Lineare und kombinatorische Optimierung

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1 Lineare und kombinatorische Optimierung Theorie, Algorithmen und Anwendungen Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Hochschule Bonn-Rhein-Sieg Wintersemester 2017/18 Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 1 / 372

2 Vorbemerkungen Allgemeines zur Veranstaltung Allgemeines zur Vorlesung Homepage: Die Vorlesung wird überwiegend folienbasiert gehalten. Folien sind knapp gehalten (Definiton, Satz, Beweis, Beispiel). Die Folien zur Vorlesung (Skript) stehen auf der Homepage vor der Vorlesung zur Verfügung. Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 2 / 372

3 Vorbemerkungen Allgemeines zur Veranstaltung Übungen In die Veranstaltung integriert. Wir werden die Zeit flexibel zwischen Vorlesung und Übung aufteilen. Wöchentlich erscheint ein Aufgabenblatt mit Punkten, das in Zweiergruppen bearbeitet werden kann, in der folgenden Woche vor den Übungen abgegeben werden muss, in den Übungen besprochen wird und von mir bewertet wird. Heute: Ausgabe des ersten Aufgabenblatts! Zu erfüllende Vorleistung: 50% der möglichen Punkte. Wer die Vorleistung nicht erfüllt, wird nicht zur Prüfung zugelassen! Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 3 / 372

4 Vorbemerkungen Lernziele Lernziele Algorithmen zur Lösung linearer und kombinatorischer Optimierungsprobleme kennen, anwenden und in Grundzügen implementieren können, Eigenschaften der Algorithmen wissen, mathematisch beschreiben und beweisen können, in der Lage sein, praktische Problemstellungen in ein geeignetes mathematisches Modell überführen zu können und solch ein Modell unter Einsatz von Softwarewerkzeugen lösen können. Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 4 / 372

5 Vorbemerkungen Inhalt Inhalt 1 Lineares Programm 2 Theorie der Linearen Programmierung 3 Simplex-Verfahren 4 Dualität 5 Unimodularität 6 Schnittebenenverfahren 7 Branch-and-Bound und Varianten Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 5 / 372

6 Vorbemerkungen Organisation Organisatorisches und Formales Inhaltliche Voraussetzungen: Mathematik aus dem Bachelor, insbesondere Lineare Algebra und Graphentheorie Datenstrukturen und Algorithmen Theoretische Informatik Umfang: 2V + 2Ü Übungen/Vorleistung: 50% der Punkte aus den Übungen Prüfungsform: mündlich Softwarewerkzeuge: GNU Linear Programming Kit Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 6 / 372

7 Vorbemerkungen Literatur Literatur Primärquelle Leitlinie: Was jeder theoretische Informatiker über die Lineare Programmierung wissen sollte. knapp und präzise behandelt ebenfalls die ganzzahlige lineare Programmierung leider nicht als PDF in der Bibliothek verfügbar Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 7 / 372

8 Vorbemerkungen Literatur noch etwas knapper, aber immer noch präzise als PDF in der Bibliothek verfügbar Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 8 / 372

9 Vorbemerkungen Literatur anwendungsorientiert präzise, aber nicht umfassend bei den Beweisen Themen aus den Kapiteln 6 und 7 werden nicht behandelt. Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 9 / 372

10 Vorbemerkungen Literatur Klassiker zum Thema lineare und ganzzahlige Programmierung umfassender und tiefgehender weniger eingängig Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 10 / 372

11 Kapitel 1 Lineares Programm Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 11 / 372

12 Inhalt Inhalt 1 Lineares Programm Notationen Lineares Programm Grafische Lösung Beispiele Normalform Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 12 / 372

13 Notationen Notationen für K-Vektorraum Zur Unterscheidung zwischen den Vektoren V und den Skalaren K schreiben wir die Vektoren mit fettgedruckten lateinischen Kleinbuchstaben, z.b. x = x 1 x 2. x n = (x j) R n. Für die Skalare nutzen wir üblicherweise griechische Kleinbuchstaben in Normalschrift, z.b. λ R. Zur Abkürzung schreiben wir die Vektoren teilweise auch zeilenorientiert, also x = (x 1, x 2,..., x n ). Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 13 / 372

