Enrico G. De Giorgi. Mathematik. 2. Auflage Lehrstuhl für Mathematik Universität St.Gallen. Diese Version: August 2014.

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1 Enrico G. De Giorgi Mathematik 2. Auflage 2014 Lehrstuhl für Mathematik Universität St.Gallen Diese Version: August 2014.

2 c 2014, Enrico De Giorgi, Universität St.Gallen, alle Rechte vorbehalten. Die Vervielfältigung für kommerzielle Zwecke ist untersagt. i

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4 Formal mathematics is like spelling and grammar - a matter of the correct application of local rules. Meaningful mathematics is like journalism - it tells an interesting story. But unlike some journalism, the story has to be true. The best mathematics is like literature - it brings a story to life before your eyes and involves you in it, intellectually and emotionally. Courant, Robbins, and Stewart (1996) iii

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6 Inhaltsverzeichnis Vorwort xii I Einleitung 1 1 Warum Mathematik für Ökonomen? 3 2 Mathematische Logik Logische Operationen Negationen Konjunktionen Disjunktionen Implikationen oder hypothetische Aussagen Äquivalenzen Zusammengesetzte Aussagen Mengenlehre Definitionen Operationen auf Mengen Kartesisches Produkt Kombinatorik Permutationen Permutationen ohne Wiederholung Permutationen mit Wiederholung Variationen Variationen ohne Wiederholung v

7 vi INHALTSVERZEICHNIS Variationen mit Wiederholung Kombinationen Kombinationen ohne Wiederholung Kombinationen mit Wiederholung Der binomische Lehrsatz Zusammenfassung Zahlentheorie Reelle Zahlen Definitionen Ungleichungen Betrag Komplexe Zahlen Definitionen Polarform Lösungen Teil I 61 II Grundlagen 75 6 Folgen Definitionen und Beispiele Eigenschaften Reihen Definitionen und Beispiele Eigenschaften Die Eulersche Zahl Finanzmathematik Zinsen und Barwert Projektevaluation Renten und Annuitäten Rückzahlung von Darlehen

8 INHALTSVERZEICHNIS vii Lösungen Teil II 135 III Eindimensionale reelle Analysis Grundbegriffe Relationen und Abbildungen Funktionen reeller Variablen Eigenschaften von Funktionen Besondere Funktionen Polynome Exponentialfunktion und Logarithmus Trigonometrische Funktionen Funktionen in den Wirtschaftswissenschaften Angebotsfunktion und Nachfragefunktion Engel-Funktionen Nutzenfunktionen Kostenfunktionen Stetigkeit und Differenzierbarkeit Grenzwerte Stetigkeit Definition Formen von Unstetigkeiten Eigenschaften stetiger Funktionen Differenzierbarkeit Definition Ableitungen spezieller Funktionen Differentiationsregeln (Ableitungsregeln) Ableitungen höherer Ordnung Grenzwerte und Differenzierbarkeit Differential, Änderungsraten und Elastizitäten Differential Änderungsraten

9 viii INHALTSVERZEICHNIS Elastizitäten Graphen differenzierbarer Funktionen Monotonie Konvexität und Konkavität Extremalstellen Taylor-Polynom Definition und Beispiele Restglied und asymptotisches Verhalten Lösungen Teil III 255 IV Mehrdimensionale reelle Analysis Funktionen mehrerer Variablen Grundbegriffe Partielle Ableitungen Definition Partielle Ableitungen höherer Ordnung Taylorentwicklung von Funktionen mehrerer Variablen* Verallgemeinerte Kettenregel Totales Differential und partielle Elastizitäten Totales Differential Partielle Elastizität Implizite Funktionen Homogene Funktionen Optimierung von Funktionen zweier Variablen Optimierung ohne Nebenbedingung Optimierung mit Nebenbedingungen Optimierung durch Variablensubstitution Lagrange-Methode Lösungen Teil IV 325

10 INHALTSVERZEICHNIS ix V Integration Das bestimmte Integral Definition Eigenschaften Das unbestimmte Integral Definition Integrationsregeln Grundregeln Partielle Integration Integration durch Substitution Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Uneigentliches Integral Anwendungen der Integrationsrechnung Marginale und totale Funktion Barwert eines kontinuierlichen Zahlungsflusses Wahrscheinlichkeitsverteilungen Diskrete Zufallsvariablen Kontinuierliche Zufallsvariablen VI Lineare Algebra Matrizen und Determinanten Matrizen Definition Operationen Inverse Matrix Determinanten Zusammenfassung Vektoren Eigenschaften von Vektoren

11 x INHALTSVERZEICHNIS Eigenschaften von 2 und 3 dimensionalen Vektoren Vektorgleichungen von Geraden und Ebenen Höhere Dimensionen Anwendungen von Vektoren: Der Gradient Definition Eigenschaften Notwendige Bedingungen für Extrema, neu betrachtet Lineare Gleichungssysteme Lineare Unabhängigkeit und Rang Lineare Unabhängigkeit von Vektoren Rang einer Matrix Lösungen von linearen Gleichungssystemen Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen Cramersche Regel Das Gau"s-Verfahren Eigenwerte und quadratische Formen Eigenwerte und Eigenvektoren Definition Matrixzerlegungen* Quadratische Formen* VII Dynamische Modelle Differenzengleichungen Definition Lineare Differenzengleichung Differenzengleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten Lineare Differenzengleichungen: Der allgemeine Fall* Differenzengleichungen zweiter Ordnung* Differentialgleichungen* Definition

12 INHALTSVERZEICHNIS xi 21.2 Lösungen von Differentialgleichungen erste Ordnung Existenz von Lösungen Herleitung von Lösungen Analytische Methoden Literaturverzeichnis 619 Index 620