Kapitel 5: Suchverfahren: Backtracking

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1 Kapitel 5: Suchverfahren: Backtracking Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 278 / 541

2 Suchverfahren: Backtracking Viele Probleme lassen sich als Suchprobleme formulieren. Dies gilt z.b. für Optimierungsprobleme. Beispiele a) Erfüllbarkeitsproblem SAT: Eingabe: Formel A. Frage: Ist A erfüllbar? Lösung: Suche nach einer Belegung ϕ : V B mit ϕ(a) = 1. b) Rucksackproblem RSP: Eingabe: P = (p i ) i=1,...n,w = (w i ) i=1,...,n,k. Frage: Welcher Profit lässt sich maximal erzielen? Lösung: Suche zulässigen Vektor x = (x i ) i=1,...,n, x i {0, 1}, der n i=1 p ix i maximiert. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 279 / 541

3 Suchverfahren: Backtracking Beispiele (Forts.) c) Problem des Handlungsreisenden TSP: Eingabe: = (d ij ) i,j=1,...,n Distanz-Matrix. Frage: Wie lang ist die kürzeste Rundreise? Lösung: Suche eine Permutation π = (π 1,...,π n ), so dass d π1,π 2 +d π2,π 3 + +d πn 1,π n +d πn,π 1 minimal ist. Fragen: Wie stellt man den Suchraum dar? Wie sucht man nach der Lösung? Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 280 / 541

4 5.1 Der Suchraum 5.1 Der Suchraum Sei P ein Suchproblem. Ein Lösungsansatz zu P definiert den Suchraum S mit Startzustand z 0 S und Zielzuständen (goals) G S, eine Übergangsrelation S S, die angibt, in welche direkten Folgezustände z man von einem Zustand z aus kommen kann, ein Verfahren, wie man (gemäß ) von z 0 zu einem z G kommen kann. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 281 / 541

5 5.1 Der Suchraum Der Suchraum (Forts.) Aufgaben zur Entwicklung eines Lösungsansatzes: Modellierung von S: Was sind Zustände? Angabe von : Welche Suchschritte sind möglich? Aufbau und Durchsuchung von S: Wie sucht man effizient? Was muss man zwischenspeichern? Beachte: S ist häufig endlich, kann aber auch unendlich sein. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 282 / 541

6 5.1 Der Suchraum Durchsuchung des Suchraums Modellierung von S (konzeptionell): Wir modellieren S als Baum, wobei jeder Knoten einen Zustand als Marke trägt: z 0 ist die Wurzel. Knoten z hat alle z als Söhne mit z z. Aufbau von S: Zu jedem Zeitpunkt ist nur ein Anfangsbaum T von S aufgebaut (und durchsucht). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 283 / 541

7 5.1 Der Suchraum Durchsuchung des Suchraums (Forts.) Es gibt unterschiedliche Aufbaustrategien: Tiefensuche (depth first search). Breitensuche (breadth first search). Mischformen hierzu, z.b. iterative deepening : Baue T depth first bis zur vorgegebenen Tiefe t 0 auf. Falls dabei kein z G gefunden wurde, erhöhe t 0 zu t 1 und baue T bis zur Tiefe t 1 auf. Iteriere diesen Prozess. Heuristische Suche: Schätze die Erfolgschancen der Suche unter jedem Blatt von T ab und baue T unter dem besten Knoten weiter auf. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 284 / 541

8 5.1 Der Suchraum Bemerkungen zur Suchstrategie Heuristische Suchverfahren werden später besprochen. Breitensuche ist häufig ineffizient, weil nahe der Wurzel selten Zielknoten liegen. Tiefensuche ist gefährlich, falls der Suchbaum unendliche Tiefe hat. Dann empfiehlt sich das iterative deepening. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 285 / 541

9 5.1 Der Suchraum Bemerkungen zur Suchstrategie (Forts.) Zentraler Punkt bei der Tiefensuche: Backtracking: Gehe auf dem aktuellen Ast rauf, bis zu einem Knoten, der noch nicht voll expandiert ist, d.h., einen nicht-expandierten Sohn hat. Starte hier die Tiefensuche erneut. Beschränkung der Suche: Manchmal kann man abschätzen, dass unter einem Knoten z kein Zielknoten liegt. Dann die Suche hier abbrechen, also den Suchbaum hier nicht weiter entwickeln. Beschränkungsprädikat B(z) verwenden. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 286 / 541

