Inhaltsverzeichnis. 1 Vorwort 9

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1 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 9 2 Grundlagen Notationen, Symbole und Konstanten Rechnen mit reellen Zahlen Potenzregeln Mengen Teilmengen Mächtigkeit von Mengen Binärtupel Relationen und Funktionen Relationen Darstellung endlicher Relationen Eigenschaften von Funktionen Binomialkoeffizienten und der binomische Lehrsatz Der binomische Lehrsatz Umkehrfunktionen und Verkettungen Die Umkehrabbildung Verkettung von Funktionen Äquivalenzumformungen Zahlenfolgen Rekursionen Differenzenrekursion Zusammenfassung Die Summe / Reihe Rechenregeln für Summen Wichtige Summen Rechnen mit Summen Gleichungen und Ungleichungen Lineare Gleichungen Quadratische Gleichung Wurzelgleichungen Ungleichungen

2 INHALTSVERZEICHNIS Betragsgleichungen Matrizen, Determinanten und Lineare Gleichungssysteme Matrizen Rechnen mit Matrizen Determinanten Inverse Matrizen Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Ein direktes Verfahren Das Gauss-Eliminationsverfahren Funktionen Darstellung reeller Funktionen Weitere Eigenschaften reeller Funktionen Polynome Faktorisierung von Polynomen Das Horner-Schema Interpolationspolynome Gebrochen rationale Funktionen Wichtige Funktionen und ihre Umkehrfunktionen Umkehrfunktionen Die Wurzelfunktion Trigonometrische Funktionen Die Exponential- und Logarithmusfunktion Die Logarithmusfunktion Algebraische Funktionen Folgen, Reihen und Grenzwerte Folgen reeller Zahlen Grenzwerte von Summen Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit von Funktionen 133 Differentialrechnung Motivation Verallgemeinerung Die Tangentengleichung Ableitungsregeln Faktorregel und Summenregel Produktregel und Quotientenregel Kettenregel und die Ableitung der Umkehrfunktion Höhere Ableitungen Mittelwertsatz und Kurvendiskussion Monotonieverhalten Lokale und absolute Extrema Der Zwischenwertsatz Der Mittelwertsatz Krümmungsverhalten differenzierbarer Funktionen Die Grenzwertsätze von L'Hospital 163

3 INHALTSVERZEICHNIS Die Kurvendiskussion Anwendungsbeispiele Potenzreihenentwicklung Potenzreihen Konvergenz von Potenzreihen Die MacLaurin-Reihe Die Taylorreihe Anwendung der Potenzreihen Beweis der Grenzwertsätze von L'Hospital Zusammenhang zwischen Taylorreihen und Extremwerten Konvergenzgeschwindigkeit von Taylorreihen Numerische Berechnung von Ableitungen Das Differential Differentielle Fehleranalyse Das Tangentenverfahren von Newton Integration Einleitung - Bestimmte Integrale Elementare Rechenregeln für Integrale Unbestimmte Integrale Berechnung bestimmter Integrale mittels Stammfunktion Integrationsmethoden Substitution Partielle Integration Die Partialbruchzerlegung Zusammenfassung Flächenberechnungen Fläche und Integral zwischen zwei Funktionen Längenberechnung Mantelflächenberechnung Rotationsvolumen Numerische Berechnung von Integralen Uneigentliche Integrale Unbeschränkte Integrationsintervalle Unbeschränkte Integranden Anwendungen Bewegungsgleichungen Arbeit entlang eines Weges Erdanziehung (uneigentliche Integrale) Arbeit eines idealen Gases im isothermen Zustand Vektorrechnung Vektoren Darstellung von Vektoren Zweidimensionalen Vektoren Mehrdimensionale Vektoren 242

