Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 11

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1 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik Elektrotechnik Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 11 Hausaufgaben Aufgabe 11.1 Berechnen Sie jeweils die Jacobi-Matrix folgender Vektorfelder: a f : R R 3, fx 1, x = x 4 1, sinx 1 + x 3, x ln1 + x 4 1 T b f : R R 5, fx = 1,, 3 arctan x, 4x, 5 cos x T c f : R R, fx 1, x = x 1 + x 1 x, e x 1x T d f : R 3 R, fx 1, x, x 3 = x 1 + x + 3x 3, x 1x x 3 T Lösung zu Aufgabe 11.1 a Es gilt: b Es gilt: c Es gilt: d Es gilt: 4x 3 1 J f x 1, x = x 1 cosx 1 + x 3 3x cosx 1 + x 3 ln1 + x 4 1 J f x 1, x = 4x 3 1 x 1+x 4 1 J f x = 1 1+x 8x 5 sin x 1 + x x 1 x e x 1x x 1 x e x 1x 1 3 J f x 1, x, x 3 = x 1 x x 3 x 1x x 3 x 1x x 3 1

2 Aufgabe 11. Seien f : R R 4 bzw. g : R 4 R 3 gegeben durch x 1 x x fx 1, x = arctanx 1 x sin x 3 bzw. gx 1, x, x 3, x 4 = 5 cos x 4. ln1 + x x 1 + x 1 a Berechnen Sie die Jacobi-Matrizen von f und g jeweils an der Stelle, T bzw.,,, T. b Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix des Vektorfeldes F = g f an der Stelle, T. Lösung zu Aufgabe 11. a Wir berechnen zunächst allgemein die beiden Jacobi-Matrizen: x x 1 x J f x 1, x = 6x sinx 3 cosx 3 x x 1 1+x 1 J g x 1, x, x 3, x 4 = x 1+x 1 x 5 sin x 4 x 1 1+x 1 +x x 1+x 1 +x Damit folgt: J f, =, J g,,, = b Mit der Kettenregel folgt: J F, = J g f, J f,, also J F, = J g,,, J f, = Aufgabe 11.3 Die Abbildung Φ : R 3 R 3, definiert durch x 1 r cos φ x = Φr, φ, z = r sin φ, x 3 z

3 transformiert Zylinderkoordinaten in kartesische Koordinaten. Zeigen Sie mit Hilfe der Kettenregel, dass für den Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten gilt: = 1 r r + 1 r r r φ + z Lösung zu Aufgabe 11.3 vgl. Mitschrift aus der Zentralübung Aufgabe 11.4 Sei f : R R gegeben durch fx, y = e x+y + sinxy. Bestimmen Sie das Taylor-Polynom vom Grad 3 zur Funktion f im Entwicklungspunkt, T. Lösung zu Aufgabe 11.4 vgl. Mitschrift aus der Zentralübung Aufgabe 11.5 Gegeben seien die folgenden Vektorfelder: x 1 x i u x = x 1 x 3 x 1 x + ii v x = x 3 iii w x1 x = x1 x a Skizzieren Sie die Vektorfelder u, v und w. b Berechnen Sie die Rotation der Vektorfelder u und v und interpretieren Sie Ihr Ergebnis anhand der Skizze. c Berechnen Sie die Divergenz des Vektorfeldes w und interpretieren Sie Ihr Ergebnis anhand der Skizze. Lösung zu Aufgabe 11.5 a Wir skizzieren jeweils nur eine zweidimensionale Projektion. Für das Vektorfeld u ist die x 3 -Koordinate immer, die Vektoren verlaufen also stets parallel zur x 1 -x -Ebene. Wir skizzieren eine solche Ebene: 3

4 Für das Vektorfeld v gilt das natürlich ebenso, auch hier skizzieren wir nur eine zur x 1 -x -Ebene parallele Ebene: Das Feld w schließlich ist ein R -Vektorfeld:

