Lineare Optimierung. Volker Kaibel Fakultät für Mathematik Institut für Mathematische Optimierung Otto-von-Guericke Universität Magdeburg

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1 Lineare Optimierung Volker Kaibel Fakultät für Mathematik Institut für Mathematische Optimierung Otto-von-Guericke Universität Magdeburg VL 1: Einführung 10. April 2007

2 Überblick Optimierung unter Nebenbedingungen Konvexe Optimierung Konische Optimierung Unbeschränkte Optimierung Semidefinite Optimierung Kontinuierliche lineare Optimierung Ganzzahlige lineare Optimierung Polyeder Kombinatorische Optimierung

3 Überblick Optimierung unter Nebenbedingungen Konvexe Optimierung Konische Optimierung Unbeschränkte Optimierung Semidefinite Optimierung Kontinuierliche lineare Optimierung Ganzzahlige lineare Optimierung Polyeder Kombinatorische Optimierung

4 (Kontinuierliche) Lineare Optimierung max{ c, x : Ax b, x n }

5 Überblick Optimierung unter Nebenbedingungen Konvexe Optimierung Konische Optimierung Unbeschränkte Optimierung Semidefinite Optimierung Kontinuierliche lineare Optimierung Ganzzahlige lineare Optimierung Polyeder Kombinatorische Optimierung

6 Ganzzahlige lineare Optimierung max{ c, x : Ax b, x n }

7 Überblick Optimierung unter Nebenbedingungen Konvexe Optimierung Konische Optimierung Unbeschränkte Optimierung Semidefinite Optimierung Kontinuierliche lineare Optimierung Ganzzahlige lineare Optimierung Polyeder Kombinatorische Optimierung

8 Polyedrische Kombinatorik 1 a 2 b 3 4 c d 5 e

9 Überblick Optimierung unter Nebenbedingungen Konvexe Optimierung Konische Optimierung Unbeschränkte Optimierung Semidefinite Optimierung Kontinuierliche lineare Optimierung Ganzzahlige lineare Optimierung Polyeder Kombinatorische Optimierung

10 Konvexe Optimierung { } min c(x) s.t. g i (x) O m i [m] x n c, g i : n konvex

11 Überblick Optimierung unter Nebenbedingungen Konvexe Optimierung Konische Optimierung Unbeschränkte Optimierung Semidefinite Optimierung Kontinuierliche lineare Optimierung Ganzzahlige lineare Optimierung Polyeder Kombinatorische Optimierung

12 Differenzierbare Optimierung

13 Barrier-Funktionale min 500x + 200y s.t. x 0 x 1 y 0 x 1 x, y n

14 Überblick Optimierung unter Nebenbedingungen Konvexe Optimierung Konische Optimierung Unbeschränkte Optimierung Semidefinite Optimierung Kontinuierliche lineare Optimierung Ganzzahlige lineare Optimierung Polyeder Kombinatorische Optimierung

15 3-dimensionale Polytope

16 Platonische Körper Icosaeder Wasser Dodekaeder Universum Oktaeder Luft Tetraeder Feuer Plato [ ]: Timaeus Euklid [ ]: Elemente XIII Würfel Erde

17 Archimedische Körper Archimedes [ ] Kepler Archimedes [ ] [ ] Bilder: V. Butakov Kepler [ ]

18 Leonardo da Vinci [1509]

19 4-dimensionale Polytope

20 4-dimensionale Polytope

21 Überblick Optimierung unter Nebenbedingungen Konvexe Optimierung Konische Optimierung Unbeschränkte Optimierung Semidefinite Optimierung Kontinuierliche lineare Optimierung Ganzzahlige lineare Optimierung Polyeder Kombinatorische Optimierung

22 Netzwerkrouting / Mehrgüterflüsse Kommunikationsbedarfe: (1) 3 Einheiten 1 5 (2) 5 Einheiten 2 1 Kapazitäten: Kosten: u 1,..., u 10 + c 1,..., c 10 + Variablen: x i a + (i [2], a [10]) Anzahl Einheiten des Bedarfs i, die über Bogen a fließen.

