Mathematische Methoden für die Praxis

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1 Dominic W. Jordan / Peter Smith Mathematische Methoden für die Praxis Mit 3,5'-Diskette Aus dem Englischen von Michael Basler Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin Oxford

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort 11 1 Elementare Funktionen und Verfahren Die Zahlengerade und Zahlenintervalle Koordinaten in der Ebene Geraden und Kurven Funktionen Winkelangaben im Bogenmaß Trigonometrische Funktionen Umkehrfunktionen Exponentialfunktionen Die Logarithmusfunktion Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall Hyperbelfunktionen Partialbrüche Das Summenzeichen und geometrische Reihen Übungsaufgaben 55 2 Differentialrechnung Der Anstieg einer Kurve Die Ableitung: Schreibweise und Definition Änderungsraten Die Ableitung von x n, (n = 0,1,2,3,...) Summen und Produkte mit Konstanten Drei grundlegende Grenzwerte Die Ableitungen von e x, sinx, cos x und Inx Eine Übersicht über die Grundableitungen Höhere Ableitungen Zur Interpretation der zweiten Ableitung Übungsaufgaben 82

3 2 INHALTSVERZEICHNIS 3 Weitere Differentiationstechniken Die Produktregel Quotienten und Kehrwerte Die Kettenregel Die Ableitung von x n für beliebige n Funktionen von ax + b Eine Erweiterung der Kettenregel Die logarithmische Ableitung Die implizite Ableitung Die Umkehrregel Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung Übungsaufgaben Anwendungen der Differentialrechnung Eine andere Schreibweise für die Ableitung Maxima und Minima Einige Sonderfälle Kurvendiskussionen Differentielle Änderungen Das Newtonsche Verfahren zur numerischen Lösung algebraischer Gleichungen Übungsaufgaben Taylor-Reihen und Näherungsausdrücke Die Indexschreibweise für Ableitungen höherer Ordnung Taylor-Polynome Eine Anmerkung zu unendlichen Reihen Taylor-Reihen Umformungen von Taylor-Reihen Näherungsformeln für große x-werte Taylor-Enwicklungen um andere Punkte Übungsaufgaben Komplexe Zahlen Definitionen und Rechenregeln Die komplexe Zahlenebene Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten Die Exponentialdarstellung komplexer Zahlen Die allgemeine Exponentialdarstellung Hyperbelfunktionen Einige Anwendungen 169

4 INHALTSVERZEICHNIS Übungsaufgaben Matrizen Matrixschreibweise und -definition Rechenregeln für Matrizen Einige spezielle Matrizen Die inverse Matrix Übungsaufgaben Determinanten Die Determinante einer quadratischen Matrix Einige Eigenschaften von Determinanten Adjunkten- und inverse Matrizen Übungsaufgaben Vektoren in zwei- und dreidimensionalen Räumen Kartesische Koordinaten in drei Dimensionen Ortsvektoren Allgemeine Vektoren Einheitsvektoren Das Skalarprodukt Das Vektorprodukt Richtungskosinus und Richtungsverhältnisse Achsendrehungen Die Geradengleichung in Vektorschreibweise Die Ebenengleichung in Vektorschreibweise Ableitungen von Vektoren Vektoren in der Ebene Übungsaufgaben Lineare Gleichungssysteme Das Gaußsche Eliminationsverfahren für lineare Gleichungssysteme Die Berechnung der inversen Matrix mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren Kompatible und inkompatible Gleichungssysteme Homogene Gleichungssysteme Das Gauß-Seidelsche Iterationsverfahren Übungsaufgaben 266

