Diskrete Optimierung

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1 Diskrete Optimierung Mi 10-12, C118, Sand Dr. Stephanie Reifferscheid Universität Tübingen, WSI 12. Oktober 2011 Dr. Stephanie Reifferscheid Diskrete Optimierung 12. Oktober / 17

2 Technisches Erreichbarkeit Telefon: (vormittags) Sprechstunde: Mi 9-10, B107 Modulkriterien (für Masterstudiengänge, alle anderen bitte umgehend bei mir melden) Übungen (ca zweiwöchentlich, Termin wird noch bekannt gegeben, siehe Homepage) Literatur Dr. Stephanie Reifferscheid Diskrete Optimierung 12. Oktober / 17

3 Modulkriterien Es gibt folgende Leistungsnachweise: Schriftliche Übungsblätter Die Übungsblätter werden entsprechend der erreichten Punktzahl benotet und die Note geht zu 20% in die Gesamtnote ein. Für eine 4,0 sind 40% der Übungsblattpunkte notwendig. Mündliche Prüfung Die mündlichen Prüfungen finden voraussichtlich im Zeitraum vom 06. bis 10. Februar 2012 vormittags statt. Die Note der Prüfung geht zu 80% in die Gesamtnote ein. Die Endnote berechnet sich also wie folgt: Endnote = 4 Prüfungsnote + Übungsnote 5 Dr. Stephanie Reifferscheid Diskrete Optimierung 12. Oktober / 17

4 Literatur Borgwardt, Karl-Heinz: Optimierung, Operations Research, Spieltheorie Mathematische Grundlagen, Birkhäuser 2001 Chvátal, Vašek: Linear Programming, Freeman, 1983 Cook, William J., Cunningham, William H., Pulleyblank, William R., Schrijver, Alexander: Combinatorial Optimization, Wiley, 1997 Dantzig, George: Lineare Programmierung und Erweiterungen, Springer, 1966 (3.Aufl: Princeton University Press, 1998) Dr. Stephanie Reifferscheid Diskrete Optimierung 12. Oktober / 17

5 Grötschel, Martin: Lineare Optimierung, Vorlesungsskript, Berlin, WS 2003/2004 Hauck, Peter: Diskrete Optimierung, Vorlesungsskript, Tübingen, SS 2003 Ihringer, Thomas: Diskrete Mathematik, Heldermann, 2002 Korte, Bernhard, Vygen, Jens: Combinatorial Optimization: Theory and Algorithms, Springer, 2007 Lee, Jon: A First Course in Combinatorial Optimization, Cambridge, 2004 Schrijver, Alexander : Theory of Linear and Integer Programming, Wiley, 1999 Dr. Stephanie Reifferscheid Diskrete Optimierung 12. Oktober / 17

6 Ein Beispiel Ein Bäcker hat in seiner Vorratskammer 30 kg Mehl, 25 kg Zucker, 100 l Milch, 10 kg Haselnüsse und 20 kg Zitronenmischung. Haselnusskuchen 40 Prozent Mehl 20 Prozent Zucker 25 Prozent Milch 15 Prozent Haselnüsse 7 Euro / 1 kg Zitronenkuchen 25 Prozent Mehl 30 Prozent Zucker 15 Prozent Milch 30 Prozent Zitronenmischung 3 Euro / 1 kg Dr. Stephanie Reifferscheid Diskrete Optimierung 12. Oktober / 17

7 Frage: Wie viele Haselnuss- bzw. Zitronenkuchen muss er backen, damit er mit den vorhandenen Zutaten auskommt, und den Gewinn optimiert? Dr. Stephanie Reifferscheid Diskrete Optimierung 12. Oktober / 17

8 Frage: Wie viele Haselnuss- bzw. Zitronenkuchen muss er backen, damit er mit den vorhandenen Zutaten auskommt, und den Gewinn optimiert? Haselnuss Zitrone Vorrat Mehl 0,4 0,25 30 Zucker 0,2 0,3 25 Milch 0,25 0, Haselnüsse 0,15-10 Zitronenmischung - 0,3 20 Gewinn/Kuchen 7 Euro 3 Euro Dr. Stephanie Reifferscheid Diskrete Optimierung 12. Oktober / 17

