Durchschnitte und Sichtbarkeit
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1 Durchschnitte und Sichtbarkeit Elmar Langetepe University of Bonn Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 1
2 Durchschnitt von Halbgeraden/Konvexe Hülle Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 2
3 Durchschnitt von Halbgeraden/Konvexe Hülle n Geraden G i, 1 i n, in der Ebene, nicht senkrecht Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 2
4 Durchschnitt von Halbgeraden/Konvexe Hülle n Geraden G i, 1 i n, in der Ebene, nicht senkrecht G i = {(x, y) IR 2 ; y = a i x + b i } = {Y = a i X + b i } Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 2
5 Durchschnitt von Halbgeraden/Konvexe Hülle n Geraden G i, 1 i n, in der Ebene, nicht senkrecht G i = {(x, y) IR 2 ; y = a i x + b i } = {Y = a i X + b i } Durchschnitt der unteren Halbebenen H i = {Y a i X + b i } Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 2
6 Durchschnitt von Halbgeraden/Konvexe Hülle n Geraden G i, 1 i n, in der Ebene, nicht senkrecht G i = {(x, y) IR 2 ; y = a i x + b i } = {Y = a i X + b i } Durchschnitt der unteren Halbebenen H i = {Y a i X + b i } G 7 G 1 G3 G 2 p 1 p 8 G 5 G 6 p 3 p 7 p 5 p 2 p 6 G 4 p4 8! H i i=1 G 8 Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 2
7 Jetzt: Dualität ausnutzen Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 3
8 Jetzt: Dualität ausnutzen Theorem 4.10 Arrangement von n Geraden G i : G i G j ist Eckpunkt des Durchschnitts der unteren Halbebenen das Liniensegment G i G j ist eine untere Kante der konvexen Hülle der Punkte G i Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 3
9 Jetzt: Dualität ausnutzen Theorem 4.10 Arrangement von n Geraden G i : G i G j ist Eckpunkt des Durchschnitts der unteren Halbebenen das Liniensegment G i G j ist eine untere Kante der konvexen Hülle der Punkte G i Konvexe Hülle und Schnitt von Halbebenen ist identisch Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 3
10 Jetzt: Dualität ausnutzen Theorem 4.10 Arrangement von n Geraden G i : G i G j ist Eckpunkt des Durchschnitts der unteren Halbebenen das Liniensegment G i G j ist eine untere Kante der konvexen Hülle der Punkte G i Konvexe Hülle und Schnitt von Halbebenen ist identisch Beweis! Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 3
11 Ergebnisse Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 4
12 Ergebnisse Korollar 4.11 Die Berechnung des Durchschnitts von n Halbebenen hat die Zeitkomplexität Θ(n log n). Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 4
13 Ergebnisse Korollar 4.11 Die Berechnung des Durchschnitts von n Halbebenen hat die Zeitkomplexität Θ(n log n). Korollar 4.12 Der Schnitt von n Halbebenen, deren Geraden nach Steigung sortiert sind, kann in Zeit O(n) berechnet werden. Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 4
14 Triangulation Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 5
15 Triangulation Struktur ausnutzen (Kürzeste Wege, Suchen nach Punkten) Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 5
16 Triangulation Struktur ausnutzen (Kürzeste Wege, Suchen nach Punkten) Definition, Diagonale von P : Liniensegment in P zwischen Ecken p i und p j, das den Rand von P genau in p i und p j gemeinsam hat Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 5
17 Triangulation Struktur ausnutzen (Kürzeste Wege, Suchen nach Punkten) Definition, Diagonale von P : Liniensegment in P zwischen Ecken p i und p j, das den Rand von P genau in p i und p j gemeinsam hat Definition, Triangulation von P : Maximale Menge sich nicht schneidender Diagonalen von P zusammen mit Rand Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 5
18 Triangulation Struktur ausnutzen (Kürzeste Wege, Suchen nach Punkten) Definition, Diagonale von P : Liniensegment in P zwischen Ecken p i und p j, das den Rand von P genau in p i und p j gemeinsam hat Definition, Triangulation von P : Maximale Menge sich nicht schneidender Diagonalen von P zusammen mit Rand DS: Folge von Dreiecken (Dual: Baum) Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 5
