Inhaltsverzeichnis. I Vektoranalysis g

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1 I Vektoranalysis g 1 Vektorfunktionen und Raumkurven JJ 1.1 Vektorfunktionen n 1.2 Ableitung einer Vektorfunktion Bogenlänge und Tangenteneinheitsvektor Hauptnormale und Krümmung Binormale und Torsion Die Formeln von Serret-Frenet 24 2 Partielle Ableitungen, partielle Differentialgleichungen Gebiete, Bereiche Funktionen mehrerer Variabler Partielle Differentialgleichungen 40 3 Skalar- und Vektorfelder Definitionen Der Gradient eines Skalarfeldes Divergenz eines Vektorfeldes Rotation eines Vektorfeldes Der Laplace-Operator 64 4 Kurvenintegrale, Potentiale 5g 4.1 Kurvenintegrale Konservatives Vektorfeld, Skalares Potential Vektorpotential 85 5 Flächen und Gebiete im Raum Darstellung von Flächen Tangentialebene, Flächennormale Bogenelement g6 5.4 Flächenelement Flächen in kartesischen Koordinaten Besonderheiten Krummlinig orthogonale Koordinaten Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Toruskoordinaten Parabolische Zylinderkoordinaten Elliptische Zylinderkoordinaten Darstellung von Vektoren in krummlinig orthogonalen Koordinaten 108 Bibliografische Informationen digitalisiert durch

2 5.9 Linien- und Volumenelement Grad, div, rot und A in krummlinig orthogonalen Koordinaten Gradient Divergenz Rotation Laplace-Operator A 120 Bereichs- und Oberflächenintegrale Definition von Bereichsintegralen Berechnung von Bereichsintegralen durch Doppelintegrale Normalbereiche als Integrationsbereiche Änderung der Variablen, Substitution Oberflächenintegrale 135 Volumenintegrale Definition von Dreifachintegralen Berechnung von Dreifachintegralen Änderung der Variablen, Substitution Anwendungen dreifacher Integrale Masse eines Körpers Schwerpunkt eines Körpers Trägheitsmomente eines Körpers 153 Integralsätze Der Gaußsche Satz (Divergenz-Theorem) Anwendungen des Gaußschen Satzes Gaußscher Satz für Skalarfelder Die Greenschen Formeln Koordinatenunabhängige Definition der Divergenz Der Satz von Green in der Ebene Der Satz von Stokes 169 II Komplexe Analysis Funktionen einer komplexen Variablen Differentiation Integration Folgerungen aus den Integralsätzen Reihenentwicklungen Konforme Abbildungen Definition und Beispiele Die Riemannsche Zahlenkugel» Lineare Transformationen Gebrochen lineare Transformationen, Inversion

3 6.5 Die Joukowski-Funktion Die Schwarz-Christoffel-Transformation 261 III Integraltransformationen Parameterintegrale Einführung Stetigkeit eines Parameterintegrals Differentiation eines Parameterintegrals Integration von Parameterintegralen Anwendungen Bessel-Funktionen Gaußsche Glockenkurve (Fehlerintegral.Normalverteilung) Ein Integral von Laplace Die Fresnelschen Integrale Die Gammafunktion Definition Eigenschaften Die Betafunktion Definition Eigenschaften Zusammenhang zwischen Gamma- und Betafunktion Anwendungen Sprungfunktion und Stoßfunktion Die Sprungfunktion Die Stoßfunktion Fouriertransformation Komplexe Form der Fourierreihen Das Fourierintegral Die Fouriertransformation Laplace-Transformation Definition Die Inverse Eigenschaften der Laplace-Transformation Existenz Eindeutigkeit Transformationsregeln Transformation der elementaren Funktionen Differentiationssatz für die Originalfunktion Integrationssatz für die Originalfunktion Transformation der Delta-Funktion Sätze über die Laplace-Transformierte Zweiter Verschiebungssatz Grenzwertsätze Differentiationssatz für die Bildfunktion Integrationssatz für die Bildfunktion 340

4 3.5 Die inverse Laplace-Transformation RCL-Netzwerke Funktionen von s mit einfachen Polen Funktionen von s mit Polen höherer Ordnung Der Faltungssatz Laplace-Transformierte einer periodischen Funktion Anwendungen Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung Integro-Differentialgleichungen Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung Systeme linearer Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen 365 Differenzengleichungen Definition Lösungsmöglichkeiten Homogene Differenzengleichungen Inhomogene Differenzengleichungen Anwendungsbeispiele 377 Z-Transformation Definition Die Inverse der Z-Transformation Rechenregeln Translation Dämpfungssatz Differenzensatz Summationssatz Differentiation der Bildfunktion Faltungssatz Grenzwertsätze Divisionssatz (Integrationssatz für die Bildfunktion) Konstruktion von Z-Transformierten mit Hilfe der Rechenregeln Anwendungen der Z-Transformation Lineare Differenzengleichung erster Ordnung Lineare Differenzengleichung zweiter Ordnung Randwertprobleme Systeme von Differenzengleichungen 408 IV Anhang Tabellen für die Laplace- und Z-Transformation Sätze für die Laplace-Transformation Korrespondenzen der Laplace- Transformation Elementare Bildfunktionen und ihre Originalfunktionen Einzelimpulse und periodische Zeitfunktionen Rechenregeln zur Z-Transformation Tabelle von Z-Transformierten ;.. 418

5 2 Lösungen der Aufgaben Teil I: Vektoranalysis Vektorfunktionen und Raumkurven Partielle Ableitungen, partielle Differentialgleichungen Skalar- und Vektorfelder Kurvenintegrale, Potentiale Flächen und Gebiete im Raum Bereichs- und Oberflächenintegrale Volumenintegrale Integralsätze Teil II: Komplexe Analysis Funktionen einer komplexen Variablen Differentiation Integration Folgerungen aus den Integralsätzen Reihenentwicklungen Konforme Abbildungen Teil III: Integraltransformationen Parameterintegrale Fouriertransformation Laplace-Transformation Differenzengleichungen Z-Transformation Literatur 505 Sachwortverzeichnis 509