Abschätzung der Suchbaumgröße

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1 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 263 Abschätzung der Suchbaumgröße Der Schätzwert für die Suchbaumgröße war Lassen wir das Programm laufen, ergibt sich, daß 1830 gültige Positionen getestet werden. Insgesamt gibt es 92 Lösungen.

2 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 264 Folgendes Programm schätzt die Suchbaumgröße automatisch: #include stdio.h #include stdlib.h #define N 8 int c[n],d1[2 N 1],d2[2 N 1],t[N]; int main(void) { int k = 0,i,z,r = 1,m = 1; while(1) { z = 0; for(i = 0; i < N; i++) if(!c[i] &&!d1[k i +N 1] &&!d2[i +k]) t[z] = i,z++; if(z == 0) break; m +=r =z; i = t[random()%z]; printf("%2d %2d %d\n",i,z,m); c[i] = d1[k i +N 1] = d2[i +k] = 1; k++; } return 0; }

3 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 265 Lassen wir dieses Programm laufen, ergibt sich folgende Ausgabe: Die mit Hand geschätzte Zahl war 1609 und die tatsächliche Suchbaumgröße 1830.

4 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme Z0Z0L0Z 7 Z0Z0Z0ZQ 6 0Z0ZQZ0Z 5 Z0Z0Z0L0 4 0Z0L0Z0Z 3 Z0Z0Z0Z0 2 0Z0Z0Z0Z 1 Z0Z0Z0Z0 a b c d e f g h Dies ist die geratene Belegung des Programms.

5 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 267 Für N = 16 ergibt sich diese Ausgabe:

6 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 268 Lösung für N = 80:

7 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 269 Erfüllbarkeitsproblem Die Lösung für N = 80 kann nicht mehr durch den normalen Backtracking-Algorithmus gefunden werden. Sie wurde tatsächlich durch Lösung eines Erfüllbarkeitsproblem gefunden. Die zugehörige Formel hat für jedes Feld eine Variable. Es gibt Klauseln die sicherstellen, daß jede Zeile mindestens eine Dame enthält. Es gibt Klauseln die verhindern, daß eine Spalte, Zeile oder Diagonale mehr als eine Dame enthält.

8 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 270 Erfüllbarkeitsproblem Diese Formel sieht so aus: n n n ( n x ij ( x ij x kj ) i=1j=1 i,j=1 k=i+1 n k=j+1 min{n i,n j} ( x ij x ik ) ( x ij x i+k,j+k ) k=1 ) ( x ij x i+k,j k ) min{n i,j 1} k=1 Diese Formel ist in konjunktiver Normalform.

9 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 271 Literatur Dieses Buch behandelt eher die mathematische Theorie der Linearen und Ganzzahligen Programmierung und ist geeignet, sich in dieses Gebiet genauer einzuarbeiten. Alexander Schrijver: Theory of Linear and Integer Programming. John Wiley & Sons. Preis: US $60.90, Paperback.

10 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 272 Literatur Dieses Buch ist anders aufgebaut als die meisten Algorithmenbücher. Es ist nach Lösungstechniken gegliedert. Insbesondere enthält es viel Information über das Lösen von NP-vollständigen Problemen. Horowitz, Sahni, Rajasekaran: Computer Algorithms. Computer Science Press. Preis: US $79.95, Hardcover (oder Rs 279 als Indian Edition).

11 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 273 Branch-and-Bound Wir betrachten allgemein Probleme, deren Suchraum durch Bäume dargestellt werden kann. Innerhalb des Suchraums suchen wir 1. nach einer Lösung oder 2. nach einer Lösung mit minimalen Kosten. Beispiel: Beim N-Damen-Problem wird nach einer Lösung gesucht. Beispiel: Beim Problem des Handlungsreisenden wird nach der kürzesten Rundreise durch gegebene Orte gesucht.

12 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 274 Branch-and-Bound Die Klasse der Branch-and-Bound-Algorithmen, die wir jetzt betrachten, haben folgendes gemeinsam: Es gibt stets eine Menge von lebendigen Knoten des Suchraums, unter deren Unterbäumen noch nach Lösungen gesucht wird. Zu Beginn ist genau die Wurzel lebendig. Es wird stets ein lebendiger Knoten, der E-Knoten ausgesucht, und durch all seine Kinder zu den lebendigen Knoten hinzugefügt. Lebendige Knoten können durch bounding functions entfernt werden. Die lebendigen Knoten werden in einer geeigneten Datenstruktur gehalten. Zur Auswahl des E-Knotens gibt es verschiedene Strategien.

13 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 275 Branch-and-Bound Werden die lebendigen Knoten mit einer Warteschlange (FIFO-queue) implementiert, dann entspricht dies einer Breitensuche. Verwenden wir für die lebendigen Knoten dagegen einen Keller (LIFO-queue, stack), dann erhalten wir im wesentlichen eine Tiefensuche. Allgemeiner können wir jedem Knoten x einen Wert ĉ(x) zuordnen und als E-Knoten das lebendige x mit kleinstem ĉ(x) wählen. Diese Variante wird least-cost-search (LC-search) genannt.

14 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 276 Terminierung Falls der Suchbaum endlich ist, dann terminieren alle Branch-and-Bound-Verfahren. Falls der Suchbaum unendlich ist, aber eine Lösung enthält, dann terminiert die Breitensuche. Die Tiefensuche muß nicht terminieren! Bei LC-Suche kommt es auf die Funktion ĉ(x) an. Wenn man den Aufwand x zu erreichen mit einbezieht, kann man Terminierung garantieren.

15 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 277 Beispiel

16 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 278 Beispiel: DFS

17 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 279 Beispiel: BFS

18 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 280 Beispiel: LC

19 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 281 Beispiel

20 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 282 Beispiel: DFS

21 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 283 Beispiel: BFS

22 Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 284 Beispiel: LC