19 Triangulation Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 6
20 Triangulation Lemma 4.14: Jedes einfache Polygon P kann trianguliert werden. Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 6
21 Triangulation Lemma 4.14: Jedes einfache Polygon P kann trianguliert werden. Induktion über Anzahl P = n Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 6
22 Triangulation Lemma 4.14: Jedes einfache Polygon P kann trianguliert werden. Induktion über Anzahl P = n Ind. Anfg.: n = 3 fertig! Dreieck! Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 6
23 Triangulation Lemma 4.14: Jedes einfache Polygon P kann trianguliert werden. Induktion über Anzahl P = n Ind. Anfg.: n = 3 fertig! Dreieck! Ind. Schluss: P = n, n 4 Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 6
24 Triangulation Lemma 4.14: Jedes einfache Polygon P kann trianguliert werden. Induktion über Anzahl P = n Ind. Anfg.: n = 3 fertig! Dreieck! Ind. Schluss: P = n, n 4 Lemma 4.13: Ex ex. stets mind. eine Diagonale d Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 6
25 Triangulation Lemma 4.14: Jedes einfache Polygon P kann trianguliert werden. Induktion über Anzahl P = n Ind. Anfg.: n = 3 fertig! Dreieck! Ind. Schluss: P = n, n 4 Lemma 4.13: Ex ex. stets mind. eine Diagonale d Aufteilung: P 1, P 2 entlang d, Ind. Ann. für P 1, P 2 und zusammensetzen Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 6
26 Triangulation Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 7
27 Triangulation Lemma 4.13: Ist P konvex, dann bildet jedes nicht-konsekutive Paar von Ecken eine Diagonale. Ist P nicht-konvex, und v eine beliebige spitze Ecke (Innenwinkel > 180 ), dann gibt es eine Diagonale mit Eckpunt v. Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 7
28 Triangulation Lemma 4.13: Ist P konvex, dann bildet jedes nicht-konsekutive Paar von Ecken eine Diagonale. Ist P nicht-konvex, und v eine beliebige spitze Ecke (Innenwinkel > 180 ), dann gibt es eine Diagonale mit Eckpunt v. Beweis! Konstruktiv geometrisch! Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 7
29 Triangulation: Anzahl Dreiecke/Diagonalen, Dualer Graph Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 8
30 Triangulation: Anzahl Dreiecke/Diagonalen, Dualer Graph Bemerkung: Jede Triangulation von P mit P = n hat n 2 Dreiecke und n 3 Diagonalen! Beweis: Induktion, wie eben! Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 8
31 Triangulation: Anzahl Dreiecke/Diagonalen, Dualer Graph Bemerkung: Jede Triangulation von P mit P = n hat n 2 Dreiecke und n 3 Diagonalen! Beweis: Induktion, wie eben! Lemma 4.15: Der duale Graph T ist ein Baum mit Knotengrad 3. Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 8
32 Triangulation: Anzahl Dreiecke/Diagonalen, Dualer Graph Bemerkung: Jede Triangulation von P mit P = n hat n 2 Dreiecke und n 3 Diagonalen! Beweis: Induktion, wie eben! Lemma 4.15: Der duale Graph T ist ein Baum mit Knotengrad 3. Beweis: Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 8
33 Triangulation: Anzahl Dreiecke/Diagonalen, Dualer Graph Bemerkung: Jede Triangulation von P mit P = n hat n 2 Dreiecke und n 3 Diagonalen! Beweis: Induktion, wie eben! Lemma 4.15: Der duale Graph T ist ein Baum mit Knotengrad 3. Beweis: Benutze Ohrensatz! Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 8
34 Triangulation: Ohrensatz Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 9
35 Triangulation: Ohrensatz Theorem 4.16: In jeder Triangulation eines einfachen Polygons mit n 4 Ecken, gibt es mindestens zwei Dreiecke, deren Rand nur von einer Diagonale begrenzt wird. Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 9
36 Triangulation: Ohrensatz Theorem 4.16: In jeder Triangulation eines einfachen Polygons mit n 4 Ecken, gibt es mindestens zwei Dreiecke, deren Rand nur von einer Diagonale begrenzt wird. Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 9