10 5.2 Das n-damen-problem 5.2 Das n-damen-problem Problem: Eingabe: Ein Feld der Größe n n (Schachbrett). Aufgabe: Positioniere n Damen so, dass keine eine andere bedroht. Modellierung: Dame i stehe in Zeile i und Spalte x i (i,x i = 1,...,n). Dann gilt: Dame i bedroht Dame j gdw. i j = x i x j x i = x j (Übung!). Wir positionieren die Damen in der Reihenfolge k = 1,...,n. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 287 / 541

11 5.2 Das n-damen-problem Modellierung des n-damen-problems (Forts.) Der volle Suchraum besteht dann aus: Knoten der Form: z = (x 1,...,x k ) mit k 0, 1 x i n,x i x j für i j. Wurzel: z 0 = (), also k = 0. Kanten: (x 1,...,x k ) (x 1,...,x k,x k+1 ) mit x k+1 / {x 1,...,x k }. Zielknoten: (x 1,...,x n ) mit i j x i x j für alle 1 i < j n. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 288 / 541

12 5.2 Das n-damen-problem Modellierung des n-damen-problems (Forts.) Beispiel n = 3 Der volle expandierte Suchbaum: T ( ) (1) (2) (3) (1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (1, 2, 3) (1, 3, 2) (2, 1, 3) (2, 3, 1) (3, 1, 2) (3, 2, 1) Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 289 / 541

13 5.2 Das n-damen-problem Modellierung des n-damen-problems (Forts.) Beispiel n = 3 (Forts.) kompaktere Darstellung: x 1 = x 2 = x 3 = Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 290 / 541

14 5.2 Das n-damen-problem Modellierung des n-damen-problems (Forts.) Interpretation des Knotens z = (x 1,...,x k ): Es sind k Damen gesetzt, und zwar Dame i auf das Feld (i,x i ) für alle i = 1,...,k. Beschränkung der Suche: Setze B(z) gdw. z enthält eine Bedrohung, also: B(x 1,...,x k ) gdw. es gibt 1 i < j k mit i j = x i x j oder x i = x j. Alle Knoten z im Baum T erfüllen B(z). Zum Test, ob der Sohn z = (x 1,...,x k 1,x k ) von z = (x 1,...,x k 1 ) in T aufgenommen wird, hat man also: B(z ) gdw. i k = x i x k x i = x k für ein 1 i < k. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 291 / 541

15 5.2 Das n-damen-problem Der Suchalgorithmus (informell) Algorithmus A: Baue den Suchbaum depth first von links nach rechts auf. Stoppe den Aufbau unter z, falls B(z) gilt. Gib z aus, falls z ein Zielknoten ist. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 292 / 541

16 5.2 Das n-damen-problem Der Suchalgorithmus (informell) (Forts.) Beispiel n = 4 T x 1 = 1 2 x 2 = x 3 = x 4 = 3 3 erster Zielknoten Knoten z ist mit markiert, wenn B(z) gilt. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 293 / 541

17 5.2 Das n-damen-problem Der Suchalgorithmus (informell) (Forts.) Beispiel n = 4 (Forts.) Die Suche wurde hier nach dem Finden des ersten Zielknotens eingestellt. Der gefundene Zielknoten entspricht folgender Situation (als Schachbrett dargestellt): Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 294 / 541

18 5.2 Das n-damen-problem Der Algorithmus Damen Algorithmus: A : Damen(n) = suche(1,n,x) mit suche(k, n, x) = Ref: x; x k 1; while x k n do if not B(x 1,...,x k ) ( Ein Algorithmus für B sei gegeben ) then if k = n then output(x 1,...,x n ); x n n else suche(k + 1,n,x) fi fi x k x k + 1 od Es werden alle Lösungen ausgegeben. Beachte: Das Backtracking wird hier durch die rekursive Programmierung automatisch realisiert. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 295 / 541

19 Der Algorithmus Damen (Forts.) 5.2 Das n-damen-problem Beispiel: Eine Rechnung für n = 4 Man verfolge die Rechnung für n = 4: k x k , 2, 3 3 1, 2, 3, , 2 4 1, 2, 3, 4 3 3, , 2, 3, , 2, 3 + Erklärung: Backtrack-Punkt: Die k-te Dame konnte nicht gesetzt werden. + Lösung gefunden Alle Damen sind gesetzt worden: x 1 = 2, x 2 = 4, x 3 = 1, x 4 = 3. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 296 / 541