14 Notationen Den Nullvektor bezeichnen wir mit 0. Demgegenüber bezeichnet 0 das neutrale Element des Körpers. In den meisten nachfolgenden Fällen verzichten wir auf die Verwendung des Multiplikationssymbols, sowohl bei der Multiplikation im Körper als auch bei der Multiplikation mit Skalaren. D. h. für λ, µ K, v V. λµ := λ µ λv := λ v Wir bewegen uns im Folgenden fast ausschließlich im R-Vektorraum R n. Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 14 / 372

15 Notationen Notationen für Matrizen Die Menge der reellen Matrizen mit m Zeilen und n Spalten bezeichnen wir mit R m n. Zur Darstellung solcher Matrizen nutzen wir i.d.r. fette lateinische Großbuchstaben, z.b. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = (a ij) R m n. a m1 a m2 a mn Die Nullmatrix stellen wir ebenfalls durch 0 dar. Aus dem Kontext ergibt sich, ob damit der Nullvektor oder die Nullmatrix gemeint ist. Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 15 / 372

16 Notationen Für eine Matrix A R m n bezeichnet A T R n m die transponierte Matrix von A. Einen Vektor x R n können wir auch als einspaltige Matrix x R n 1 auffassen. Das Skalarprodukt x, y zweier Vektoren x, y R n können wir dann auch als Matrixprodukt x T y schreiben. Für eine Matrix A R m n bezeichnet a i R n (Kleinbuchstabe mit tiefgestelltem Index) den i-ten Zeilenvektor und a j R m (Kleinbuchstabe mit hochgestelltem Index) den j-ten Spaltenvektor von A. Also: A = (a 1, a 2,..., a n ) = a 1. a m Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 16 / 372

17 Notationen Die Einheitsvektoren e 1, e 2,..., e n mit e i = (x j ) R n und x j = bilden die kanonische Basis des R n. { 1 falls i = j 0 sonst Die Matrix E := (e 1, e 2,..., e n ) = bezeichnet die Einheitsmatrix Rn n Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 17 / 372

18 Lineares Programm Lineares Programm Definition 1.1 Es seien b i, c j, a ij R für 1 i m und 1 j n. Ein lineares Programm (LP) ist die Aufgabe, eine lineare Zielfunktion z = F (x 1,..., x n ) = c 1 x c n x n für Entscheidungsvariablen x j R zu maximieren oder zu minimieren unter Beachtung von linearen Nebenbedingungen der Form a i,1 x a i,n x n b i (i = 1,..., m 1 ) a i,1 x a i,n x n = b i (i = m 1 + 1,..., m 2 ) a i,1 x a i,n x n b i (i = m 2 + 1,..., m) und meist auch von Vorzeichenbedingungen x j 0 für einige oder alle j = 1,..., n. Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 18 / 372

19 Lineares Programm Beispiel 1.2 Ein Eisverkäufer stellt stündlich bis zu 10 kg Eis der Sorten A bzw. B her. A B Verkaufspreis 80 EUR/kg 65 EUR/kg Kosten 50 EUR/kg 40 EUR/kg Energieaufwand 5 kwh/kg 2 kwh/kg absetzbar 6 kg 9 kg Es stehen höchstens 30 kwh stündlich zur Verfügung. Entscheidungsvariablen seien die stündlich herzustellenden Mengen x 1 kg bzw. x 2 kg. Zu maximieren sei die Differenz aus Preis und Kosten. Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 19 / 372

20 Lineares Programm Modellierung für Beispiel 1.2 Maximiere z = F (x 1, x 2 ) = 80x x 2 50x 1 40x 2 = 30x x 2 unter den Nebenbedingungen x 1 + x x 1 + 2x 2 30 x 1 6 x 2 9 und Vorzeichenbedingungen x 1, x 2 0. Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 20 / 372

21 Lineares Programm Noch ein Beispiel-LP Beispiel 1.3 Maximiere unter den Nebenbedingungen x 1 + x 2 und den Vorzeichenbedingungen x 1 + x 2 1 x 1 + 6x x 1 x 2 10 x 1, x 2 0 Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 21 / 372

22 Lineares Programm Zulässige und optimale Lösung Definition 1.4 Ein Vektor x = (x 1,..., x n ) R n, der alle Neben- und Vorzeichenbedingungen erfüllt, heißt zulässige Lösung eines LP. Mit X LP bezeichnen wir die Menge der zulässigen Lösungen, auch zulässiger Bereich genannt, eines linearen Programms LP. Eine zulässige Lösung x = (x 1,..., x n) heißt optimale Lösung eines LP, wenn es keine zulässige Lösung x mit besserem Zielfunktionswert als F (x ) gibt. F (x ) heißt dann optimaler Zielfunktionswert oder kurz Maximum bzw. Minimum. X LP bezeichnet die Menge der optimalen Lösungen von LP. Bemerkung: Wenn aus dem Kontext heraus das lineare Programm eindeutig ist, schreiben wir auch X und X statt X LP bzw. X LP. Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 22 / 372

