Fast Searching / Balanced trees
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- Bella Ackermann
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1 Fast Searching / Balanced trees November, 8 Algorithms & Datastructures Exercises WS 8 DI -Tanase, DI Stefan Grünberger University Linz, Institute for Pervasive Computing Altenberger Straße 69, A- Linz anzengruber@pervasive.jku.at; stefan.gruenberger@pervasive.jku.at
2 Balancierte Bäume: Motivation Reale Daten meist nicht zufällig verteilt Degenerierung binärer Suchbäume in lineare Listen verhindern! Ziel Suchen/Einfügen in O(log(n)) Idee Struktur des Baumes überwachen bei Einfügen / Entfernen ggf. Restrukturierung durchführen Binäre Suchbäume, die selbst im schlimmsten Fall das Durchführen von Such-, Einfüge- und Löschoperationen in O(log(n)) garantieren höhenbalancierte Bäume (z.b.: AVL-Tree) Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
3 Balancierte Bäume: Degenerierung 7,, 8, 7, 7 Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
4 Balancierte Bäume: Degenerierung 7,, 8, 7, 7 Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
5 Balancierte Bäume: Degenerierung 7,, 8, 7, 7 8 Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
6 Balancierte Bäume: Degenerierung 7,, 8, 7, Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 6
7 Balancierte Bäume: Degenerierung 7,, 8, 7, Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 7
8 Balancierte Bäume: Degenerierung 7,, 8, 7, Liste: Konstruktion O(n ) Zugriff O(n) Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 8
9 AVL-Tree Eigenschaften binärer Suchbaum für jeden Knoten unterscheiden sich die Höhen seiner beiden Teilbäume um höchstens ( balanced ) Beispiele Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
10 AVL-Tree: Einfügen Generelles Einfügen wie bei binärem Suchbaum Kann dazu führen, dass AVL-Baum unbalanciert wird Restrukturierung Restrukturierung. vom neuen Knoten im Baum aufwärts gehen, bis erster Knoten x gefunden wird, dessen Großvater z ein unbalancierter Knoten ist (getxyz(...)). y als Sohn von z definieren (= derjenige Knoten, den wir auf dem Weg zu z passiert haben); es gilt, dass height(y) = height(sibling(y))+. x als Sohn von y definieren. x,y,z in a,b,c umbenennen (nach inorder-traversierung!) (getabc(...)). z durch b ersetzen 6. Kinder von b sind nun a (links) und c (rechts) 7. Kinder von a und c sind die Subbäume T T, welche zuvor Kinder von x, y und z waren umhängen, wobei Fälle zu unterscheiden sind. Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
11 AVL-Tree: Rotations Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
12 AVL-Tree: Rotations Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
13 AVL-Tree: Rotations Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
14 AVL-Tree: Rotations insert() Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
15 AVL-Tree: Rotations insert() Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
16 AVL-Tree: Rotations insert() - Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 6
17 AVL-Tree: Rotations insert() - Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 7
18 AVL-Tree: Rotations z y - x Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 8
19 AVL-Tree: Rotations z z=c x y - nach inorder Umbenennen x=a y=b - Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 9
20 AVL-Tree: Rotations z=c b x=a y=b T T single rotation a c T T Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
21 AVL-Tree: Rotations z=c b x=a y=b T T single rotation a c AVL T T Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
22 AVL-Tree: Single Rotation Fall Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
23 AVL-Tree: Single Rotation Fall Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
24 AVL-Tree: Single Rotation Fall insert Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
25 AVL-Tree: Single Rotation Fall insert Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
26 AVL-Tree: Single Rotation Fall insert Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 6
27 AVL-Tree: Single Rotation Fall insert Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 7
28 AVL-Tree: Single Rotation Fall z y 7 6 x 8 insert Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 8
29 AVL-Tree: Single Rotation Fall z = a y = b 7 6 x = c 8 insert Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 9
30 AVL-Tree: Single Rotation Fall z = a 7 6 T T 8 y = b x = c T T Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
31 AVL-Tree: Single Rotation Fall b a c 6 T 8 7 T T T Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
32 AVL-Tree: Single Rotation Fall 6 7 T 8 T T T Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
33 AVL-Tree: Single Rotation Fall 6 7 T 8 T T T AVL Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
34 AVL-Trees: Cut & Link Restrukturierung Ablauf. Nummeriere 7 Teile nach inorder-traversierung. Erzeuge Array mit den Indizes..6, schneide die Subbäume sowie die Knoten x, y und z ab, und setze sie entsprechend ihrer Nummerierung ins Array. Setze Element auf Position als Wurzel, jene auf Positionen bzw. als linkes bzw. rechtes Kind von, und schließlich,, und 6 als Kinder von und Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
35 AVL-Tree: Single Rotation Fall z = a 7 6 T T 8 y = b x = c T T Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
36 AVL-Tree: Single Rotation Fall 7 6 T T z = a 8 T y = b x = c T 6 Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 6
37 AVL-Tree: Single Rotation Fall 7 6 T T z = a 8 6 T y = b x = c T 6 T z=a T y=b T x=c T Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 7
38 AVL-Tree: Single Rotation Fall b parent a 6 c T 8 7 T T T Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 8
39 AVL-Trees: Entfernen Löschen wie im binären Suchbaum ausgehend vom Elternknoten des entfernten inorder Nachfolgers bis zur Wurzel auf Balanciertheit prüfen ggf. Restrukturierung. Suche des. unbalancierten Knotens z. Setze y auf Kind von z mit größter Höhe. Setze x auf Kind von y mit größter Höhe Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 9
40 AVL-Trees: Entfernen Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
41 AVL-Trees: Entfernen remove Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
42 AVL-Trees: Entfernen remove Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
43 AVL-Trees: Entfernen remove Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
44 AVL-Trees: Entfernen remove Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
45 AVL-Trees: Entfernen remove Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
46 AVL-Trees: Entfernen remove z - 6 Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 6
47 AVL-Trees: Entfernen remove z - 6 y Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 7
48 AVL-Trees: Entfernen remove z - 6 y x Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 8
49 AVL-Trees: Entfernen remove z=a 6 y=b x=c Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 9
50 AVL-Trees: Entfernen Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
51 AVL-Trees: Entfernen Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
52 AVL-Trees: Entfernen Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
53 AVL-Trees: Entfernen z Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
54 AVL-Trees: Entfernen y z Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
55 AVL-Trees: Entfernen y z 8 x 6 9 Algorithms & Datastructures // Balanced Trees //
56 AVL-Trees: Entfernen y=b z=c 8 x=a 6 9 T T T T Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 6
57 AVL-Trees: Entfernen b a c 8 6 T T T 9 T Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 7
58 Übung Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 8
59 Übung 8 AVL 6 T T T 9 T Algorithms & Datastructures // Balanced Trees // 9
60 Fast Searching / Balanced trees November, 8 Algorithms & Datastructures Exercises WS 8 DI -Tanase, DI Stefan Grünberger University Linz, Institute for Pervasive Computing Altenberger Straße 69, A- Linz anzengruber@pervasive.jku.at; stefan.gruenberger@pervasive.jku.at
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