20 Der Algorithmus Damen (Forts.) 5.2 Das n-damen-problem Zeitbedarf A baut den vollen Suchbaum T auf. T hat Tiefe n, auf Tiefe k gibt es maximal n k Knoten, jeder Knoten verursacht beim B-Test Θ(k) Kosten. Also gilt: n T A (n) O(k n k ) O(n n n ), k=1 d.h., A hat Zeitbedarf T A (n) O(n n+1 ). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 297 / 541

21 Der Algorithmus Damen (Forts.) Zeitbedarf (Forts.) 5.2 Das n-damen-problem Beachte hierzu: Die Abschätzungstechniken aus Abschnitt 1.3 liefern n k m k (ln m) 1 n m n. k=1 Dies gilt wegen m k = e k lnm und n xe cx dx = (x 1 0 c ) 1 n c ecx = (n 1 c ) 1 c ecn + 1 c 0 2 { Θ(ne cn,) falls c > 0, Θ(1), falls c < 0. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 298 / 541

22 5.3 Graphen-Färbung 5.3 Graphen-Färbung Definition 5.1 Seien G = (V, E) ein ungerichteter Graph, m N und ϕ : V {1,...,m} eine Abbildung. Die Abbildung ϕ heißt eine m-färbung von G, falls ϕ(u) ϕ(v) gilt für alle u,v V mit (u,v) E. Anwendungsbeispiel Frage: Ist jede Landkarte 4-färbbar, sodass Länder mit gemeinsamer Grenze unterschiedlich gefärbt sind? Transformation in Graphen-Problem für G = (V,E) mit: V = Menge der Länder, E = {(u,v) u,v haben gemeinsame Grenze }. Ist G 4-färbbar? Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 299 / 541

23 Graphen-Färbung (Forts.) 5.3 Graphen-Färbung Beispiel: Die westlichen Nachbarn Deutschlands NL B L D B NL L D F CH F CH Übung: G ist 4-färbbar, aber nicht 3-färbbar. Satz 5.2 (Lösung des 4-Farben-Problems) Jeder planare Graph ist 4-färbbar. Dies gilt nicht für jeden Graphen! Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 300 / 541

24 5.3 Graphen-Färbung Das Suchproblem Problem: Eingabe: Graph G = (V,E) mit V = {1,...,n},m N. Frage: Ist G m-färbbar? Modellierung: Wir färben die Knoten k = 1,..., n. Dabei sind m Farben möglich. Der volle Suchbaum besteht dann aus: Knoten: z = (x 1,...,x k ) mit 0 k n, 1 x i m, B(z). Wurzel: ( ), also k = 0. Kanten: z = (x 1,...,x k ) z = (x 1,...,x k,x k+1 ) mit B(z ). Zielknoten: z = (x 1,...,x n ) mit B(z). Beschränkungsprädikat für z = (x 1,...,x k ): B(z) gdw. x i = x j für ein i,j mit 1 i < j k und (i,j) E. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 301 / 541

25 5.3 Graphen-Färbung Der Färbe-Algorithmus Algorithmus: A : GraphFärbung(V,E,n,m) = x 1 1; färbe(2,n,m,x) mit färbe(k,n,m,x) = Ref: x; for x k = 1 to m do if not B(x 1,...,x k ) then if k = n then output(x 1,...,x n ) else färbe(k + 1,n,m,x) fi fi od Es werden alle m-färbungen ausgegeben. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 302 / 541

26 5.3 Graphen-Färbung Der Färbe-Algorithmus (Forts.) Bemerkungen Beachte zu Knoten 1: Man kann für jede Färbung x 1 = 1 voraussetzen. (Dies ist durch Umbenennung der Farben stets erreichbar.) Beachte zum Beschränkungsprädikat B: Es gilt B(z) für alle erzeugten Knoten z. Um den Sohn z = (x 1,...,x k 1,x k ) von z = (x 1,...,x k 1 ) zu erzeugen, setze man einfach B(x 1,...,x k ) gdw. x k = x i für ein i mit 1 i < k und (i,k) E. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 303 / 541

27 Der Färbe-Algorithmus (Forts.) 5.3 Graphen-Färbung Zeitbedarf von A Sei E als n n-matrix (Inzidenzmatrix) gegeben. Der Algorithmus A = GraphFärbung(V, E, n, m) baut den vollen Suchbaum T auf. T hat die Tiefe n, auf Tiefe k gibt es maximal m k Knoten, jeder Knoten verursacht beim B-Test Kosten O(k). Der Zeitbedarf von A lässt sich also wie in Abschnitt 5.2 abschätzen durch n T A (n,m) O(k m k ) O(n m n ). k=1 Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 304 / 541