23 Grafische Lösung Grafische Lösung linearer Programme Wir betrachten zwei Entscheidungsvariablen x 1 und x 2 : a 1 x 1 + a 2 x 2 = b ist die Gleichung einer Geraden im R 2. a 1 x 1 + a 2 x 2 b und a 1 x 1 + a 2 x 2 b beschreiben jeweils eine Halbebene mit der Geraden a 1 x 1 + a 2 x 2 = b als Rand. Auch x 1 0 und x 2 0 stellen Halbebenen dar. Der zulässige Bereich ist der Schnitt endlich vieler Halbebenen. Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 23 / 372

24 Grafische Lösung Grafische Lösung zu Beispiel 1.2 Beispiel 1.5 x2 <= 9 x1 + x2 <= 10 Optimalpunkt 5 x1 + 2 x2 <= 30 Zielfunktion x1 <= 6 Die Zielfunktion z = 30x x 2 wird ebenfalls durch eine Gerade dargestellt. Wachsendes z bedeutet eine Verschiebung nach rechts oben. Verschiebe nach oben, solange die Gerade durch X verläuft. Optimale Lösung im Schnittpunkt der Geraden x 1 + x 2 = 10 und 5x 1 + 2x 2 = 30, also x = ( 10 3, 20 3 ) mit z = Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 24 / 372

25 Grafische Lösung Grafische Lösung zu Beispiel 1.3 Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 25 / 372

26 Grafische Lösung Mögliche Situationen bei grafischer Lösung (a) beschränktes X, eindeutige optimale Lösung (b) beschränktes X, nichteindeutige optimale Lösung (c) unbeschränktes X, eindeutige optimale Lösung (d) unbeschränktes X, nichteindeutige optimale Lösung (e) unbeschränktes X, keine optimale Lösung (f) X =, keine zulässige Lösung (a) (c) (e) (b) (d) (f) M1 * M2 = {} Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 26 / 372

27 Grafische Lösung Beispiel 1.6 Beispiel 1.3 mit 1 6 x 1 + x 2 als Zielfunktion. Mit statt bei zwei Ungleichungen: Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 27 / 372

28 Beispiele Maximalflussproblem als LP Gegeben: gerichteter Graph G = (V, E), Kapazitätsfunktion c : E R 0, Quelle s V und Senke t V mit s t. Ein zulässiger Fluss ist eine Funktion x : E R mit 0 x(e) c(e) für alle e E, x(e) = x(e) für alle v V \ {s, t} e=(w,v) E e=(v,w) E Gesucht ist ein zulässiger Fluss mit maximalem Flusswert Φ(x): Φ(x) = x(e) x(e) e=(s,v) E e=(v,s) E Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 28 / 372

29 Beispiele Modelliere den Fluss x(e) auf Kante e E mithilfe der Variablen x e. max x e e=(s,v) E e=(v,s) E x e unter den Nebenbedingungen x e c(e) für alle e E x e x e = 0 für alle v V \ {s, t} e=(w,v) E e=(v,w) E sowie Vorzeichenbedingungen x e 0 für alle e E. Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 29 / 372

30 Beispiele Regressionsproblem als LP Gegeben sind Datenpunkte (x i, y i ) für i = 1,..., n. Gesucht sind a, b R, so dass so dass sie Summe der Abweichungen von y i zu der Geraden ax + b an den Stellen x i minimal wird, also E(a, b) = n ax i + b y i min i=1 Sei r i = ax i + b y i diese (vorzeichenbhaftete Abweichung). Damit gilt ax i + b r i = y i. Dann lautet die Zielfunktion: min n r i. i=1 Problem: Der Betrag in der Zielfunktion (weil r i nicht vorzeichenbeschränkt ist). Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 30 / 372

31 Beispiele Sei r i = u i v i mit u i 0 und v i 0. Dann lautet die Zielfunktion jetzt: n n u i + v i min i=1 i=1 Die Nebenbedingungen werden damit zu: x i a + b u i + v i = y i Vorzeichenbedingungen: ui, v i 0 für i = 1,..., n a, b R Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 31 / 372