37 Triangulation: Ohrensatz Theorem 4.16: In jeder Triangulation eines einfachen Polygons mit n 4 Ecken, gibt es mindestens zwei Dreiecke, deren Rand nur von einer Diagonale begrenzt wird. Beweis: Zählargument! Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 9
38 Triangulation: Anwendung! Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 10
39 Triangulation: Anwendung! Turtle Geometry: Bewegung um ein Hindernis herum Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 10
40 Triangulation: Anwendung! Turtle Geometry: Bewegung um ein Hindernis herum Drehwinkel zählen, nach Bedingung wieder abspringen Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 10
41 Triangulation: Anwendung! Turtle Geometry: Bewegung um ein Hindernis herum Drehwinkel zählen, nach Bedingung wieder abspringen Drehwinkel (CCW) α j,j+1, Drehwinkel-Summe: α i,k = α i,i+1 + α i+1,i α k 1,k, Gesamtdrehung α i,i! Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 10
42 Triangulation: Anwendung! Turtle Geometry: Bewegung um ein Hindernis herum Drehwinkel zählen, nach Bedingung wieder abspringen Drehwinkel (CCW) α j,j+1, Drehwinkel-Summe: α i,k = α i,i+1 + α i+1,i α k 1,k, Gesamtdrehung α i,i! " e j+2! j+1,j+2 v j+1 e j+1 v j 2! j-2,j-1 < 0 D # j! j,j+1 v j e j-1 $ e j v j-1! j-1,j Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 10
43 Triangulation: Anwendung Drehungen! Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 11
44 Triangulation: Anwendung Drehungen! Lemma 4.17: Sei P ein einfaches Polygon und e i eine beliebige Kante, dann gilt: α i,i = 2π. Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 11
45 Triangulation: Anwendung Drehungen! Lemma 4.17: Sei P ein einfaches Polygon und e i eine beliebige Kante, dann gilt: α i,i = 2π. " e j+2! j+1,j+2 v j+1 e j+1 v j 2! j-2,j-1 < 0 D # j! j,j+1 v j e j-1 $ e j v j-1! j-1,j Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 11
46 Triangulation: Anwendung Drehungen! Lemma 4.17: Sei P ein einfaches Polygon und e i eine beliebige Kante, dann gilt: α i,i = 2π. " e j+2! j+1,j+2 v j+1 e j+1 v j 2! j-2,j-1 < 0 D # j! j,j+1 v j e j-1 $ e j v j-1! j-1,j Beweis: Induktion (Dreiecke benutzen!) Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 11
47 Berechnungskomplexität! Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 12
48 Berechnungskomplexität! Chazelle 1991: O(n) Algorithmus, Diagonalen! Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 12
49 Berechnungskomplexität! Chazelle 1991: O(n) Algorithmus, Diagonalen! Seidel 1995: O(n log n) Algorithmus (Vorlesung: Discrete and Computational Geometry) Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 12
50 Weitere Anwendung: Art Gallery Probleme Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 13
51 Weitere Anwendung: Art Gallery Probleme Einfaches Polygon gegeben: Wieviel Wächter werden benötigt? Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 13
52 Weitere Anwendung: Art Gallery Probleme Einfaches Polygon gegeben: Wieviel Wächter werden benötigt? Sichtbarkeit: Punkt p P, Sichtbarkeitspolygon: vis P (p) Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 13
53 Weitere Anwendung: Art Gallery Probleme Einfaches Polygon gegeben: Wieviel Wächter werden benötigt? Sichtbarkeit: Punkt p P, Sichtbarkeitspolygon: vis P (p) Vereinigung ergibt das gesamte Polygon! Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 13
54 Weitere Anwendung: Art Gallery Probleme Einfaches Polygon gegeben: Wieviel Wächter werden benötigt? Sichtbarkeit: Punkt p P, Sichtbarkeitspolygon: vis P (p) Vereinigung ergibt das gesamte Polygon! Finde kleinste Menge an Punkten: P = k i=1 p i! Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 13
55 Weitere Anwendung: Art Gallery Probleme Einfaches Polygon gegeben: Wieviel Wächter werden benötigt? Sichtbarkeit: Punkt p P, Sichtbarkeitspolygon: vis P (p) Vereinigung ergibt das gesamte Polygon! Finde kleinste Menge an Punkten: P = k i=1 p i! Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 13
