Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2018/2019 Übung#5, Christian Rieck, Arne Schmidt

Transkript

1 Institute of Operating Systems and Computer Networks Algorithms Group Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 208/209 Übung#5, Christian Rieck, Arne Schmidt

2 Konvexe Hülle Konvexe Hülle: das kleinste konvexe Polygon, so dass alle Punkte entweder auf dem Rand oder im Inneren des Polygons liegen. Gegeben: Punktmenge P in der Ebene Gesucht: Konvexe Hülle CH(P) von P Vorstellung: Punkte ~ Nägel auf Brett konvexe Hülle ~ Gummiband um die Nägel

3 Graham Scan p 5 p 3 Idee: verarbeite Punkte in Reihenfolge p 4 p 2 der Polarwinkel, die sie mit einem p 6 Referenzpunkt bilden p p 0 Referenzpunkt: der Punkt mit kleinster y- Koordinate (Tie-Breaking: linkester solcher!)

4 Graham Scan Berechnung von CH(Q) Kandidatenpunkte werden als Stack vorgehalten jeder Punkt des Inputs wird einmal auf den Stack gepusht jeder Punkt der nicht Teil von CH(Q) ist wird irgendwann vom Stack gepopt p 6 p 5 p 4 p 3 p p 2 p 0 Am Ende enthält der Stack genau die Knoten von CH(Q) gegen den Uhrzeigersinn Funktionen POP(S) PUSH(S, X) TOP(S) ~ gibt Punkt oben auf dem Stack wieder, ohne S zu ändern NEXT-TO-TOP(S) ~ gibt Punkt unter oberstem Punkt auf dem Stack wieder, ohne S zu ändern

5 Graham Scan GRAHAM-SCAN(Q). Sei p_0 der Referenzpunkt aus Q; S ein Stack 2. Seien p_,, p_n die restlichen Punkte aus Q, sortiert nach Polarwinkel gegen den Uhrzeigersinn zu p_0; gibt p 5 es mehrere Punkte mit gleichem Polarwinkel, entferne p 3 alle bis auf den mit dem größten Abstand zu p_0 3. PUSH(S, p_0) 4. PUSH(S, p_) p 6 p 4 p 2 5. PUSH(S, p_2) p 6. FOR(i=3 to n) () WHILE(Winkel zwischen NEXT-TO-TOP(S), TOP(S), p 0 p_i macht eine nicht-links Drehung) POP(S) (2) PUSH(S, p_i) p 5 = p i p 4 =TOP(S) p 3 = NEXT-TO-TOP(S) 7. return S

6 Graham Scan GRAHAM-SCAN(Q). Sei p_0 der Referenzpunkt aus Q; S ein Stack 2. Seien p_,, p_n die restlichen Punkte aus Q, sortiert nach Polarwinkel gegen den Uhrzeigersinn zu p_0; gibt p 5 es mehrere Punkte mit gleichem Polarwinkel, entferne p 3 alle bis auf den mit dem größten Abstand zu p_0 3. PUSH(S, p_0) 4. PUSH(S, p_) p 6 p 4 p 2 5. PUSH(S, p_2) p 6. FOR(i=3 to n) () WHILE(Winkel zwischen NEXT-TO-TOP(S), TOP(S), p 0 p_i macht eine nicht-links Drehung) POP(S) (2) PUSH(S, p_i) p 6 = p i p 5 =TOP(S) p 3 = NEXT-TO-TOP(S) 7. return S

7 Graham Scan GRAHAM-SCAN(Q). Sei p_0 der Referenzpunkt aus Q; S ein Stack 2. Seien p_,, p_n die restlichen Punkte aus Q, sortiert nach Polarwinkel gegen den Uhrzeigersinn zu p_0; gibt es mehrere Punkte mit gleichem Polarwinkel, entferne alle bis auf den mit dem größten Abstand zu p_0 3. PUSH(S, p_0) 4. PUSH(S, p_) 5. PUSH(S, p_2) 6. FOR(i=3 to n) () WHILE(Winkel zwischen NEXT-TO-TOP(S), TOP(S), p_i macht eine nicht-links Drehung) POP(S) (2) PUSH(S, p_i) 7. return S GRAHAM-SCAN berechnet die konvexe Hülle einer Punktmenge in Zeit O(nlog n)

8 Jarvis March (Gift Wrapping)

9 Jarvis March (Gift Wrapping) Für viele weitere Algorithmen im Kontext von Geometrie: Algorithmische Geometrie (Computational Geometry) im Wintersemester! (aktuelle Webseite:

10 Binäre Bäume Binäre Bäume sind gewurzelte und gerichtete Bäume. Jeder Knoten hat kein, ein oder zwei Kind(er). Jeder Knoten (außer der Wurzel) hat genau einen Vater. Mit Totalordnung der Elemente gibt das einen binären Suchbaum, bei dem Suchen, Einfügen, Löschen, realisiert werden kann. Schlüssel im linken Teilbaum: < Schlüssel im rechten Teilbaum: > Seien folgende Elemente gegeben:, 7, 3, 9, 7, 3, 3, 23, 5, 29. Das Einfügen dieser Elemente von links nach rechts in einen binären Suchbaum ergibt den folgenden Baum

11 Binäre Bäume Voller binärer Baum jeder Knoten hat kein oder zwei Kind(er) Vollständiger binärer Baum voller binärer Suchbaum alle Blätter haben den gleichen Abstand zur Wurzel Degenerierter binärer Baum jeder Knoten hat maximal ein Kind

12 Operation: Search(6) 3 3< > <6 6 6=6

13 Operation: Minimum, Maximum

14 Operation: Predecessor(7), Predecessor(5)

15 Operation: Successor(3), Successor(6)

16 Operation: Insert(4)

17 Operation: Delete(2)

18 Operation: Delete(2)

19 Operation: Delete(3)

20 Operation: Delete(3)

21 Traversierung pre-order Besuche die Wurzel Traversiere den linken Teilbaum Traversiere den rechten Teilbaum 3,2,,7,5,6,8 post-order Traversiere den linken Teilbaum Traversiere den rechten Teilbaum Besuche die Wurzel,2,6,5,8,7,3 in-order Traversiere den linken Teilbaum Besuche die Wurzel Traversiere den rechten Teilbaum,2,3,5,6,7,8

22 Binäre Bäume Suchen 7 7 Minimum Maximum Satz Nachfolger Vorgänger Einfügen Löschen Satz 4.5 Satz 4.6 O(h) 29

23 AVL-Bäume Definition 4.7 (Nach Adelson-Velski und Landis, 962). Ein binärer Suchbaum ist höhenbalanciert, wenn sich für jeden inneren Knoten v die Höhe der beiden Kinder von v um höchstens unterscheidet. 2. Ein höhenbalancierter Suchbaum heißt auch AVL-Baum.

24 Operation: Insert(0)

25 Restructure Satz. Die Höhe eines AVL-Baumes mit n Knoten ist O(log n) Wie erhalten wir die AVL-Eigenschaft beim Einfügen und Löschen? Lokal restrukturieren!

26 Restructure sei v der eingefügte/entfernte Knoten z ist der erste unbalancierte Knoten von v zur Wurzel y ist das höhere Kind von z x ist das höhere Kind von y (falls gleich hoch: beliebig) sei a b c die Größensortierung von x,y,z und T 0,T,T 2,T 3 die Größensortierung der Teilbäume an den übrigen Kindern von x,y,z Dann: Ersetze z durch b mit linkem Kind a, rechtem Kind c und hänge die Teilbäume T und als linkes/rechtes 0 T Kind an a und T 2 und T 3 als linkes/rechtes Kind an c

27 Restructure: x<y<z z y T 3 y x T 2 x z T 0 T T 0 T T 2 T 3 nicht balanciert balanciert

28 Restructure: z<y<x z T 0 y y T x z x T 2 T 3 T 0 T T 2 T 3 nicht balanciert balanciert

29 Restructure: y<x<z z y T 3 x T 0 x y z T T 2 T 0 T T 2 T 3 nicht balanciert balanciert

30 Restructure: z<x<y z y x T 0 x T 3 z y T T 2 T 0 T T 2 T 3 nicht balanciert balanciert

31 Restructure: andere Fälle Die folgenden Fälle haben wir schon betrachtet: x<y<z, y<x<z, z<y<x, z<x<y Es fehlen allerdings noch zwei Möglichkeiten die drei Elemente anzuordnen: y<z<x, x<z<y Wie rotieren wir in diesen Fällen? Können diese Fälle überhaupt auftreten?

32 Insert(0) - Restructure 4 4 z y x nicht balanciert balanciert

33 Delete(2) - Restructure 4 z y x nicht balanciert balanciert

34 Arbitrary chosen theorems / lemmas about trees. Satz. Jeder gerichtete Baum hat einen Knoten mit Eingangsgrad 0. Satz. Ein vollständiger binärer Suchbaum der Höhe h hat 2 h Blätter. Satz. In einem gewurzelten Baum T gibt es einen eindeutigen Weg von der Wurzel zu jedem anderen Knoten. Satz. Jeder Baum hat ein Blatt in seiner größeren disjunkten Teilmenge (in beiden, falls die Mengen gleich groß sind). Satz. Eine Punktmenge mit n Knoten hat genau n n 2 verschieden bezeichnete Bäume. Satz. Das Zentrum einen Baumes besteht aus genau einem oder zwei benachbarten Knoten. Satz. Ein Baum mit mindestens zwei Knoten besitzt mindestens zwei Blätter. Satz. Für einen Wald mit n Knoten, p Zusammenhangskomponenten und m Kanten gilt: n = m+p. Satz. Jeder zusammenhängende Graph besitzt ein aufspannenden Baum als Teilgraphen. Satz. Sei G ein Graph mit Minimalgrad mindestens k und T ein Baum mit k Kanten. Dann enthält G T als Teilgraph. Satz. Für einen Baum T mit Knotengraden in {,k}, die mögliche Menge n an Knoten sind die natürlichen Zahlen x(k-)+2 für natürliche Zahlen k und x.