32 Beispiele Schnittproblem als ganzzahliges LP Aus 3 m langen Metallstangen sollen 10 Stangen mit 1 m, 45 Stangen mit 2 m, 21 Stangen mit 1.5 m und 42 Stangen mit 0.9 m Länge hergestellt werden. Die Anzahl der dafür notwendigen 3 m Stangen soll minimiert werden. Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 32 / 372

33 Beispiele Zunächst stellen wir alle möglichen maximale Schnittmuster auf, d.h. alle Möglichkeiten, eine 3 m Stange in die geforderten Längen zu zersägen, so dass der verbleibende Rest nicht mehr verwendbar ist. Muster 1 m 2 m 1.5 m 0.9 m Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 33 / 372

34 Beispiele Variablen Zielfunktion x i = Anzahl der Stangen mit Schnittmuster i, 1 i 9 min x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 unter den Nebenbedingungen 3x 1 +x 2 +2x 5 +x 6 +x 8 10 x 2 +x x 3 +x 8 +x 9 21 x 4 +x 5 +2x 6 +3x 7 +x 9 42 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 N 0 Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 34 / 372

35 Beispiele Bemerkungen zum Schnittproblem lineare Zielfunktion und lineare Nebenbedingungen Problem: Ganzzahligkeit der x i Ganzzahligkeit als weitere Nebenbedingung ist die typische Eigenschaft kombinatorischer Optimierungsprobleme. LP-Relaxation (LP mit Verzicht auf Ganzzahligkeit) liefert eine untere Schranke für den optimalen Zielfunktionswert Lösungsmethoden: siehe Kapitel 5 bis 7 Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 35 / 372

36 Beispiele Effiziente Lösbarkeit von LPs LPs sind effizient lösbar. In der Praxis Es stehen leistungsfähige Programmpakete (kommerziell und Open-Source) für die Lösung von LPs mit mehreren tausend Variablen und Nebenbedingungen zur Verfügung. In der Theorie LPs können in polynomieller Zeit gelöst werden (in Bezug auf die Anzahl der Variablen und Nebenbedingungen). Demgegenüber ist die ganzzahlige lineare Programmierung (in allgemeiner Form) NP-vollständig. Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 36 / 372

37 Normalform Maximumproblem Definition 1.7 Ein LP der Form Maximiere z = F (x 1,..., x n ) = c 1 x c n x n = n c j x j j=1 unter den Nebenbedingungen n a ij x j b i (i = 1,..., m) j=1 und den Vorzeichenbedingungen x j 0 (j = 1,..., n) heißt Maximumproblem. Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 37 / 372

38 Normalform Kompakte Schreibweise Mit c, x R n, b R m und A R m n können wir ein Maximumproblem auch schreiben als: Maximiere c T x unter den Nebenbedingungen Ax b und den Vorzeichenbedingungen x 0 Bezeichungen: Zielfunktionsvektor Variablenvektor Koeffizientenmatrix Begrenzungsvektor, rechte Seite c x A b Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 38 / 372

39 Normalform Beispiel 1.2 in kompakter Schreibweise Beispiel 1.8 Maximiere unter den Nebenbedingungen ( x1 (30, 25) x 2 und den Vorzeichenbedingungen ( x1 x 2 ( x1 x 2 ) ) ) ( 0 0 ) Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 39 / 372

40 Normalform Umformung in ein Maximumproblem Satz 1.9 Zu jedem LP lässt sich ein äquivalentes LP in Form eines Maximumproblems formulieren. Beweis. Ersetze zu minimierende Zielfunktion z = F (x) durch zu maximierende Zielfunktion z = F (x) Transformiere -Nebenbedingung durch Multiplikation beider Seiten mit 1 in eine -Nebenbedingung. Eine Gleichung n j=1 a ijx j = b i kann durch zwei Ungleichungen n j=1 a ijx j b i und n j=1 a ijx j b i ersetzt werden. Falls für x j beliebige Werte aus R erlaubt sind, so ersetze x j durch die zwei Variablen x + j 0 und x j 0 mit x j = x + j x j. Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 40 / 372

41 Normalform Beispiel 1.10 Wir überführen das folgende LP in ein Maximumproblem: Minimiere z = 3x 1 4x 2 unter den Nebenbedingungen: 2x 1 + 3x 2 7 x 1 2x 2 4 3x 1 + 2x 2 = 6 x 1 0, x 2 R Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 41 / 372

