Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

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1 Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Von David S. Huang Ph. D. Professor für Wirtschaftswissenschaften an der Southern Methodist University, Dallas (Texas) und Dr. Wilfried Schulz Professor für Volkswirtschaftslehre an der Universität der Bundeswehr München 7., durchgesehene Auflage R. Oldenbourg Verlag München Wien

2 Inhaltsverzeichnis VII Seite Kapitel 1: Die Mathematik in den Wirtschaftswissenschaften Zur Entstehung der mathematischen Nationalökonomie Zur mathematischen Methode in den Wirtschaftswissenschaften 3 Literatur zu Kapitel 1 5 Kapitel 2: Einige elementare Begriffe und Instrumente Das Zahlensystem Ganze Zahlen Rationale Zahlen Irrationale Zahlen Das Kontinuum der reellen Zahlen Imaginäre Zahlen Die Menge der Zahlen im Zahlensystem 10 Übungsaufgaben Mengen, Relationen, Funktionen Mengen und Relationen Mengen und Funktionen 14 Übungsaufgaben Koordinatengeometrie Rechtwinkliges Koordinatensystem Gleichungen Gleichungssysteme Lineare Ungleichungen 22 Übungsaufgaben Logarithmen Exponenten Definition der Logarithmen Einige Anwendungen 29 Übungsaufgaben Folgen und Reihen Arithmetische Folgen Arithmetische Reihen Geometrische Folgen Geometrische Reihen 34 Übungsaufgaben Ausgewählte Literaturhinweise 36 Kapitel 3: Funktionen, Grenzwerte und Ableitungen Typen von Funktionen und ihre Grafen Funktionen von Polynomen Gebrochen rationale Funktionen 41

3 VIII Inhaltsverzeichnis Explizite algebraische Funktionen Exponentialfunktionen Logarithmische Funktionen 44 Übungsaufgaben Grenzwerte und Stetigkeit Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte einer Funktion Operationen mit Grenzwerten Stetigkeit von Funktionen Ableitungen Grenzerlösfunktion Differentiation 57 Übungsaufgaben Ausgewählte Literaturhinweise 58 Kapitel 4: Technik des Differenzierens Einige Differentiationsregeln Ableitung einer Konstanten Ableitung der unabhängigen Variablen Ableitung einer Potenzfunktion Ableitung einer mit einer Konstanten multiplizierten Funktion Ableitung einer Summe von Funktionen Ableitung eines Produktes von Funktionen Ableitung eines Quotienten von Funktionen Kettenregel 65 Übungsaufgaben Ableitungen höherer Ordnung 66 Übungsaufgaben Anwendungen der Ableitungen Prüfen von Extremwerten Beziehung zwischen Durchschnitts- und Grenzwerten Anwendungen auf das Monopol Das Dyopolproblem Produktionsfunktionen 78 Übungsaufgaben Die Differentiation von Logarithmen und Exponenten Die Eulersche Zahl e Ableitungen einer logarithmischen Funktion Ableitungen einer Exponentialfunktion Preiselastizität der Nachfrage Grenzerlös und Preiselastizität der Nachfrage 86 Übungsaufgabe Ausgewählte Literaturhinweise 87 Kapitel 5: Partielle Differentiation Funktionen von zwei und mehr Variablen 89 Übungsaufgaben

4 Inhaltsverzeichnis DC 5.2. Grenzwerte und Stetigkeit Grenzwerte Stetigkeit Partielle Ableitungen 93 Übungsaufgaben Partielle Ableitungen höherer Ordnung 96 Übungsaufgaben Einige Anwendungen Homogene Funktionen Das Eulersche Theorem Einige Bemerkungen über linear homogene Produktionsfunktionen 102 Übungsaufgaben Totale Differentiale Einfache Differentialformel Definition des totalen Differentials Totale Ableitung 109 Übungsaufgaben Differentiation impliziter Funktionen 111 Übungsaufgaben Die Produktionsfunktion von Solow Maxima und Minima 115 Übungsaufgaben Monopolist mit zwei Gütern 120 Übungsaufgaben Optimierung unter Nebenbedingungen Die Reduktionsmethode Lagranges Methode der unbestimmten Multiplikatoren Nachfrage nach Konsumgütern Nachfrage nach Produktionsfaktoren 130 Übungsaufgaben Ausgewählte Literaturhinweise 133 Kapitel 6: Grundbegriffe der Integralrechnung Das bestimmte Integral Das unbestimmte Integral und der Hauptsatz der Integralrechnung Das Rechnen mit Integralen 143 Übungsaufgaben Die Konsumentenrente 147 Übungsaufgaben Abgezinste Kapitalwerte 148 Übungsaufgaben

