Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2

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1 Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2 Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium 8., verbesserte Auflage Mit zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik, 377 Abbildungen und 310 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen vieweg

2 VII Inhaltsverzeichnis I Lineare Algebra 1 1 Matrizen Ein einführendes Beispiel Definition einer Matrix Transponierte einer Matrix Spezielle quadratische Matrizen Diagonalmatrix Einheitsmatrix Dreiecksmatrix Symmetrische Matrix Schiefsymmetrische Matrix Gleichheit von Matrizen Rechenoperationen für Matrizen Addition und Subtraktion von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Multiplikation von Matrizen 14 2 Determinanten Ein einführendes Beispiel * Zweireihige Determinanten Definition einer zweireihigen Determinante Eigenschaften zweireihiger Determinanten Dreireihige Determinanten Definition einer dreireihigen Determinante Entwicklung einer dreireihigen Determinante nach Unterdeterminanten (Laplacescher Entwicklungssatz) Determinanten höherer Ordnung Definition einer «-reihigen Determinante Laplacescher Entwicklungssatz Rechenregeln für «-reihige Determinanten Regeln zur praktischen Berechnung einer «-reihigen Determinante Ergänzungen Reguläre Matrix Inverse Matrix Orthogonale Matrix Rang einer Matrix 59

3 VIII Inhaltsverzeichnis 4 Lineare Gleichungssysteme Allgemeine Vorbetrachtungen Gaußscher Algorithmus Lösungsverhalten eines linearen (w,«)-gleichungssystems Lösungsverhalten eines quadratischen linearen Gleichungssystems Inhomogenes lineares (n,«)-system Homogenes lineares («,«)-System Cramersche Regel Berechnung einer inversen Matrix nach dem Gaußschen Algorithmus (Gauß-Jordan-Verfahren) Lineare Unabhängigkeit von Vektoren Ein einführendes Beispiel Linear unabhängige bzw. abhängige Vektoren Kriterien für die lineare Unabhängigkeit von Vektoren Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes Komplexe Matrizen Ein einführendes Beispiel Definition einer komplexen Matrix Rechenoperationen und Rechenregeln für komplexe Matrizen Konjugiert komplexe Matrix, konjugiert transponierte Matrix Spezielle komplexe Matrizen Hermitesche Matrix Schiefhermitesche Matrix Unitäre Matrix Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix Ein einführendes Beispiel Eigenwerte und Eigenvektoren einer 2-reihigen Matrix Eigenwerte und Eigenvektoren einer n-reihigen Matrix Eigenwerte und Eigen Vektoren spezieller Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren einer Diagonal- bzw. Dreiecksmatrix Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix Eigenwerte und Eigenvektoren einer hermiteschen Matrix Ein Anwendungsbeispiel: Normalschwingungen gekoppelter mechanischer Systeme 140 Übungsaufgaben 142 Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt 6 155

4 Inhaltsverzeichnis IX II Fourier-Reihen Fourier-Reihe einer perodischen Funktion Einleitung Entwicklung einer periodischen Funktion in einer Fourier-Reihe Anwendungen Fourier-Zerlegung einer Schwingung (harmonische Analyse) Zusammenstellung wichtiger Fourier-Reihen Ein Anwendungsbeispiel: Fourier-Zerlegung einer Kippspannung 174 Übungsaufgaben 178 Zu Abschnitt Zu Abschnitt III Komplexe Zahlen und Funktionen Definition und Darstellung einer komplexen Zahl Definition einer komplexen Zahl Die Gaußsche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Darstellungsformen einer komplexen Zahl Algebraische oder kartesische Form Trigonometrische Form Exponentialform Zusammenstellung der verschiedenen Darstellungsformen Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen Umrechnung: Polarform -> Kartesische Form Umrechnung: Kartesische Form -> Polarform Komplexe Rechnung Die vier Grundrechenarten für komplexe Zahlen Vorbetrachtungen Addition und Subtraktion komplexer Zahlen Definition von Addition und Subtraktion Geometrische Deutung Multiplikation und Division komplexer Zahlen Definition von Multiplikation und Division Multiplikation und Division in trigonometrischer und exponentieller Darstellung Geometrische Deutung Grundgesetze für komplexe Zahlen (Zusammenfassung) 216

5 Inhaltsverzeichnis 2.2 Potenzieren Radizieren (Wurzelziehen) Natürlicher Logarithmus Anwendungen der komplexen Rechnung Symbolische Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm Darstellung einer Schwingung durch einen rotierenden komplexen Zeiger Ungestörte Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz Anwendungsbeispiele aus Mechanik und Elektrotechnik Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen Überlagerung gleichfrequenter Wechselspannungen Symbolische Berechnung eines Wechselstromkreises Das Ohmsche Gesetz der Wechselstromtechnik Widerstands- und Leitwertoperatoren Ein Anwendungsbeispiel: Der Wechselstromkreis in Reihenschaltung Ortskurven Ein einführendes Beispiel Ortskurven einer parameterabhängigen komplexen Größe (Zahl) Anwendungsbeispiele: Einfache Netzwerkfunktionen Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Induktivität (Widerstandsortskurve) Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Kapazität (Leitwertortskurve) Inversion einer Ortskurve Inversion einer komplexen Größe (Zahl) Inversionsregeln Ein Anwendungsbeispiel: Inversion einer Widerstandsortskurve Übungsaufgaben 262 Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt IV Differential- und Integralrechnung für Funktionen von mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung Definition einer Funktion von mehreren Variablen Darstellungsformen einer Funktion 272

