Inhaltsverzeichnis. 1 Einleitung 1 Struktur und Einsatz von Optimierungsmethoden 2 Einsatz der Optimierung in der Steuerungs- und Regelungstechnik 6

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1 1 Einleitung 1 Struktur und Einsatz von Optimierungsmethoden 2 Einsatz der Optimierung in der Steuerungs- und Regelungstechnik 6 Teil I Statische Optimierung 2 Allgemeine Problemstellung der statischen Optimierung 17 3 Minimierung einer Funktion einer Variablen Notwendige Bedingungen für ein lokales Minimum 3.2 Numerische Verfahren 22 Eingrenzungsphase Minimierung einer Funktion mehrerer Variablen ohne Nebenbedingungen 33 Notwendige Bedingungen für ein lokales Minimum Numerische Verfahren Algorithmische Struktur Liniensuche Gradientenverfahren Konjugierte-Gradienten-Verfahren Trust-Region-Verfahren Skalierung Ableitungsfreie Verfahren Stochastische Verfahren 56 Papageorgiou, Markos Optimierung 2012 digitalisiert durch: IDS Basel Bern

2 4.3 Beispiel: Optimale Festlegung von Minimierung einer Funktion mehrerer Variablen unter Nebenbedingungen 67 Minimierung unter Gleichungsnebenbedingungen Notwendige Bedingungen für ein lokales Minimum Reduzierter Gradient Beispiel: Optimale statische Prozesssteuerung Minimierung unter Ungleichungsnebenbedingungen Notwendige Bedingungen für ein lokales Minimum Sattelpunkt-Bedingung und Dualität Beispiel: Optimale Festlegung von unter Beschränkungen Konvexe Probleme Numerische Verfahren., Penalty-Verfahren Verfahren der Multiplikatoren-Penalty-Funktion Methode der kleinsten Quadrate Lineare kleinste Quadrate Kleinste Quadrate unter Gleichungsnebenbedingungen Gewichtete kleinste Quadrate Rekursive kleinste Quadrate 126 Adaptive kleinste Quadrate 6.2 Probleme der Parameterschätzung Parameterschätzung statischer Systeme Parameterschätzung linearer dynamischer Systeme 6.3 Nichtlineare kleinste Quadrate Lineare Programmierung 7.1 Simplex-Methode Initialisierungsphase Beispiele Netzplantechnik Transportproblem Maximalstromproblem

3 xv 8 Weitere Problemstellungen von Vektorfunktionen 8.2 Kombinatorische Optimierung 8.3 Spieltheorie 164 Teil II Dynamische Optimierung 9 Variationsrechnung zur Minimierung von Funktionalen 9.1 Notwendige Bedingungen ein lokales Minimum Feste Endzeit Freie Endzeit 175 Allgemeine Endbedingung 9.2 Legendresche Bedingung 9.3 Starke lokale Minima Weitere Nebenbedingungen Gleichungsnebenbedingungen Ungleichungsnebenbedingungen Optimale Steuerung dynamischer Systeme Notwendige Bedingungen für ein lokales Minimum 10.2 Behandlung der Randbedingungen Feste Endzeit Freie Endzeit Optimale Steuerung und optimale Regelung Beispiele Weitere Nebenbedingungen Integrationsnebenbedingungen Gleichungsnebenbedingungen an internen Randpunkten Diskontinuierliche Zustandsgieichungen Hybride dynamische Systeme Minimum-Prinzip 223 Notwendige Bedingungen für ein lokales Minimum 224 Bedingungen an die Hamilton-Funktion 233 Weitere Nebenbedingungen 235 Gleichungsnebenbedingungen 235 Ungleichungsnebenbedingungen der Zustandsgrößen 239 optimale Steuerung 242 Beispiele 246 Zeitoptimale Steuerung 246 Verbrauchsoptimale Steuerung 256 Periodische optimale Steuerung

4 xvi Inhaltsverzeichnis 12 Lineare-Quadratische (LQ-)Optimierung dynamischer Systeme Zeitinvarianter Fall Rechnergestützter Entwurf Robustheit zeitinvarianter 287 mit vorgeschriebener minimaler Stabilitätsreserve Regelung der Ausgangsgrößen 291 mit Störgrößenreduktion Bekannte Störgrößen Messbare Störgrößen Bekanntes Störgrößenmodell Optimale Folgeregelung Zeitvarianter Fall Zeitinvarianter Fall LQ-Regelung mit Integralrückführung Stationäre Genauigkeit von von Mehrgrößensystemen Optimale Regelung linearisierter Mehrgrößensysteme Optimale Steuerung zeitdiskreter dynamischer Systeme Notwendige Bedingungen für ein lokales Minimum Zeitdiskrete Zeitvarianter Fall Zeitinvarianter Fall Dynamische Programmierung Bellmansches Kombinatorische Probleme Zeitdiskrete Probleme 340 Diskrete dynamische Programmierung Zeitkontinuierliche Probleme Verfahren für dynamische Optimierungsprobleme Zeitdiskrete Probleme Anfangswertprobleme Indirekte Verfahren Indirekte Schießverfahren Indirekte Gradienten-Verfahren Direkte Verfahren Parameteroptimierung 389

5 xvii Direkte Einfachschießverfahren Direkte Kollokationsverfahren Direkte Mehrfachschießverfahren Teil III Stochastische optimale Regler und Filter 16 Stochastische dynamische Programmierung Zeitdiskrete stochastische dynamische Programmierung Diskrete stochastische dynamische Programmierung Zeitinvarianter Fall dynamic Programming Stochastische LQ-Optimierung Stochastische Probleme mit unvollständiger Information Optimale Zustandsschätzung dynamischer Systeme Zustandsschätzung zeitkontinuierlicher linearer Systeme Zeitinvarianter Fall Korrelierte Störungen Zustandsschätzung zeitdiskreter linearer Systeme Kaiman-Filter Zeitinvarianter Fall Korrelierte Störungen Zustandsschätzung statischer Systeme 456 Konstanter Zustand Adaptive Schätzung Zustandsschätzung nichtlinearer Systeme Erweitertes Kaiman-Filter und Parameterschätzung Unscented Kaiman-Filter Lineare quadratische Gaußsche Zeitkontinuierliche Probleme Zeitdiskrete Probleme Vektoren und Matrizen 483 Notation 483 A.2 Definitionen 484 A.3 Differentiationsregeln 485 A.4 Quadratische Formen 485 A.5 Transponieren und Invertieren von Matrizen

6 xviii Inhaltsverzeichnis Mathematische Systemdarstellung 489 B. 1 Dynamische Systeme 489 Zeitkontinuierliche Systemdarstellung 490 Zeitdiskrete Systemdarstellung 492 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit 494 B.2 Statische Systeme 494 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie 495 C. 1 Wahrscheinlichkeit 495 C.2 Zufallsvariablen 496 C.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit 500 C.4 Stochastische Prozesse 500 Literaturverzeichnis 503 Sachverzeichnis