28 5.4 Das 0/1-Rucksack-Problem 5.4 Das 0/1-Rucksack-Problem Wir betrachten nicht das Entscheidungsproblem, sondern das Optimierungsproblem: Eingabe: p = (p 1,...,p n ),w = (w 1,...,w n ),K wie früher. Aufgabe: Bestimme x = (x 1,...,x n ) mit x i {0, 1}, sodass n p i x i maximal ist unter der Nebenbedingung i=1 n i=1 w i x i K. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dies Problem als Suchproblem zu modellieren. Wir betrachten zwei davon. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 305 / 541

29 5.4 Das 0/1-Rucksack-Problem Das 0/1-Rucksack-Problem (Forts.) 1. Modellierung Idee: Wähle im k-ten Schritt ein neues Element y i {1,...,n} aus und packe es in den Rucksack. Damit ergibt sich für den Suchbaum die folgende Struktur: Knoten: (y 1...,y k ) mit 0 k n, 1 y i n, B(y 1,...,y k ). Wurzel: ( ), also k = 0. Kanten: (y 1,...,y k ) (y 1,...,y k,y k+1 ) mit B(y 1,...,y k+1 ). Beschränkungsprädikat: B(y 1,...,y k ) gdw. y i = y j für ein i j oder Zielknoten: alle Blätter des Suchbaumes. Gesucht ist ein optimaler Zielknoten. k i=1 w yi > K. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 306 / 541

30 5.4 Das 0/1-Rucksack-Problem Das 0/1-Rucksack-Problem (Forts.) 2. Modellierung Idee: Man entscheidet im k-ten Schritt, ob das Element k {1,...,n} in den Rucksack aufgenommen werden soll, d.h. ob x k = 0 oder x k = 1 gelten soll. Dies ergibt für den Suchbaum die folgende Struktur: Knoten: x = (x 1,...,x k ) mit 0 k n,x i {0, 1}, Wurzel: ( ), also k = 0. k i=1 w i x i K. ( ) Kanten: (x 1,...,x k ) (x 1,...,x k,x k+1 ) mit Sohn erfüllt (*). Der Baum hat also die Tiefe n und daher maximal 2 n Blätter. Die Blätter beschreiben die zulässigen Rucksackpackungen. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 307 / 541

31 2. Modellierung (Forts.) 5.4 Das 0/1-Rucksack-Problem Das Beschränkungsprädikat Bei Optimierungsproblemen setzt man häufig B(x) gdw. unter x kann kein Zielknoten liegen, der besser ist als der bisher beste besuchte Zielknoten. Setze für jeden Knoten x = (x 1,...,x k ): APROF(x) = k p i x i i=1 AKOST(x) = k i=1 aktueller Profit, w i x i aktuelle Kosten Also gilt für Kante x = (x 1,...,x k ) x = (x 1,...,x k,x k+1 ): APROF(x ) = APROF(x)+p k+1 x k+1 AKOST(x ) = AKOST(x)+w k+1 x k+1 Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 308 / 541

32 2. Modellierung (Forts.) 5.4 Das 0/1-Rucksack-Problem Das Beschränkungsprädikat (Forts.) Sei OPT = max{ APROF(z) z schon besuchtes Blatt }. 1. Realisierung: Setze: B(x) gdw. AKOST(x) > K. Diese Wahl von B berücksichtigt APROF(x) gar nicht. 2. Realisierung: Wir schätzen jetzt die Profite unterhalb von x nach oben ab. Liefert diese Schätzung einen Wert < OPT, so wird die Suche abgebrochen. Setze für x = (x 1,...,x k ): Die Summe B(x) gdw. AKOST(x) > K APROF(x)+ n i=k+1 Profite unterhalb von x. n i=k+1 p i < OPT. p i ist eine schwache Abschätzung der möglichen Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 309 / 541

33 2. Modellierung (Forts.) 5.4 Das 0/1-Rucksack-Problem Das Beschränkungsprädikat (Forts.) 3. Realisierung: Eine bessere Abschätzung des möglichen Profits unterhalb x ist { n } n P(x) = max p i y i 0 y i 1, w i y i K AKOST(x). i=k+1 i=k+1 Dies ist mit der Greedy-Methode in Zeit O(n k) berechenbar, falls folgende Voraussetzung gilt: p i w i p i+1 w i+1 für i = 1,...,n 1. Setze: B(x) gdw. AKOST(x) > K APROF(x)+P(x) < OPT. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 310 / 541