5 b Es gilt: rot u = rot v = 1 Die Rotation ist anschaulich gesagt ein Maß für die lokale Wirbeldichte. Wir stellen uns dazu das Vektorfeld als Strömung Luft oder Wasser vor, der Vektor an jedem Punkt gibt dann an, in welche Richtung ein Teilchen in diesem Punkt davongetragen wird. Bewegt sich nun so ein Teilchen in der Strömung, so erfährt es von den benachbarten Stromlinien auch einen Impuls dieser kann das Teilchen in Drehung versetzen. Die Richtung und Stärke dieses Wirbels misst die Rotation des Vektorfelds. Im Feld u liegt die Drehachse also parallel zur x 3 -Achse, was anschaulich klar ist, da die Strömung ja in der x 1 -x -Ebene verläuft bzw. parallel dazu. Die Strömung dreht sich dabei in konzentrischen Kreisen um den Nullpunkt und wird umso schneller, je weiter außen der Kreis verläuft. Bewegt man sich also auf einem solchen Kreis um, so ist innenliegende Strömung langsamer, die außenliegende schneller. Von einem mitbewegten Teilchen aus betrachtet z. B. wenn man sich in einem Boot entlang einer Strömungslinie treiben ließe sieht es also so aus, als ob die innenliegenden Wasserteilchen rückwärts laufen würden man bewegt sich ja schneller als diese, während die außenliegenden Teilchen schneller und in die eigene Bewegungsrichtung bewegt werden. Das führt zu einer Drehung um die eigene x 3 -Achse. In v hat man das Phänomen noch etwas besser isoliert: Wir stellen uns wieder vor, wir würden uns entlang einer Strömungslinie bewegen. Die Linie über uns in x -Richtung bewegt sich dann schneller, die unter uns langsamer. Von uns aus gesehen sieht es also aus, als ob Teilchen auf der höheren Strömungslinie sich nach vorne in unsere Richtung bewegten, Teilchen auf der unterhalb liegenden Linie aber rückwärts. Wir erfahren daher wieder einen Drehimpuls und werden um die eigene x 3 -Achse in Drehung versetzt. c Es gilt div w = + 1 = 3. Wir stellen uns das Feld wieder als Strömung in der Ebene vor und setzen uns in Gedanken auf einen kleine Fläche in der Ebene, z. B. ein kleines Quadrat in der rechten, oberen Hälfte. Wir beobachten dort Pfeile, die in dieses Quadrat hineinlaufen und solche, die hinauszeigen. Die Länge der Pfeile gibt die Stärke der Strömung an, also die Menge an Wasser, die pro Sekunde in unser Quadrat hinein- bzw. aus ihm hinausfließt. Offenbar sind die Pfeile, die hinausfließen, etwas länger als die dort endenden sie setzen ja weiter rechts oben an, haben also größere x 1 und x -Werte der Abfluss aus unserem Quadrat ist also stärker als der Zufluss. Die Divergenz des Feldes ist ein Maß für die Quelldichte, also für die Stärke des notwendigen Zuflusses bei negativem Vorzeichen des Abflusses in jedem Punkt des Feldes sie misst ja die Änderung des Flusses in Flussrichtung für jede Koordinatenrichtung. Bei positiver Divergenz müsste es bei einer 5

