Algorithmische Geometrie: Einstimmung

Transkript

1 Algorithmische Geometrie: Einstimmung Nico Düvelmeyer WS 2009/2010,

2 Überblick 1 Organisatorisches 2 Fachgebiet Typische Untersuchungsgegenstände Typische Anwendungsgebiete 3 Inhalte der Vorlesung

3 Überblick 1 Organisatorisches 2 Fachgebiet Typische Untersuchungsgegenstände Typische Anwendungsgebiete 3 Inhalte der Vorlesung

4 Vorlesungszeiten und Räume Vorlesung: Dienstag, 8:15-9:45 Uhr, MI (2VO) Übung: Freitag (grob jeden 2.), 16:15-17:45 Uhr, MI (1UE)

5 Homepage http: //www-m9.ma.tum.de/bin/view/ws2009/algorithmischegeometrie Organisatorisches, Aktuelles Vorlesungsskript, Folien, Material Anmeldeliste: http: //portal.mytum.de/anmeldung/anmeldung_ _ Literatur Mark de Berg u.a., Computational Geometry, Algorithms and applications. Springer-Verlag, Berlin, 2. rev. ed., weitere Quellen, CGAL, Linksammlungen

6 Prüfung Klausur für Scheine Bachelor/Master Sonst nach Vereinbarung

7 Überblick 1 Organisatorisches 2 Fachgebiet Typische Untersuchungsgegenstände Typische Anwendungsgebiete 3 Inhalte der Vorlesung

8 Geschichtlicher Ursprung in 1970-ern entstanden, Algorithmenentwürfe und -analyse Grenzbereich zwischen Mathematik und Informatik praktische, wiederkehrende geometrische Fragestellungen

9 Mathematische Einflüsse Kombinatorische Geometrie Konvexgeometrie Algebra Stochastik

10 Typische Untersuchungsgegenstände: 1. Beispiel Beispiel (Voronoi-Diagramm)

11 Typische Untersuchungsgegenstände: 1. Beispiel Beispiel (Voronoi-Diagramm)

12 Zu klären ist... Die genaue mathematische Struktur des Voronoi-Diagramms. Eine geeignete Beschreibung dieser Struktur. Die Benutzung dieser Struktur für unser konkretes Suchproblem. Die Berechnung des Voronoi-Diagramms. Welche Komplexität hat das Voronoi-Diagramm an sich? Wie viel Speicherplatz benötigt unsere Darstellung des Voronoi-Diagramms? Wie lange dauern die Berechnungen (Struktur aufbauen; Suche)?

13 2. Beispiel Beispiel (Konvexe Hülle) konvexe Hülle von X: kleinste konvexe Menge, die X enthält

14 Typische Anwendungsgebiete:Computergraphik,... Erstellen von Bildern aus modellierten Szenen Bestimmung der sichtbaren Teile der Szene Ränder der Szene Beleuchtungsfragen (Strahlenverfolgung)

15 ..., Robotik,... Roboter sollen sich geplant bewegen. Erreichbarkeit gewisser Positionen Extremalprobleme

16 ... und GIS Objekte sinnvoll speichern? Kombination verschieder Aufteilungen Interpolation von Höhendaten

17 CAD/CAM Computer Aided Design, Computer Aided Manufacturing graphische Darstellung parallel zur Konstruktion Berechnung von geometrischen Eigenschaften Simulationen virtueller Prototypen Produktionsprozess (CAM)

18 Anwendungen in der Mathematik Numerik: Finite-Elemente-Methoden (FEM) starker Einfluß der geometrischen Eigenschaften Generierung und Verfeinerung von Aufteilungen rechnergestützte Untersuchungen, Beweise Clusteranalyse

19 Weitere Anwendungen z.b. Modellierung von Molekülen als Anordnung von Kugeln in der Chemie Zeichenerkennung (OCR) Datenbanken

20 Überblick 1 Organisatorisches 2 Fachgebiet Typische Untersuchungsgegenstände Typische Anwendungsgebiete 3 Inhalte der Vorlesung

21 Inhalte der Vorlesung Grundlagen Überblick klassische Fragestellungen Fragestellungen werden nicht erschöpfend behandelt Wichtige Techniken zum Algorithmenentwurf und deren Analyse keine Freiformflächen, parametrischen Kurven (Bezier, Spline)

22 Inhalte der Vorlesung: Überblick Einstimmung, Motivation, Orientierung Konvexe Hülle Schnittpunkte von Strecken Triangulierung von Polygonen Lineare Optimierung (1. Algorithmus) Lineare Optimierung (2. Algorithmus) Abfragen Orthogonaler Bereiche Lokalisierung von Punkten Lokalisierung von Punkten (Fortsetzung) Voronoi-Diagramme (Eigenschaften) Voronoi-Diagramme (Bestimmung) Anordnungen und Dualität Delaunay Triangulierung Delaunay Triangulierung (Fortsetzung) Abschluss und Auswertung

23 2. Konvexe Hülle Bestimmung der konvexe Hülle von n Punkten in der Ebene!

24 3. Schnittpunkte von Strecken Überlagerung von Karten Gleitebenenverfahren Doppelt verkettete Kantenliste

25 4. Triangulierung von Polygonen Museumswächterproblem Triangulierung eines ebenen Polygons Zerlegen eines Polygons in monotone Teile

26 5. Lineare Optimierung Geometrie von Gießformen Durchschnitte von Halbebenen Teile und Herrsche und auch randomisierter inkrementeller Algorithmus

27 6. Abfragen Orthogonaler Bereiche Kd-Baum Range-Baum

28 7. Lokalisierung von Punkten Bestimmung des Bereichs einer Karte, in welchem ein Punkt liegt. Trapezoidal Map

29 8. Voronoi-Diagramme Bestimmung Voronoi-Diagramm mit Gleitebenenverfahren

30 9. Anordnungen und Dualität Strahlenverfolgung als Motivation Geradenanordnung: die Aufteilung der Ebene durch n Geraden in Einzelteile

31 10. Delaunay Triangulierung Interpolation der Höhendaten in einzelnen Punkten auf ganze Fläche durch geeignete Triangulierung (maximaler Minimalwinkel) Dual zum Voronoi-Diagramm