56 Art Gallery Probleme: Untere/Obere Schranke Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 14
57 Art Gallery Probleme: Untere/Obere Schranke Theorem 4.21: Ein einfaches Polygon P mit n Ecken kann stets mit n 3 Wächtern überwacht werden. Es gibt beliebig große Beispiele, wo diese Anzahl auch benötigt wird. Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 14
58 Art Gallery Probleme: Untere/Obere Schranke Theorem 4.21: Ein einfaches Polygon P mit n Ecken kann stets mit n 3 Wächtern überwacht werden. Es gibt beliebig große Beispiele, wo diese Anzahl auch benötigt wird. Untere Schranke, skalierbares Beispiel: Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 14
59 Art Gallery Probleme: Untere/Obere Schranke Theorem 4.21: Ein einfaches Polygon P mit n Ecken kann stets mit n 3 Wächtern überwacht werden. Es gibt beliebig große Beispiele, wo diese Anzahl auch benötigt wird. Untere Schranke, skalierbares Beispiel: m Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 14
60 Art Gallery Probleme: Untere/Obere Schranke Theorem 4.21: Ein einfaches Polygon P mit n Ecken kann stets mit n 3 Wächtern überwacht werden. Es gibt beliebig große Beispiele, wo diese Anzahl auch benötigt wird. Untere Schranke, skalierbares Beispiel: m Obere Schranke: Beweis mit Triangulation! Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 14
61 Art Gallery Probleme: Obere Schranke Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 15
62 Art Gallery Probleme: Obere Schranke n 3 Wächter reichen aus! Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 15
63 Art Gallery Probleme: Obere Schranke n 3 Wächter reichen aus! k-färbbarkeit eines Graphen (G = (V, E), E V V ) Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 15
64 Art Gallery Probleme: Obere Schranke n 3 Wächter reichen aus! k-färbbarkeit eines Graphen (G = (V, E), E V V ) Färbe Kn., jede Kante zwei Kn.-farben, min. Anzahl k Farben Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 15
65 Art Gallery Probleme: Obere Schranke n 3 Wächter reichen aus! k-färbbarkeit eines Graphen (G = (V, E), E V V ) Färbe Kn., jede Kante zwei Kn.-farben, min. Anzahl k Farben Chromatic Number, 4-Färbbarkeit planarer Graphen Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 15
66 Art Gallery Probleme: Obere Schranke n 3 Wächter reichen aus! k-färbbarkeit eines Graphen (G = (V, E), E V V ) Färbe Kn., jede Kante zwei Kn.-farben, min. Anzahl k Farben Chromatic Number, 4-Färbbarkeit planarer Graphen Beweis: 3-Färbbarkeit einer Triangulation, Induktion! Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 15
67 Art Gallery Probleme: Obere Schranke n 3 Wächter reichen aus! k-färbbarkeit eines Graphen (G = (V, E), E V V ) Färbe Kn., jede Kante zwei Kn.-farben, min. Anzahl k Farben Chromatic Number, 4-Färbbarkeit planarer Graphen Beweis: 3-Färbbarkeit einer Triangulation, Induktion! v e Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 15
68 Art Gallery Probleme: Obere Schranke: n v e Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 16
69 Art Gallery Probleme: Obere Schranke: n 3 3-Färbung verwenden v e Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 16
70 Art Gallery Probleme: Obere Schranke: n 3 3-Färbung verwenden Wähle eine Farbe, dann ist jedes Dreieck bewacht, einsehbar v e Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 16
71 Art Gallery Probleme: Obere Schranke: n 3 3-Färbung verwenden Wähle eine Farbe, dann ist jedes Dreieck bewacht, einsehbar Es existiert eine Farbe mit n 3 vielen Knoten v e Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 16
72 Art Gallery Probleme: Obere Schranke: n 3 3-Färbung verwenden Wähle eine Farbe, dann ist jedes Dreieck bewacht, einsehbar Es existiert eine Farbe mit n 3 vielen Knoten Ganzzahlig reicht: n v e Algorithmische Geometrie Durchschnitte c Elmar Langetepe SS 15 16
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