6 realen Wasserströmung in unserem Quadrat also eine Quelle geben, durch die zusätzlich Wasser hineinfließt. Bei negativer Divergenz würde umgekehrt Wasser abfließen, man spricht von einer Senke. Da in w die Pfeile nach außen hin immer länger werden, die Änderungsrate aber konstant ist, erhalten wir eine konstante, positive Divergenz. Ein Feld mit Divergenz heißt übrigens konservatives Feld, weil die Wassermenge im Feld immer konstant bleibt das Feld stellt also ein in sich abgeschlossenes System dar. Aufgabe 11.6 Sei f : R 3 R ein zweimal stetig differenzierbares Skalarfeld. Zeigen Sie, dass für alle x R 3 gilt: rot fx = Lösung zu Aufgabe 11.6 Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f : R 3 R gilt: Nach Definition der Rotation folgt weiter 1 fx fx = fx. 3 fx 3 fx 3 fx rot fx = 3 1 fx 1 3 fx =, 1 fx 1 fx da wegen f C die zweiten partiellen Ableitungen vertauschbar sind, d. h. 3 fx = 3 fx 3 1 fx = 1 3 fx 1 fx = 1 fx Aufgabe 11.7 Sei f : R R definiert durch fx 1, x = e x + x sin x 1. a Zeigen Sie: Es gibt eine differenzierbare Funktion g : R R mit fx, gx = für alle x R. b Berechnen Sie die Werte von g π und g π. Lösung zu Aufgabe 11.7 vgl. Mitschrift aus der Zentralübung und Teil 1 der Zentralübung 6

7 Aufgaben für die Tutorübung Aufgabe 11.8 Seien f : R 3 R bzw. g : R R 3 definiert durch fx 1, x, x 3 = x1 + x x + x 3 bzw. gx 1, x = a Berechnen Sie die Jacobi-Matrizen von f und g. x 1 x x 1 + x. sinx 1 + x b Bestimmen Sie mit Hilfe der Kettenregel die Jacobi-Matrizen von F := f g sowie von G := g f. c Bestimmen Sie zur Kontrolle die Jacobi-Matrizen von F und G direkt. Lösung zu Aufgabe 11.8 a Es gilt: J f x 1, x, x 3 = und J g x 1, x = x x cosx 1 + x cosx 1 + x b Mit der Kettenregel ergibt sich für die Abbildung F : R R : J F x 1, x = J f gx 1, x J g x 1, x = x = 1 + x cosx 1 + x 1 + cosx 1 + x x x cosx 1 + x cosx 1 + x Für die Abbildung G : R 3 R 3 gilt entsprechend: J G x 1, x, x 3 = J g fx 1, x, x 3 J f x 1, x, x 3 x + x 3 x 1 + x = 1 1 cosx 1 + x + x 3 cosx 1 + x + x 3 = x + x 3 x 1 + x + x 3 x 1 + x 1 1 cosx 1 + x + x 3 cosx 1 + x + x 3 cosx 1 + x + x 3 7

8 c Wir schreiben zunächst die Abbildungsvorschriften für F und G explizit auf: F : R R x, x 1, x 1 x + x 1 + x x 1 + x + sinx 1 + x x 1 x + x 1 x 3 + x G : R 3 R 3 + x x 3, x 1, x, x 3 x 1 + x + x 3 sinx 1 + x + x 3 Damit ergibt sich für die Jacobi-Matrizen: x J F x 1, x = + 1 x cosx 1 + x 1 + cosx 1 + x J G x 1, x, x 3 = x + x 3 x 1 + x + x 3 x 1 + x 1 1 cosx 1 + x + x 3 cosx 1 + x + x 3 cosx 1 + x + x 3 Aufgabe 11.9 Berechnen Sie f sowie Divergenz und soweit möglich Rotation der folgenden Vektorfelder. a f : R R, fx 1, x = x 1 x, x 1 + x T b f : R 3 R 3, fx 1, x, x 3 = x 1 + x x 3 3, x 1 cosx, x sinx 1 T Lösung zu Aufgabe 11.9 a Es gilt: x1 f 1 x 1, x = x x f 1 x 1, x = x 1 x x1,x f 1 x 1, x = x x1,x 1 f 1 x 1, x = x,x f 1 x 1, x = x 1 x1 f x 1, x = 1 x f x 1, x = 1 x1,x f x 1, x = x1,x 1 f x 1, x = x,x f x 1, x = Damit ergibt sich f 1 x 1, x = x1,x 1 f 1 x 1, x + x,x f 1 x 1, x = x 1, f x 1, x = x1,x 1 f x 1, x + x,x f x 1, x = und div fx 1, x = x + 1. Die Rotation ist nur für Vektorfelder R 3 R 3 definiert, existiert also hier genau genommen nicht. Bei Vektorfeldern im R behilft man sich aber gerne mit dem Trick, das Vektorfeld in den R 3 einzubetten, indem man als dritte Koordinate hinzufügt. Wir betrachten also für die Rotation statt f die Abbildung fx 1, x, x 3 := x 1 x, x 1 + x, T. Damit ergibt sich für die Rotation rot fx 1, x, x 3 = 1 x 1 x. 8