4 INHALTSVERZEICHNIS 5.3 Rechnen mit Vektoren Summe mehrerer Vektoren Differenz von Vektoren Grundlegende Rechenarten Weitere Rechenregeln Einheitsvektoren Das Skalarprodukt Berechnung des Skalarproduktes Längen und Beträge als Skalarprodukte Projektionen Anwendung: Arbeit einer Kraft Das Vektorprodukt Das Spatprodukt (Der Spat) Anwendungen zur Vektorrechnung Stabkräfte eines belasteten Dreibeins Parametrische Funktionen Ableitung parametrischer Funktionen Kurvenintegrale Arbeit einer Kraft 270 Wachstums- und Zerfallsprozesse Grundlagen der Evolutionsgleichungen Einleitung: Die Evolutionsgleichung Diskret oder kontinuierlich? Ungebremstes Wachstum Der diskrete Fall Zeitteile Grundsätzliches Der Übergang zum kontinuierlichen Modell Zusammenhang zwischen kdiskret und kk 0nt Zur Ermittlung von k aus den Daten Gebremstes Wachstum - Störung erster Ordnung Das logistische Wachstum - Störungen zweiter Ordnung Verzögertes Wachstum Systeme von Differenzengleichungen Zusammenfassung Wachstum und Zerfall 321 Komplexe Zahlen Wie alles begann: Eine kurze Geschichte der komplexen Zahlen Grundlagen Potenzen der imaginären Einheit Komplexe Zahlen Grafische Darstellung komplexer Zahlen Rechenregeln für komplexe Zahlen Kartesische Form a + bi Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten 332

5 INHALTSVERZEICHNIS Umrechnung der Darstellungsformen Die Exponentialform Rechenregeln für Polarkoordinaten Eigenschaften von z = e lv Radizieren (Wurzel ziehen) von komplexen Zahlen Anwendung: komplexe Zahlen zur Herleitung der Additionstheoreme Abschliessend Differentialrechnung in mehreren Variablen Einleitung Darstellungsformen einer Funktion für n= Wertetabelle Oberflächendiagramme Höhenlinien Differentiation Schnittfunktion und partielle Ableitung Differenzierbarkeit Die Richtungsableitung Partielle Ableitungen höherer Ordnung Die Taylorentwicklung für f(x, y) Eindimensional Zweidimensional Das vollständige Differential Anwendung: Fehlerrechnung Der relative Fehler Anwendung: Implizite Differentiation Relative Extremwerte ohne Nebenbedingungen Der eindimensionale Fall Lokale Extrema bei zwei Unbekannten Schreibweise als Hesse-Matrix Beispiel 1: Nektar sammelnde Bienen Beispiel 2: Zugvögel (ohne Happy End) Anwendung der Extremwertberechnung: Regressionsanalyse Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Lagrange Multiplikatoren Mehrdimensionale Integration Einleitung Berechnung der Integrale Berechnung von Integralen in kartesischen rechteckigen Koordinaten Integration über kartesische krummlinige Bereiche Weitere Anwendungen Integration in Polarkoordinaten Uneigentliche Integrale 405

6 8 INHALTSVERZEICHNIS Numerische Berechnung von Doppelintegralen Dreifachintegrale Schwerpunktsberechnungen Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL) Einleitung Lösungsverfahren für DGL'en erster Ordnung Geometrische Interpretation von y'=f(x,y) Trennung der Variablen Lineare DGL'en Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten Substitution Zusammenfassung der Lösungsverfahren für DGL 1. Ordnung Lineare DGL'en 2. Ordnung mit konst. Koeffizienten Lineare Differentialgleichungssysteme Numerische Lösung einer expliziten DGL 1. Ordnung Anwendungen Freier Fall mit Luftwiderstand Die harmonische Schwingung Abkühlung von Milchkaffee Geschwindigkeit eines vom Tisch rutschenden Seiles Wachstumsprozesse mit Hilfe der Differentialgleichungen Differentialgleichungen für Störungen zweiter Ordnung Deskriptive Statistik Einleitung Darstellung von Messreihen Klassenbildung Masszahlen für eindimensionale Daten Lägemasse Streuungsmasse Masszahlen für zweidimensionale Daten Zusammenhang zur Regression Probeklausuren (mit Lösungen) Mathematik Mathematik Übungsaufgaben 505