haben it gleicher WSK die kleinste Priorität Prob[P in ({x i,,x }) = x i ] = /(-i+) i > : E[ X, ] = /( i + ) i 6

17 7 Analyse der Suche-Operation ] [ + = = = + > < n i i H H n i i X E Teil Teil 2 analog 2 analog

18 Einfügen eines neuen Eleents x. Wähle prio(x). 2. Suche nach der Position von x i Bau. 3. Füge x als Blatt ein. 4. Stelle Heap-Eigenschaft wieder her. while prio(elter(x)) > prio(x) do if x ist linkes Kind then RotiereNachRechts(Elter(x)) else RotiereNachLinks(Elter(x)); endif endwhile; 8

19 Rotationen y RotationNachRechts x x RotationNachLinks y C A A B B C Die Rotationen erhalten die Suchbau-Eigenschaft und stellen die Heap-Eigenschaft wieder her. 9

20 Entfernen eines Eleents x. Suche x in de Bau. 2. while x ist kein Blatt do u := Kind it kleinerer Priorität; if u ist linkes Kind then RotiereNachRechts(x)) else RotiereNachLinks(x); endif; endwhile; 3. Entferne x; 20

21 Rotationen x RotationNachRechts u u RotationNachLinks x C A A B B C 2

22 Analyse der Einfüge- u. Entferne-Operationen Lea: Die erwartete Laufzeit einer Einfüge- bzw. Entferne-Operation ist O(log n). Die erwartete Anzahl der Rotationen ist 2. Beweis: Analyse einer Einfügung (Entfernung ist inverse Operation) #Rotationen = Tiefe von x nach Einfügung als Blatt () -Tiefevon x nach den Rotationen (2) Sei x = x (2) erwartete Tiefe ist H + H n-+ () erwartete Tiefe ist H - + H n- + Bau enthält n- Eleente, - sind kleiner. #Rotationen = H - + H n- + (H + H n-+ ) < 2 22

23 Erweiterte Operationen n = Anzahl Eleente i Treap T. Miniu(T): Finde kleinsten Schlüssel. O(log n) Maxiu(T): Finde größten Schlüssel. O(log n) List(T): Gib Einträge in aufsteigender Reihenfolge aus. O(n) Vereinige(T,T 2 ): Vereinige T und T 2. Voraussetzung: x T, x 2 T 2 : key(x ) < key(x 2 ) Spalte(T,k,T,T 2 ): Spalte T in T und T 2. x T, x 2 T 2 : key(x ) k und key(x 2 )> k 23

24 Die Spalte-Operation Spalte(T,k,T,T 2 ): Spalte T in T und T 2. x T, x 2 T 2 : key(x ) k und key(x 2 )> k O.B.d.A. Schlüssel k nicht in T. Andernfalls lösche Eleent it Schlüssel k und füge es nach der Spalte-Operation in T ein.. Erzeuge neues Eleent x it key(x)=k und prio(x) = Füge x in T ein. 3. Entferne die neue Wurzel. Der linke Unterbau ist T, der rechte T 2. 24

25 Die Vereinige-Operation Vereinige(T,T 2 ): Vereinige T und T 2. Voraussetzung: x T, x 2 T 2 : key(x ) < key(x 2 ). Erittle Schlüssel k it key(x ) < k < key(x 2 ) für alle x T und x 2 T Erzeuge Eleent x it key(x)=k und prio(x) = Erzeuge Treap T it Wurzel x, linke Teilbau T und rechte Teilbau T Entferne x aus T. 25

26 Analyse Lea: Die Operationen Vereinige und Spalte haben eine erwartete Laufzeit von O(log n). 26

27 Praktische Realisierung Prioritäten aus [0,) Prioritäten werden nur i direkten Vergleich benutzt, u zu entscheiden, welches Eleent die kleinere Priorität hat. Tritt Gleichheit auf, so würfele für beide Prioritäten weitere Bits aus, bis sie verschieden sind. p = 0,0000 p = 0,00000 p 2 = 0,0000 p 2 = 0,