Konvexe Optimierung I Sommersemester Kapitel 0
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- Eike Kaiser
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1 Sommersemester 2013 Kapitel 0 Jun.-Prof. Dr. Thorsten Raasch Johannes Gutenberg-Universität Mainz Institut für Mathematik 15. April 2013
2 Konvexe Optimierung Was ist das? Was bedeutet Optimierung? Was bedeutet konvexe Optimierung?
3 Konvexe Optimierung Was ist das? Was bedeutet Optimierung? (Mathematische) Optimierung beinhaltet, optimale Parameter eines komplexen Systems analytisch oder numerisch zu finden. Dabei bedeutet optimal, dass eine reellwertige Zielfunktion f über einen zulässigen Parameterbereich X optimiert wird, z.b. min f (x). x X Was bedeutet konvexe Optimierung?
4 Konvexe Optimierung Was ist das? Was bedeutet Optimierung? (Mathematische) Optimierung beinhaltet, optimale Parameter eines komplexen Systems analytisch oder numerisch zu finden. Dabei bedeutet optimal, dass eine reellwertige Zielfunktion f über einen zulässigen Parameterbereich X optimiert wird, z.b. min f (x). x X Was bedeutet konvexe Optimierung? f als Funktion und X als Menge sind konvex.
5 Mathematische Optimierung Warum? Warum mathematische Optimierung?... viele Optimierungsprobleme aus der Praxis sind nicht konvex!
6 Mathematische Optimierung Warum? Warum mathematische Optimierung? Optimierungsprobleme tauchen z.b. in folgenden Bereichen auf: Wirtschaft (Investitions-, Produktions-, Personal-, Finanz- und Terminplanung, Preiskalkulation, Mischungs- und Transportprobleme) Infrastrukturplanung (Optimale Flüsse durch Telekommunikations- und Verkehrsnetze) Technik/Mechanik (Optimalsteuerung, Produktdesign) Physik/Chemie (Minimierung von Energiefunktionalen) Statistik (Ausgleichsrechnung/Regressionsanalyse, Parameterschätzung)... viele Optimierungsprobleme aus der Praxis sind nicht konvex!
7 Mathematische Optimierung Ziele Mathematische Optimierung: Übergreifende Ziele Klärung der Existenz, Eindeutigkeit und Charakterisierung von Optimallösungen Entwicklung numerischer Algorithmen zur konkreten Berechnung/Approximation von Optimallösungen Beurteilung solcher Algorithmen hinsichtlich Stabilität (Entstehung/Fortpflanzung von Rundungsfehlern) Konvergenz (Abschätzung von Diskretisierungs-/Abbruchfehlern) Komplexität (Abschätzung von Speicherbedarf und Rechenzeit)
8 Überblick Zielfunktion linear, f (x) = c x nichtlinear keine NB lineare NB: Ax b, Cx = d nichtlineare NB: g(x) 0, h(x) = 0
9 Überblick Zielfunktion linear, f (x) = c x nichtlinear keine NB min f (x) x R n lineare NB: Ax b, Cx = d nichtlineare NB: g(x) 0, h(x) = 0
10 Überblick Zielfunktion linear, f (x) = c x nichtlinear keine NB lineare NB: Ax b, Cx = d min f (x) x R n Lineare Optimierung min c x Ax b Cx=d nichtlineare NB: g(x) 0, h(x) = 0
11 Überblick Zielfunktion linear, f (x) = c x nichtlinear keine NB lineare NB: Ax b, Cx = d min f (x) x R n Lineare Optimierung min c x Ax b Cx=d Nichtlineare Optimierung min g(x) 0 h(x)=0 f (x) nichtlineare NB: g(x) 0, h(x) = 0
12 Überblick Zielfunktion keine NB linear, f (x) = c x min f (x) x R n nichtlinear Abstiegsverfahren lineare NB: Ax b, Cx = d Lineare Optimierung min c x Ax b Cx=d Simplex-Verfahren Innere-Punkt-Verf. Nichtlineare Optimierung min g(x) 0 h(x)=0 f (x) nichtlineare NB: g(x) 0, h(x) = 0 Penalty-/Barriereverfahren SQP-Verfahren Reduktionsverfahren Projektionsverfahren
13 Inhalte der Vorlesung Konvexe Mengen und konvexe Funktionen Optimalitätskriterien für beschränkte/unbeschränkte Probleme Numerische Verfahren für unbeschränkte Probleme Abstiegsverfahren: Gradientenverfahren, exakte und inexakte Newton-Verfahren, Quasi-Newton-Verfahren, CG-Verfahren Schrittweitenstrategien Trust-Region-Verfahren Numerische Verfahren für beschränkte Probleme Numerische Verfahren für lineare, beschränkte Probleme Simplex-Verfahren Innere-Punkt-Verfahren Numerische Verfahren für nichtlineare, beschränkte Probleme Quadratische Programme Penalty- und Barriere-Methoden SQP-Verfahren Projektionsverfahren
14 vs. II Wichtigste Einschränkungen in VL : zulässiger Bereich endlich-dimensional Zielfunktion und Nebenbedingungen glatt und konvex Ausblick auf VL I (WS 2013/2014): zulässiger Bereich unendlich-dimensional Variationsrechnung, z.b. Minimalflächen Kontrolltheorie Optimalsteuerung Zielfunktion oder Nebenbedingungen nicht glatt/nicht konvex Nichtglatte Optimierung Nichtkonvexe Optimierung, Konvexifizierung Numerische Verfahren für Spezialprobleme Komplementaritätsprobleme Variationsungleichungen
15 Nicht behandelte Themen Wir behandeln nicht: Ganzzahlige/kombinatorische Optimierungsprobleme, z.b. ganzzahlige Probleme in der Produktionsplanung Dienst-/Umlaufplanung im öffentlichen Nahverkehr Kapazität-/Routingplanung in Telekommunikationsnetzen Tourenplanung, z.b. Problem des Handlungsreisenden (TSP) Ja/Nein-Entscheidungen, z.b. Rucksackproblem Optimierungsprobleme mit stochastischen Größen Scheduling-/Warteschlangenprobleme, Projekt-/Terminplanung Mehrzieloptimierung/Pareto-Optimierung
16 Literatur Geiger/Kanzow: Numerische Verfahren zur Lösung unrestringierter Optimierungsaufgaben, Springer, Berlin/Heidelberg, 1999 Geiger/Kanzow: Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben, Springer, Berlin/Heidelberg, 2002
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