35 Arbitrary chosen theorems / lemmas about trees. Satz. Jeder gerichtete Baum hat einen Knoten mit Eingangsgrad 0. Satz. Ein vollständiger binärer Suchbaum der Höhe h hat 2 h Blätter. Satz. In einem gewurzelten Baum T gibt es einen eindeutigen Weg von der Wurzel zu jedem anderen Knoten. Satz. Jeder Baum hat ein Blatt in seiner größeren disjunkten Teilmenge (in beiden, falls die Mengen gleich groß sind). Satz. Eine Punktmenge mit n Knoten hat genau n n 2 verschieden bezeichnete Bäume. Satz. Das Zentrum einen Baumes besteht aus genau einem oder zwei benachbarten Knoten. Satz. Ein Baum mit mindestens zwei Knoten besitzt mindestens zwei Blätter. Satz. Für einen Wald mit n Knoten, p Zusammenhangskomponenten und m Kanten gilt: n = m+p. Satz. Jeder zusammenhängende Graph besitzt ein aufspannenden Baum als Teilgraphen. Satz. Sei G ein Graph mit Minimalgrad mindestens k und T ein Baum mit k Kanten. Dann enthält G T als Teilgraph. Satz. Für einen Baum T mit Knotengraden in {,k}, die mögliche Menge n an Knoten sind die natürlichen Zahlen x(k-)+2 für natürliche Zahlen k und x.

36 Hard questions

37 Sequence von Bäumen, TREE(n) Spiel: Gegeben n verschiedene Typen von Knoten (=> Label). Baue die längste Sequence von gewurzelten Bäumen mit dieser Typenanzahl von Knoten. Regeln: Sei T_,, T_m eine Sequence von Bäumen mit n Labeln, dann muss gelten: Jeder Baum T_i ( i m) in der Sequence besteht aus maximal i Knoten. Für jeden Baum T_k ist kein Baum T_j mit j < k m in T_k enthalten.

38 Sequence von Bäumen, TREE(n) Was heißt enthalten?

39 Sequence von Bäumen, TREE(n) TREE() =

40 Sequence von Bäumen, TREE(n) TREE(2) = s3 Kriegen wir eine längere Sequenz?

41 Sequence von Bäumen, TREE(n) TREE(2) = 3

42 Sequence von Bäumen, TREE(n) TREE(3) Uhm well okay

43

44 Ramseytheorie Frage: Kann man die Menge der natürlichen Zahlen so in zwei Teile teilen, dass keines von beiden ein pythagoräisches Tripel besitzt? Antwort: Die Menge {,,7824} kann so in zwei Teile geteilt werden, dass keines von beiden ein pythagoräisches Tripel besitzt. Für {,,7825} gilt dies nicht mehr.

45 Frage aus Ramseytheorie Konstruktion: Sei ein n-dimensionaler Hyperwürfel gegeben. Verbinde jedes Paar von geometrischen Knoten, um einen geometrischen Graphen mit 2^n vielen Knoten zu bekommen. Färbe jede Kante des Graphen entweder rot oder blau. Frage: Was ist die kleinste Zahl n für die gilt, dass jede solche Färbung mindestens einen einfarbigen, koplanaren K_4 beinhaltet.

46 Frage aus Ramseytheorie Die Antwort auf die Frage ist 3 n G. Graham s Number (Ronald Graham, der gleiche Ronald Graham wie der vom Graham Scan, ) Arrow-Notation: 3 3 = = 3 (3 3) = 3 27 = g = 3 3 g 2 = 3 g many = = #Potenzierungen G = g 64 = 3 3 g 63 many

47 Frage aus Ramseytheorie Die letzten 500 Stellen von Grahams Zahl:

48 Frage aus Ramseytheorie Wir können uns die Anzahl an Stellen von g_ folgendermaßen vorstellen: Allein die Zahl an Potenzierungen, also die Größe des Potenzturms von g_, ist viel viel größer als die Anzahl an Planck-Volumen (4,222*0^(-05)) in die das beobachtbare Universum zerteilt werden kann (~0^85). Und das ist erst g_,

49 Und was war jetzt mit TREE(3)? TREE(3) >>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>> Graham s Number G (but finite; Kuskal s Tree Theorem)