23 Netzwerkrouting / Mehrgüterflüsse Nebenbedingungen: Ziel: x x x 1 8 x 1 3 x 1 10 = 0 x x x 2 8 x 2 3 x 2 10 = 0 x x x 1 10 x 1 7 = 3 x 2 2 x 2 1 x 2 8 x 2 9 = 5 x x 2 1 u 1 x min 10 c a (x 1 a + x 2 a) a=1

24 Formen linearer Optimierungsprobleme max{ c, x : Ax b, x n } max{ c, x : Ax = b, x O n, x n } Auch: Gleichungen und Ungleichungen Nichtnegativitätsbedingungen an einige Variablen -Ungleichungen Minimierung Notationsbeispiel: min c x, x + c y, y s.t. A x x + A y y b B x x + B y y = d y O nx Falls alle (einige) Variablen ganzzahlig sein müssen: (gemischt) ganzzahlige lineare Optimierung (ILP)

25 Graphenfärbung

26 Frequenzzuweisung

27 min s.t. Ganzzahliges lineares Optimierungsmodell q c=1 q c=1 y c x v,c = 1 für alle v V x v,c + x w,c 1 für alle {v, w} E, c [q] x v,c y c x O V [q] x V [q] y [q]

28 Komplexität Optimierungsprobleme: Kontin. lin. Optim. Kont. konvexe Min. Ganzz. lin. Opt. polynomial polynomial NP-schwer Lineare Zulässigkeitsprobleme: x n x n Ax = b polynomial polynomial Ax b polynomial NP-schwer

29 Dualität max{ (1, 1 2 ), (x, y) : 1 x, y 2, x 2 } ( (1, 0), (x, y) 2) ( (0, 1), (0, y) 2) (1, 1 2 ), (x, y) 3

30 X n c : X Optimierungsproblem Nach Kontext: Problem oder Optimalwert Maximum kann auch (nur) Supremum sein Menge der zulässigen Lösungen: Menge der Optimallösungen: Unzulässiges Optimierungsproblem: Unbeschränktes Optimierungsproblem: Minimierungsproblem analog max{c(x) : x X} X X = {x X : c(x) c( x) für alle x X} X = X und X =

31 Inhalt / Aufbau 1. Unbeschränkte Optimierung 2. Optimierung und Konvexität 3. Opt. unter Nebenbedingungen 4. Dualität und konische Optimierung 5. Innere-Punkte Verfahren 6. Geometrie der linearen Optimierung 7. Der Simplex-Algorithmus 8. Ganzzahlige lineare Optimierung 9. Lineare und kombinatorische Optimierung 10. Branch-and-Bound, Schnittebenen WS 07/08: Kombinatorische Optimierung und polyedrische Kombinatorik SS 08: Geometrische und algebraische Aspekte der ganzzahligen linearen Optimierung

32 Literatur 1. R. J. Vanderbei, Linear Programming. Springer, J. Matousek und B. Gärtner, Using and Understanding Linear Programming. Springer, V. Chvatal, Linear Programming. Freeman, D. Bertsimas and J. N. Tsitsiklis, Introduction to Linear Optimization. Athena, G. B. Dantzig, Linear Programming and Extensions. Princeton University Press, 1998 (Original: Rand Corporation, 1963). 6. A. Ruszcynski, Nonlinear Optimization. Princeton University Press, A. Schrijver, Theory of Linear and Integer Programming. Wiley, M. Grötschel, L. Lovasz, A. Schrijver, Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization. Springer, 1988.

33 Organisatorisches VL: MO 11:15-12:45 (G02-210) DI 7:30-9:00 G Üblicherweise: Montags Beamer, Folien im Netz (montags 8:00) Sprechstunde VK: DO (G02-221b) Übungsgruppen: MI 13:15-14:45 (G05-211, Volker Kaibel) DO 11:15-12:45 (G02-210, Matthias Peinhardt) Scheinkriterium: 50% Übungspunkte (Abgabe in festen Zweiergruppen) und Klausur Erste Übungsgruppen: Nächste Woche (18./19. April) Abgabe Aufgaben, Austeilung neuer Übungsblätter: VL DI Rückgabe korrigierter Aufgaben: Übungsgruppen