42 Normalform Fortsetzung Beispiel 1.10 Zunächst sorgen wir für eine Maximierung und stellen alle Nebenbedingungen als Nebenbedingungen dar: Maximiere z = 3x 1 + 4x 2 unter den Nebenbedingungen: 2x 1 + 3x 2 7 x 1 + 2x 2 4 3x 1 + 2x 2 6 3x 1 2x 2 6 x 1 0, x 2 R Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 42 / 372

43 Normalform Fortsetzung Beispiel 1.10 Nun wird durch x 2 = x 2 + x 2 mit x 2 +, x 2 0 die fehlende Vorzeichenbeschränkung eliminiert. Wir erhalten: Maximiere z = 3x 1 + 4x + 2 4x 2 unter den Nebenbedingungen: 2x 1 + 3x 2 + 3x 2 7 x 1 + 2x 2 + 2x 2 4 3x 1 + 2x 2 + 2x 2 6 3x 1 2x x 2 6 x 1, x 2 +, x 2 0 Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 43 / 372

44 Normalform Normalform Definition 1.11 Ein LP liegt in Normalform vor, wenn es die Form hat: Maximiere z = F (x 1,..., x n ) = n j=1 c jx j unter den Nebenbedingungen n j=1 a ijx j = b i (i = 1,..., m) und Vorzeichenbedingungen x j 0 (j = 1,..., n) In kompakter Darstellung: Maximiere c T x unter den Nebenbedingungen Ax = b und den Vorzeichenbedingungen x 0. Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 44 / 372

45 Normalform Umformung in Normalform Satz 1.12 Zu jedem LP lässt sich ein äquivalentes LP in Normalform formulieren. Beweis. Nach Satz 1.9 lässt sich zu jedem LP ein äquivalentes Maximumproblem formulieren. Es reicht daher zu zeigen, dass jedes Maximumproblem in Normalform überführt werden kann. Hierzu führen wir für die m Ungleichungen die Schlupfvariablen x n+1,..., x n+m ein, die in der Zielfunktion mit 0 bewertet werden. Die Variablen x 1,..., x n heißen Strukturvariablen. Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 45 / 372

46 Fortsetzung Beweis. Lineares Programm Die Normalform ergibt sich dann durch: Normalform Maximiere z = n j=1 c jx j + n+m j=n+1 0 x j unter den Bedingungen n a ij x j + x n+i = b i (i = 1,..., m) j=1 und Vorzeichenbedingungen x j 0 (j = 1,..., n + m) In Matrixschreibweise lautet die Normalform unter den Bedingungen z = F (x) = c T x Ax = b, x 0 Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 46 / 372

47 Normalform Kanonische Normalform Definition 1.13 Gelten in der Matrixschreibweise für die Normalform die Eigenschaften c 1. a b 0, c = c n 1,1 a 1,n und A =..... a m,1 a m,n so ist das LP in kanonischer Form. Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 47 / 372

48 Normalform Beispiel 1.14 Maximiere unter den Bedingungen z = 30x x 2 x 1 + x x 1 + 2x 2 30 x 1 6 x 2 9 x 1 0 x 2 0 Für die Nebenbedingungen führen wir die Schlupfvariablen x 3, x 4, x 5, x 6 ein und erhalten... Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 48 / 372

49 Normalform Fortsetzung Beispiel Maximiere z = 30x x x x 6 unter den Bedingungen x 1 + x 2 + x 3 = 10 5x 1 + 2x 2 + x 4 = 30 x 1 + x 5 = 6 x 2 + x 6 = 9 und x j 0 (j = 1,..., 6). Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 49 / 372

50 Normalform Fortsetzung Beispiel In Matrixschreibweise: Maximiere unter den Bedingungen z = ( ) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = x 1. x 6 und x 1. x Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 50 / 372

51 Zusammenfassung Zusammenfassung Lineares Programm (LP): lineare Zielfunktion und lineare Nebenbedingungen Nebenbedingungen eines LPs sind Gleichungen oder Ungleichungen in nicht strikter Form. Viele bekannte Probleme können als LP oder ILP formuliert werden. Standardformen für LPs: Maximumproblem und Normalform Peter Becker (H-BRS) Lineare und kombinatorische Optimierung Wintersemester 2017/18 51 / 372