6 Inhaltsverzeichnis XI Analytische Darstellung Darstellung durch eine Funktionstabelle (Funktionstafel) Graphische Darstellung Darstellung einer Funktion als Fläche im Raum Schnittkurvendiagramme Partielle Differentiation Partielle Ableitungen 1. Ordnung Paritelle Ableitungen höherer Ordnung Das totale oder vollständige Differential einer Funktion Geometrische Betrachtungen Definition des totalen oder vollständigen Differentials Differentiation nach einem Parameter (Kettenregel) Kettenregel für Funktionen mit einem Parameter Kettenregel für Funktionen mit zwei Parametern Anwendungen Implizite Differentiation Linearisierung einer Funktion Relative oder lokale Extremwerte Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Lineare Fehlerfortpflanzung Mehrfachintegrale Doppelintegrale Definition und geometrische Deutung eines Doppelintegrals Berechnung eines Doppelintegrals Doppelintegral in kartesischen Koordinaten Doppelintegral in Polarkoordinaten Anwendungen Flächeninhalt Schwerpunkt einer Fläche Flächenmomente (Flächenträgheitsmomente) Dreifachintegrale Definition eines Dreifachintegrals Berechnung eines Dreifachintegrals Dreifachintegral in kartesischen Koordinaten Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten Anwendungen Volumen und Masse eines Körpers Schwerpunkt eines Körpers Massenträgheitsmomente 411 Übungsaufgaben 418 Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt 3 426

7 XII Inhaltsverzeichnis V Gewöhnliche Differentialgleichungen Grundbegriffe Ein einführendes Beispiel Definition einer gewöhnlichen Differentialgleichung Lösungen einer Differentialgleichung Anfangs- und Randwertprobleme Differentialgleichungen 1. Ordnung Geometrische Betrachtungen Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen Integration einer Differentialgleichung durch Substitution Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung Definition einer linearen Differentialgleichung 1. Ordnung Integration der homogenen linearen Differentialgleichung Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung Variation der Konstanten Aufsuchen einer partikulären Lösung Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Anwendungsbeispiele Radioaktiver Zerfall Freier Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes Wechselstromkreis Lineare Diffentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Definition einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Allgemeine Eigenschaften der homogenen linearen Differentialgleichung Integration der homogenen linearen Differentialgleichung Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung Anwendungen in der Schwingungslehre Mechanische Schwingungen Allgemeine Schwingungsgleichung der Mechanik Freie ungedämpfte Schwingung Freie gedämpfte Schwingung Schwache Dämpfung (Schwingungsfall) Starke Dämpfung (aperiodische Schwingung, Kriechfall) Aperiodischer Grenzfall Zusammenfassung Erzwungene Schwingung Elektromagnetische Schwingungen Schwingungsgleichung eines elektromagnetischen Reihenschwingkreises Freie elektromagnetische Schwingung Erzwungene elektromagnetische Schwingung 536

8 Inhaltsverzeichnis XIII 5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Definition einer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Integration der homogenen linearen Differentialgleichung Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung Ein Eigenwertproblem: Bestimmung der Eulerschen Knicklast Numerische Integration einer Differentialgleichung Numerische Integration einer Differentialgleichung 1. Ordnung Streckenzugverfahren von Euler Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung Numerische Integration einer Differentialgleichung 2. Ordnung nach dem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung Systeme linearer Differentialgleichungen Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Ein einführendes Beispiel Grundbegriffe Integration des homogenen linearen Differentialgleichungssystems Integration des inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems Aufsuchen einer partikulären Lösung Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren Ein Anwendungsbeispiel: Kettenleiter Systeme linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 599 Übungsaufgaben 606 Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt VI Laplace-Transformation Grundbegriffe Ein einführendes Beispiel Definition der Laplace-Transformierten einer Funktion Inverse Laplace-Transformation 634

9 XIV Inhaltsverzeichnis 2 Allgemeine Eigenschaften der Laplace-Transformation Linearität (Satz über Linearkombinationen) Ähnlichkeitssatz Verschiebungssätze Erster Verschiebungssatz Zweiter Verschiebungssatz Dämpfungssatz Ableitungssätze Ableitungssatz für die Originalfunktion Ableitungssatz für die Bildfunktion Integralsätze Integralsatz für die Originalfunktion Integralsatz für die Bildfunktion Faltungssatz Grenzwertsätze Laplace-Transformierte einer periodischen Funktion Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich Allgemeine Hinweise zur Rücktransformation Tabelle spezieller Laplace-Transformationen Anwendungen der Laplace-Transformation Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Allgemeines Lösungsverfahren mit Hilfe der Laplace- Transformation Integration einer linearen Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Integration einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Einfache Beispiele aus Physik und Technik Entladung eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand Zeitverhalten eines PTVRegelkreisgliedes Harmonische Schwingung einer Blattfeder in einem beschleunigten System Elektromagnetischer Reihenschwingkreis 680 Übungsaufgaben 683 Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt 5 690

10 Inhaltsverzeichnis XV Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben 694 I Lineare Algebra 694 Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt II Fourier-Reihen 714 Abschnitt Abschnitt III Komplexe Zahlen und Funktionen 717 Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt IV Differential- und Integralrechnung für Funktionen von mehreren Variablen 727 Abschnitt Abschnitt Abschnitt V Gewöhnliche Differentialgleichungen 744 Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt 7.. / 766 VI Laplace-Transformation 773 Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Literaturhinweise 791 Sachwortverzeichnis 792