9 b Wir berechnen zunächst die Jacobi-Matrix: Daraus ergibt sich Weiter gilt also folgt 1 x x 3 3 3x x 3 J f x 1, x, x 3 = cosx x 1 x sinx x 1 x cosx 1 sinx 1 div f = 1 x 1 x sinx + sinx 1 rot f = 3x x 3 x 1 x cosx 1 cosx x x 3 3 x1,x 1 f 1 x 1, x, x 3 = x,x f 1 x 1, x, x 3 = x 3 3 x3,x 3 f 1 x 1, x, x 3 = 6x x 3 x1,x 1 f x 1, x, x 3 = x,x f x 1, x, x 3 = x 1 sinx 4x 1 x cosx x3,x 3 f x 1, x, x 3 = x1,x 1 f 3 x 1, x, x 3 = x cosx 1 4x 1x sinx 1 x,x f 3 x 1, x, x 3 = x3,x 3 f 3 x 1, x, x 3 = f 1 x 1, x, x 3 = + x x x 3, f x 1, x, x 3 = x 1 sinx 4x 1 x cosx +, f 3 x 1, x, x 3 = x cosx 1 4x 1x sinx Aufgabe 11.1 Die Funktion f : R 3 R hat in kartesischen Koordinaten die Darstellung fx 1, x, x 3 = x 1 + x x 3 + sinx 1 x. Berechnen Sie f in kartesischen sowie in Zylinderkoordinaten. Siehe Aufgabe 11.3 für die Transformation auf Zylinderkoordinaten. Lösung zu Aufgabe 11.1 Den Gradienten in kartesischen Koordinaten können wir direkt ausrechnen. Es gilt x1 fx 1, x, x 3 = x 1 x 3 + x cosx 1 x x fx 1, x, x 3 = x x 3 + x 1 cosx 1 x x3 fx 1, x, x 3 = x 1 + x, 9

10 also ist x 1 x 3 + x cosx 1 x fx 1, x, x 3 = x x 3 + x 1 cosx 1 x. x 1 + x, Für die Ableitung in Zylinderkoordinaten benötigen wir die Transformation Φ : R 3 R 3, x 1, x, x 3 = Φr, φ, z = r cos φ, r sin φ, z T, die Zylinderkoordinaten auf kartesische Koordinaten transformiert. In Zylinderkoordinaten lässt sich f also darstellen als für die Ableitung gilt dann fr, φ, z = f Φ r, φ, z, J fr, φ, z = J f Φr, φ, z J Φ r, φ, z. Mit cos φ r sin φ J Φ r, φ, z = sin φ r cos φ 1 ergibt sich daher T zr cos φ + r sin φ cosr T sin φ cos φ cos φ r sin φ fr, φ, z = zr sin φ + r cos φ cosr sin φ cos φ sin φ r cos φ r cos φ + r sin φ 1 zr cos φ + r sin φ cos φ cosr sin φ cos φ + zr sin φ + r cos φ sin φ cosr sin φ cos φ = zr sin φ cos φ r sin φ cosr sin φ cos φ + zr sin φ cos φ + r cos φ cosr sin φ cos φ r T zr + r sin φ cos φ cosr sin φ cos φ = zr + r cosr sin φ cos φcos φ sin φ r. T 1