Rechenmethoden der Physik

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1 May-Britt Kallenrode Rechenmethoden der Physik Mathematischer Begleiter zur Experimentalphysik Mit47Abbildungen, 297AufgabenundLösungen 13

2 Professor Dr. May-Britt Kallenrode Universität Osnabrück Fachbereich Physik Barbarastrasse Osnabrück, Deutschland mkallenr@uni-osnabrueck.de ISBN Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek: Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ein Unternehmen der BertelsmannSpringer Science+Business Media GmbH Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: Druckfertige Vorlage vom Autor erstellt unter Verwendung eines Springer L A TEX2e Makropakets Einbandgestaltung: design & production GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier SPIN: /3141 ba

3 Inhaltsverzeichnis Teil I Erste Schritte Rechnen in der Mechanik 1 Rechnen mit Vektoren Grundlagen Orts- und Verschiebungsvektor Koordinatensysteme Kartesische Koordinaten Polarkoordinaten Winkel in Grad- und Bogenmaß Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Vektoralgebra in kartesische Koordinaten Gleiche, inverse und parallele Vektoren Vektoraddition und -subtraktion Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Skalarprodukt Komponentenweise Darstellung Rechenregeln und Anwendungen Kreuzprodukt Grundlagen Rechenregeln Komponentenweise Darstellung Spatprodukt Mehrfachprodukte Aufgaben Differentiation Funktionen Eigenschaften von Funktionen Wichtige Funktionen Differentialrechnung Grundbegriffe Differentialquotient Wichtige Ableitungen... 37

4 X Inhaltsverzeichnis Ableitung einer in Parameterform dargestellten Funktion Funktionen von Vektoren Differentiation von Vektoren Partielle Ableitung Funktion zweier Variablen Partielle Ableitung Koordinatensysteme: Transformation der Basisvektoren Potenzreihenentwicklung Folgen und Reihen Taylor-Entwicklung MacLaurin sche Reihe Aufgaben Integration Grundlagen Bestimmtes und unbestimmtes Integral Wichtige Integrale Grundregeln des Integrierens Faktorregel Summenregel Substitutionsmethode Partielle Integration (Produktintegration) Rotationskörper Fläche zwischen zwei Kurven Mehrfachintegrale Doppelintegrale Dreifachintegrale Integration einer vektorwertigen Funktion (Riemann-Integral) 75 Aufgaben Komplexe Zahlen Definition und Darstellung Elementare Rechenvorschriften Addition und Subtraktion Multiplikation zweier komplexer Zahlen Konjugiert komplexe Zahl Division zweier komplexer Zahlen Euler sche Formel Potenzieren und komplexe Wurzel Aufgaben... 88

5 Inhaltsverzeichnis XI 5 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Was ist eine Differentialgleichung (DGL)? Lösung durch Raten Gewöhnliche lineare DGL erster Ordnung Homogene lineare DGL erster Ordnung Separation der Variablen Anfangs- oder Randbedingungen Zusammenfassung: Trennung der Variablen Homogene lineare DGL erster Ordnung mit konstantem Summanden Inhomogene lineare DGL erster Ordnung Variation der Konstanten Aufsuchen einer partikulären Lösung Aufgaben Differentialgleichungen zweiter Ordnung Grundlagen Homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung Exponentialansatz Linearer harmonischer Oszillator Gedämpfte Schwingung Zusammenfassung: Homogene DGL 2. Ordnung Inhomogene DGL: Erzwungene Schwingung Zusammenfassung: Inhomogene DGL Aufgaben Numerische Lösung von Differentialgleichungen Die Idee Differentialgleichung erster Ordnung Differentialgleichung zweiter Ordnung Euler-Verfahren Leapfrog-Verfahren (Halbschritt-Verfahren) Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung Aufgaben Matrizen Grundbegriffe Transponierte einer Matrix Quadratische Matrizen Rechenoperationen und -regeln Determinanten Unterdeterminanten Rechenregeln Reguläre und orthogonale Matrizen Komplexe Matrizen

6 XII Inhaltsverzeichnis 8.6 Eigenwerte und Eigenvektoren Diagonalform Drehungen Drehmatrix Transformation von Vektoren und Matrizen Trägheitstensor Aufgaben Teil II Von Feldern und Wellen Rechnen in der Elektrodynamik 9 Delta-Funktion Eindimensionale Delta-Funktion Annäherungen Eigenschaften der Delta-Funktion Delta-Funktion in drei Dimension Aufgaben Differentiation von Feldern: Gradient, Divergenz und Rotation Skalar- und Vektorfelder Spezielle Felder Darstellung von Vektorfeldern in krummlinigen Koordinaten Gradient Definition und Eigenschaften Spezielle Felder Totales Differential Gradient in krummlinigen Koordinaten Rechenregeln Richtungsableitung Divergenz Anschauung Definition und Eigenschaften Spezielle Felder Rechenregeln Krummlinige Koordinaten Laplace-Operator Krummlinige Koordinaten Rotation Definition und Eigenschaften Spezielle Felder Krummlinige Koordinaten Rechenregeln

7 Inhaltsverzeichnis XIII 10.6 Der Nabla-Operator zusammengefaßt Aufgaben Integration von Feldern: Kurven- und Flächenintegrale Kurven und Flächen Darstellung ebener und räumlicher Kurven Flächen im Raum Flächen vom Typ z = f(x, y) Kurvenintegrale Eigenschaften Konservative Felder Oberflächenintegrale Gauß scher Integralsatz Divergenz als Quellstärke des Feldes Gauß scher Integralsatz Stokes scher Integralsatz Rotation als Wirbelstärke Stokes scher Integralsatz Aufgaben Partielle Differentialgleichungen Partielle DGLs in der Physik Die Poisson-Gleichung Weitere partielle DGLs Poisson-Gleichung Punktladung Allgemeine Ladungsdichteverteilung Randbedingungen Multipolentwicklung Poisson-Gleichung in der Magnetostatik Diffusionsgleichung Random Walk und mittleres Abstandsquadrat anschaulich Eindimensionale Diffusionsgleichung Lösung der Diffusionsgleichung für eine δ-injektion Allgemeine Lösung Wellengleichung Herleitung der Wellengleichung Eindimensionale Wellen Harmonische Wellen Stehende Wellen Separationsansatz Zweidimensionale ebene Wellen Dreidimensionale ebene Wellen Aufgaben

8 XIV Inhaltsverzeichnis Teil III Ein entschiedenes Jein Wahrscheinlichkeiten und Fehler 13 Wahrscheinlichkeit, Entropie und Maxwell-Verteilung Kombinatorik Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit Bayes sche Formel Wahrscheinlichkeitsverteilungen Grundbegriffe Kenngrößen einer Verteilung Binominalverteilung Poisson-Verteilung Gauß sche Normalverteilung Entropie und Maxwell Boltzmann-Verteilung Information und Entropie Maximale Unbestimmtheit Boltzmann-Verteilung Aufgaben Messung und Meßfehler Charakterisierung von Meßdaten Verteilung von Meßwerten, Mittelwert und Varianz (Normalverteilte) Meßwerte Zählen und Poisson-Verteilung Mittelwert und Standardabweichung aus den Meßwerten Vertrauensbereich für den Mittelwert Fehlerfortpflanzung Summen oder Differenzen Multiplikation mit einer Konstanten Multiplikation oder Division Potenzgesetz Ausgleichsrechnung Lineare Regression Lineare Regression unter Berücksichtigung der Meßfehler Rang-Korrelation Aufgaben

9 Inhaltsverzeichnis XV Lösungen Literaturverzeichnis Sachverzeichnis

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