5 4 INHALTSVERZEICHNIS 11 Eigenwerte und Eigenvektoren Die Eigenwerte einer Matrix Eigenvektoren Lineare Abhängigkeit Punkttransformationen Das Diagonalisierungsverfahren für Matrizen Potenzen von Matrizen Quadratische Formen Positiv definite Matrizen Anwendung: Ein schwingungsfähiges System Übungsaufgaben Stammfunktion und Flächeninhalt Die TJmkehroperation der Ableitung Eine Stammfunktionstafel Der vorzeichenbehaftete Flächeninhalt unter einer Kurve Übungsaufgaben Bestimmtes und unbestimmtes Integral Der vorzeichenbehaftete Flächeninhalt als Streifensumme Die Summenformel anhand eines Zahlenbeispiels Bestimmtes Integral und Flächeninhalt Das unbestimmte Integral Der allgemeine Integralbegriff Uneigentliche Integrale Integration komplexer Funktionen Die Integral-Flächen-Analogie Anwendungen der Integral-Flächen-Analogie Bestimmte Integrale mit variablen Grenzen Übungsaufgaben Anwendungen zur Integral-Summenformel Beispiele: Von der Summe zum Integral Der geometrische Flächeninhalt in Polarkoordinaten Numerische Abschätzungen von Integralen Schwerpunkt und Trägheitsmoment Übungsaufgaben 356

6 INHALTSVERZEICHNIS 5 15 Systematische Integrationsverfahren Das Substitutionsverfahren für das Integral / f(ax + b) dx Das Substitutionsverfahren für das Integral / f(ax 2 + b)x dx Das Substitutionsverfahren für das Integral J cos m ax sin n ax dx Variablensubstitutionen in bestimmten Integralen Andere Substitutionen Integration durch Partialbruchzerlegung Partielle Integration Partielle Integration bestimmter Integrale Übungsaufgaben Homogene lineare Differentialgleichungen Differentialgleichungen und ihre Lösungen Das Lösungsverfahren für lineare homogene Differentialgleichungen erster Ordnung Das Lösungsverfahren für lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung Komplexe Wurzeln der charakteristischen Gleichung Anfangsbedingungen für Differentialgleichungen zweiter Ordnung Übungsaufgaben Inhomogene lineare Differentialgleichungen Partikuläre Lösungen für einige Standard-Inhomogenitäten Sinusoidale Funktionen als Inhomogenität und komplexe Lösungen Partikuläre Lösungen in Sonderfällen Die allgemeine Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung mit variablen Koeffizienten Übungsaufgaben Sinusoidale Funktionen und der harmonische Oszillator Harmonische Schwingungen Phasenverschiebungen Physikalische Modellierung von Differentialgleichungen Der frei schwingende harmonische Oszillator Erzwungene Schwingungen und Einschwingvorgänge Resonanz 443

7 6 INHALTSVERZEICHNIS 18.7 Annähernd lineare Systeme Übungsaufgaben Stationäre erregte Schwingungen Komplexe Amplituden Rechenregeln für komplexe Amplituden Zeigerdiagramme Komplexe Amplituden und komplexe Widerstände Übertragungsfunktionen im Frequenzbereich Übungsaufgaben Graphische und numerische Verfahren Zur graphischen Veranschaulichung von Differentialgleichungen erster Ordnung Ein numerisches Lösungsverfahren Nichtlineare Gleichungen und Trennung der Variablen Differentiale und Differentialgleichungen erster Ordnung Variablentransformationen in Differentialgleichungen Übungsaufgaben Eine Einführung in die Theorie der Phasenebene Autonome Differentialgleichungen zweiter Ordnung Das Phasendiagramm für (x,x) Das x-x-phasendiagramm bei anderen linearen Gleichungen. Stabilitätsbetrachtungen Die Pendelgleichung Die allgemeine Phasenebene Näherungsweise Linearisierung Grenzzyklen Ein numerisches Verfahren für Differentialgleichungen x = P,y = Q Übungsaufgaben Die Laplace-Transformation Die Laplace-Transformation Die Laplace-Transformierten von t* 1,«^*, sin t und cos t Skalierungs- und Verschiebungssatz und die Faktoren t n und e kt Die Umkehrung der Laplace-Transformation Die Laplace-Transformierte einer Ableitung Anwendung auf Differentialgleichungen 534