34 Der Suchalgorithmus OptRSP Algorithmus: 5.4 Das 0/1-Rucksack-Problem A : OptRSP(p,w,n,K) = OPT 0; y (0,...,0); ( y = (y 1,...,y n ) ) suche(1, 0, 0,x,y, OPT); STOP: output (OPT, y ) mit suche(k, AKOST, APROF, x, y, OPT) = Ref: x, y, OPT; for x k = 0 to 1 do AK AKOST+w k x k ; AP APROF+p k x k ; if not B(x 1,...,x k ) ( Ein Algorithmus für B sei gegeben ) then if k < n then suche(k + 1, AK, AP,x,y, OPT) else if AP > OPT then y x; OPT AP fi fi fi od Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 311 / 541

35 Zeitbedarf für A = OptRSP 5.4 Das 0/1-Rucksack-Problem Der Algorithmus A kann den Suchbaum T ganz aufbauen. T hat Tiefe n, auf Tiefe k gibt es 2 k Knoten, jeder Knoten verursacht Kosten O(n k). Also gilt für den Zeitbedarf im schlechtesten Fall: n T A (n) O((n k) 2 k ). k=1 Es gilt mit c = 1 ln 2 (vergleiche Abschnitt 5.2) folgendes: n n (n k) 2 k = n 2 k n k 2 k k=1 d.h., T A (n) O(n 2 n ). k=1 k=1 n 2 n+1 c n 2 n = (2 c)n 2 n Θ(n 2 n ), Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 312 / 541

36 5.5 Hamilton-Zyklen Kapitel 5: Backtracking 5.5 Hamilton-Zyklen Definition 5.3 Sei G = (V,E) ein ungerichteter Graph mit V = {1, 2,...,n}. Ein Hamilton-Zyklus ist ein geschlossener Pfad z durch G, der jeden Knoten genau einmal besucht, genauer: z = (v 1,v 2,...,v n ) mit v i v j für 1 i,j n,v 1 = 1, (v i,v i+1 ) E,(v n,v 1 ) E. Beispiele a) G: G hat zwei Hamilton-Zyklen: z = (1, 3, 2, 4) und z = (1, 4, 2, 3). Die Kante (1,2) liegt auf keinem H- Zyklus. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 313 / 541

37 Hamilton-Zyklen (Forts.) 5.5 Hamilton-Zyklen Beispiele (Forts.) b) G: G hat keinen H-Zyklus. 4 2 Problem U-Hamilton: Eingabe: G = (V,E),V = {1,...,n}. Aufgabe: Bestimme alle Hamilton-Zyklen in G. Man kann dies Problem auch für gerichtete Graphen betrachten: Problem G-Hamilton. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 314 / 541

38 5.5 Hamilton-Zyklen Der Suchraum Modellierung: Baue für k = 1, 2...,n alle Wege der Länge k 1 ab v 1 = 1 auf, die Anfangswege eines Hamilton-Zyklus sein können. Dies ergibt den Suchbaum T mit: Knoten: z = (x 1,...,x k ) mit 1 k n, x i x j für i j, (x i,x i+1 ) E, 1 x i n,x 1 = 1. Wurzel: (1), also k = 1. Kanten: z = (x 1,...,x k ) z = (x 1,...,x k,x k+1 ) mit B(z ). Beschränkungsprädikat: B(z) gdw. x i = x j für ein i j oder (x i,x i+1 ) / E. Zielknoten: z = (x 1,...,x n ) mit (x n,x 1 ) E und B(z). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 315 / 541

39 Der Suchraum (Forts.) 5.5 Hamilton-Zyklen Beachte: Sei z = (x 1,...,x k ) z = (x 1,...,x k,x k+1 ), und es gelte schon B(z). Dann gilt: B(z ) gdw. x i = x k+1 für ein 1 i k oder (x k,x k+1 ) / E. Dies ist in Zeit O(k) testbar. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 316 / 541

40 Der Suchalgorithmus Hamilton 5.5 Hamilton-Zyklen Algorithmus: A : Hamilton(V,E,n) = x 1 1; sucheweg(2,n,x) mit sucheweg(k, n, x) = Ref: x; for x k = 2 to n do if not B(x 1,...,x k ) then if k < n then sucheweg(k + 1,n,x) else if (x n, 1) E then output (x 1,...,x n ) fi fi fi od Zeitbedarf für A =Hamilton: Wie beim n-damen-problem ergibt sich T A (n) O(n n+1 ). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Entwurf und Analyse von Algorithmen 317 / 541