5 X Inhaltsverzeichnis Kapitel 7: Differenzen- und Differentialgleichungen Postkeynesianische Wachstumsmodelle Differenzengleichungen Bezeichnungen Das Lösen einer Differenzgleichung 158 Übungsaufgaben Homogene Systeme erster Ordnung Die Lösung homogener erster Ordnung Das Verhalten der Lösung eines homogenen Systems erster Ordnung 163 Übungsaufgaben Inhomogene Systeme erster Ordnung Ein Beispiel Die Lösung eines inhomogenen Systems erster Ordnung Das Verhalten von Lösungen in Systemen erster Ordnung 168 Übungsaufgaben Homogene Systeme zweiter Ordnung Das Multiplikator-Akzelerator-Modell des Einkommenswachstums Die Lösung von homogenen Systemen zweiter Ordnung Reelle und ungleiche Wurzeln Reelle und gleiche Wurzeln Komplexe und imaginäre Zahlen Komplexe und imaginäre Wurzeln 178 Übungsaufgaben Inhomogene Systeme zweiter Ordnung 181 Übungsaufgaben Interpretation von Systemen zweiter Ordnung Reelle und ungleiche Wurzeln Komplexe und imaginäre Wurzeln 185 Übungsaufgaben Gewöhnliche Differentialgleichungen Klassifikation der Differentialgleichungen Die Lösung einer Differentialgleichung 187 Übungsaufgaben Differentialgleichungen erster Ordnung und ersten Grades Trennbare Variable Exakte Differentialgleichungen Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Eine nochmalige Überprüfung des einfachen Wachstumsmodells von Domar 194 Übungsaufgaben Anhang: Die Grundlagen der ebenen Trigonometrie 197 Ausgewählte Literaturhinweise 201

6 Inhaltsverzeichnis XI Kapitel 8: Vektoren und Matrizen Begriffe in der Matrixalgebra 205 Übungsaufgaben Vektoren Einige grundlegende Begriffe Vektoralgebra 210 Übungsaufgaben Vektorräume Lineare Abhängigkeit Basisvektoren 218 Übungsaufgaben Matrizen Einige spezielle Matrizen Einige grundlegende Matrixoperationen 223 Übungsaufgaben Determinanten 229 Übungsaufgaben Adjunkte und Inverse 234 Übungsaufgaben Einige Eigenschaften von Matrizen Elementare Operationen Äquivalenz Rang einer Matrix Rangbestimmung mit Hilfe der Staffelform 244 Übungsaufgaben Ausgewählte Literaturhinweise 247 Kapitel 9: Systeme von linearen Gleichungen Das Lösen von linearen Gleichungen 249 Übungsaufgaben Eine allgemeine Lösungsmethode Die Zahl der Gleichungen entspricht der Zahl der Unbekannten Inhomogene Systeme Homogene Systeme 254 Übungsaufgaben Die Zahl der Gleichungen entspricht nicht der Zahl der Unbekannten Mehr Gleichungen als Unbekannte Mehr Unbekannte als Gleichungen Übungsaufgaben Die Cramersche Regel 261 Übungsaufgaben Ausgewählte Literaturhinweise 262 Kapitel 10: Weitere Anwendungen der Matrixalgebra Input-Output-Analyse 263

7 XII Inhaltsverzeichnis Die Verflechtungstabelle Die Matrix der Inputkoeffizienten Die Befriedigung der Endnachfrage 267 Übungsaufgaben Lineare Regressionsmodelle Einfache Regression Matrixableitungen Multiple Regression 276 Übungsaufgaben Ausblick 280 Ausgewählte Literaturhinweise 281 Lösungen zu den ungeradzahligen Übungsaufgaben 283 Anhang: Griechisches Alphabet 309 Stichwortverzeichnis 311