8 INHALTSVERZEICHNIS Die Sprungfunktion und der Verzögerungssatz Übungsaufgaben Anwendungen der Laplace-Transformation Division durch s und Integration Die ^-Funktion Impedanzen im «-Bereich Die Übertragungsfunktion im s-bereich Der Faltungssatz Reaktion eines Systems auf impulsförmige und andere Einwirkungen Faltungsintegral und Gedächtnis Übungsaufgaben Fourier-Reihen Zur Überlagerung von Schwingungen Fourier-Reihen periodischer Funktionen Integration über periodische Funktionen Zum Berechnen von Fourier-Koefnzienten Einige Beispiele zu Fourier-Reihen Sinus- und Kosinusreihen Funktionen auf endlichen Intervallen. Sinus- und Kosinusreihen Das Spektrum einer periodischen Funktion Transformationen von Fourier-Reihen Übungsaufgaben Ableitungen von Funktionen zweier Variabler Funktionen von mehreren Variablen Graphische Darstellungen von Funktionen zweier Variabler Partielle Ableitungen Höhere Ableitungen Tangentialebene und Normalenvektor einer Fläche Maxima, Minima und andere stationäre Punkte Das Verfahren der kleinsten Quadrate Ableitungen von Parameterintegralen Übungsaufgaben Funktionen zweier Variabler Differentielle Änderungen Differentielle Änderungen und Fehlerfortpflanzung 629

9 8 INHALTSVERZEICHNIS 26.3 Richtungsableitungen Die implizite Ableitung Der Normalenvektor an eine Kurve Der Gradient in zwei Dimensionen Übungsaufgaben Kettenregeln, Maxima mit Nebenbedingungen Die Kettenregel bei einem Parameter Maxima und Minima mit Nebenbedingungen und das Lagrangesche Multiplikatorverfahren Krummlinige Koordinaten in zwei Dimensionen Orthogonale Koordinaten Die Kettenregel für zwei Parameter Zum Gebrauch von Differentialen Übungsaufgaben Funktionen beliebig vieler Variabler DifTerentielle Änderung und Fehlerfortpflanzung Die implizite Ableitung Kettenregeln Der Gradient in drei Dimensionen Der Normalenvektor auf einer Fläche Die Tangentialebenen-Gleichung Gradient und Richtungsableitung Stationäre Punkte Die Einhüllende einer Kurvenschar Übungsaufgaben Doppelintegrale Mehrfachintegrale mit konstanten Integrationsgrenzen Zum Auftreten von Mehrfachintegralen mit konstanten Grenzen Mehrfachintegrale über andere Gebiete Vertauschung der Integrationsreihenfolge bei anderen Gebieten Doppelintegrale Polarkoordinaten Separable Mehrfachintegrale Übungsaufgaben 732

10 INHALTSVERZEICHNIS 9 30 Kurvenintegrale Der Begriff des Kurvenintegrals Allgemeine Kurvenintegrale in zwei und drei Dimensionen Achsparallele Integrationswege Wegunabhängigkeit und vollständige Differentiale Integrale über geschlossene Wege Der Greensche Satz Kurvenintegrale und der Arbeitsbegriff Konservative Felder Das Potential eines konservativen Feldes Zur Eindeutigkeit von Potentialen Übungsaufgaben Differenzengleichungen Diskrete Variable Allgemeine Charakterisierung von Differenzengleichungen Differenzengleichungen erster Ordnung und das Netzverfahren Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten Die logistische Differenzengleichung Übungsaufgaben Anwendungsbeispiele für symbolische Computersprachen Anwendungsbeispiele für symbolische Computersprachen Anwendungsprojekte 795 A Einige Rechenregeln 817 B Trigonometrische Formeln 819 C Flächeninhalte und Volumina 822 D Ableitungstafel 823 E Integraltafel 824 F Laplace-Transformierte 825 G Lösungen 827 Sachverzeichnis 863