9 Mathematisch formuliert: Sei x die Anzahl der Haselnusskuchen und y die Anzahl der Zitronenkuchen. Dann ist die Aufgabe, die Funktion unter den Randbedingungen 1 0, 4x + 0, 25y 30 (Mehl) 2 0, 2x + 0, 3y 25 (Zucker) 3 0, 25x + 0, 15y 100 (Milch) 4 0, 15x 10 (Haselnüsse) 5 0, 3y 20 (Zitronenmischung) Z(x, y) = 7x + 3y 6 x, y 0 (nicht ganzzahlig zugelassen) zu maximieren. Dr. Stephanie Reifferscheid Diskrete Optimierung 12. Oktober / 17

10 Anschaulich 0,15x=10 0,4x + 0,25y = ,3y = ,2x + 0,3y = Dr. Stephanie Reifferscheid Diskrete Optimierung 12. Oktober / 17

11 Anschaulich 7x + 3y ,15x=10 0,4x + 0,25y = ,3y = x + 3y =210 0,2x + 0,3y = 25 7x + 3y = Dr. Stephanie Reifferscheid Diskrete Optimierung 12. Oktober / 17

12 Bemerkung: Milchbedingung (3) folgt aus (1) Verschieben der lila Geraden nach rechts entspricht der Vergrößerung des Wertes c = 7x + 3y = F c (x, y). Suche c, so dass c maximal unter der Bedingung, dass F c die Menge der zulässigen Lösungen schneidet Anschaulich klar: Schnittpunkt mit (1) und (4) ist ein bester solcher Punkt Ausrechnen (mit Gauss): x 0 = 66, 6666 und y 0 = 13, 3 und Z(x 0, y 0 ) = 506, 6666 Dr. Stephanie Reifferscheid Diskrete Optimierung 12. Oktober / 17

13 Anschaulich 7x + 3y ,15x=10 0,4x + 0,25y = ,3y = x + 3y = ,2x + 0,3y = 25 7x + 3y = Dr. Stephanie Reifferscheid Diskrete Optimierung 12. Oktober / 17

14 Bemerkung Kann zeigen: Maximum liegt stets in einer Ecke Fordert man zudem die Ganzzahligkeit der Lösung, so wird das Problem deutlich schwieriger Dr. Stephanie Reifferscheid Diskrete Optimierung 12. Oktober / 17

15 Allgemeine Optimierungsprobleme Gegeben eine reellwertige Funktion F und gewissen Nebenbedingungen (NB) Aufgabe: Maximiere/Minimiere die Funktion, so dass die NB erfüllt sind Viele Optimierungsprobleme liegen in der Linearen Optimierung: Funktion linear, NB durch lineare (Un)Gleichungen gegeben. Ganzzahlige (lineare) Optimierung: zusätzlich müssen Werte ganzzahlig sein (häufig problematisch). Dr. Stephanie Reifferscheid Diskrete Optimierung 12. Oktober / 17

16 Anwendungen Operations Research (Modellbildung kein Thema dieser VL) Transportprobleme (Logistik) Resourcenplanung (Wasser, Energie, Medikamente,...) Mischungsprobleme (Lebensmittel, Öl,...) Produktionsplanung, Maschinenbelegung,... Traveling-Salesman-Problem (Benchmark-Problem) Kartierung von DNA-Sequenzen Dr. Stephanie Reifferscheid Diskrete Optimierung 12. Oktober / 17

17 Inhalt der Vorlesung Lineare Optimierung Allg. Problemstellung, Definitionen, Beispiele Geometrie: Beschreibung der zulässigen Punkte; wo liegen optimale Punkte, falls sie existieren Simplexverfahren Dualität (Maximierungproblem Minimierungproblem) Weitere Lösungsmöglichkeiten (Innere-Punkte-Verfahren, Ellipsoid-Methode) Ganzzahlige Lineare Optimierung Problemstellung Branch and Bound Cutting-Planes weitere Lösungsmöglichkeiten Je nach Zeit: einige weitere Optimierungsprobleme und Lösungsverfahren - exemplarisch dargestellt. Dr. Stephanie Reifferscheid Diskrete Optimierung 12. Oktober / 17