1. Integrieren Sie die Funktion f(x, y, z) := xyz über die Kugel mit Zentrum im Ursprung und Radius 1. (2 Punkte) Hinweis: Verwenden Sie Symmetrien.

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1 1. Integrieren Sie die Funktion f(x, y, z) : xyz über die Kugel mit Zentrum im Ursprung und Radius 1. (2 Punkte) inweis: Verwenden Sie Symmetrien. Lösung: Betrachte den Diffeomorphismus j : B 1 () B 1 (), p p. Dann gilt nach der Transformationsformel für Integrale f(x, y, z)dv (f j)(x, y, z) det( E 3 ) dv B 1 () B 1 () f(x, y, z)dv. B 1 () Daraus folgt, dass das gesuchte Integral den Wert null annimmt. Die Funktion f ist ungerade in x und der Integrationsbereich symmetrisch zur yz Ebene. Daraus folgt, dass das Integral verschwindet. Das Argument funktioniert gleichermassen, wenn man x, y und z permutiert. Direkte Rechnung in Kugelkoordinaten B 1 () fdv 1 1 r 5 sin 3 ϑ cos ϕ sin ϕ cos ϑdϕdϑdr Direkte Rechnung in kartesischen Koordinaten B 1 () fdv r 5 sin 3 ϑ cos ϑ cos ϕ sin ϕdϕ dϑdr }{{} 1 1 z z z z 2 yz 1 z 2 y 2 xyzdxdydz 1 z 2 y 2 1 z 2 y 2 xdx dydz 1 z 2 y }{{ 2 } Bitte wenden!

2 2. Zeichnen Sie den Graph der auf dem Intervall [, 2] definierten Funktion { x, x g(x) : 2 x, < x 2 und entwickeln Sie diese in eine Fourierreihe. (5 Punkte) Lösung: Abbildung 1: Graph der Fortsetzung der Funktion g auf ganz R. (Zeichnung richtig: 1 Punkt) Die 2-periodische Fortsetzung der Funktion g ist offensichtlich gerade. Damit verschwinden alle Sinusterme (1 Punkt). Für die Koeffizienten der Cosinusterme unterscheiden wir die Fälle k und k : a a k 1 1 g(t)dt 2 g(t) cos(kt)dt t cos(kt)dt cos(kt)dt 1 }{{} 1 [ ] 2 t sin(kt) 1 sin(kt) dt 1 [ t sin(kt) k k k 1 [ ] cos(kt) 1 [ ] 2 cos(kt) k 2 k 2 2 ( ) { ( 1) k 1 4, falls k ungerade k 2 k 2, falls k gerade Die korrekte Berechnung der Koeffizienten gibt 2 Punkte. F(g(x)) 2 4 k1 1 Punkt für das Aufschreiben der Fourierreihe. t cos(kt)dt ] 2 cos((2k 1)x) (2k 1) sin(kt) dt k Siehe nächstes Blatt!

3 3. Bestimmen Sie den Fluss des Vektorfeldes x + ln(1 + z) G(x, y, z) : 2y + x 2 z 2 y 2 durch die Fläche K : {(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 1 und z } (Sie können die Fläche selber orientieren). (5 Punkte) inweis: Bestimmen Sie zunächst den Fluss durch : {(x, y, z) x 2 + y 2 1 und z } und verwenden Sie anschliessend den Satz von Gauss. Es gilt: sin 2 α 1 (1 cos(2α)). 2 Lösung: Betrachte die albkugel B : { (x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 1 und z } und beachte, dass B K. Nach dem Satz von Gauss gilt demnach (ν bezeichnet die äussere Einheitsnormale von B) div GdV G, ν ds B K G, ν ds + G, ν ds. K (1 Punkt für das korrekte Formulieren des Satzes von Gauss) Wegen div G(x, y, z) , ist div GdV 3 vol(b) 2. B (1 Punkt für das korrekte Berechnen der Divergenz & des Integrals) Weiter ist x + ln(1 + z) G, ν ds 2y + x 2 z 2, ds y 2 1 y 2 ds 1 r 3 sin 2 ϕdrdϕ 1 (1 cos(2ϕ)) dϕ dϕ 4. Bitte wenden!

4 (2 Punkte für das korrekte Berechnen des Flusses) Damit ist der Fluss von G durch K gegeben durch Die andere Orientierung spendiert ein Vorzeichen. (1 Punkt für die korrekte 4 4 Schlussfolgerung) Siehe nächstes Blatt!

5 4. Es sei Γ die Schnittellipse des Zylinders {(x, y, z) x 2 + y 2 1} mit der Ebene {(x, y, z) z 2y}. a) Bestimmen Sie eine Funktion g(x, y, z) so, dass die Arbeit des Vektorfeldes g(x, y, z) F (x, y, z) : sin(x 2 )xze xyz sin(x 2 )xye xyz längs des einmal durchlaufenen Wegs Γ gleich ist. (2 Punkte) b) Berechnen Sie die Arbeit des einmal durchlaufenen Wegs Γ (wählen Sie selbst eine Orientierung) des Vektorfeldes i. direkt. ii. mit ilfe des Satzes von Stokes. Lösung: (4 Punkte) y 2 V (x, y, z) : xy a) Falls F konservativ ist, verschwindet die Arbeit längs jedes geschlossenen Weges. Wir suchen also eine Funktion f : R 3 R, so dass f F. (1 Punkt für die Überlegung) Aus der Integration nach y resp. z der y resp. z Komponente von F folgt, dass f(x, y, z) : sin(x 2 )e xyz ein Potential ist, falls g f x. Damit ist g(x, y, z) : cos(x 2 )2xe xyz + sin(x 2 )yze xyz eine (nicht eindeutige!) Funktion, die das Gewünschte tut. (1 Punkt für die Angabe einer geeigneten Funktion g.) b) i. Parametrisiere Γ via cos t γ : [, 2] Γ, t sin t 2 sin t Bitte wenden!

6 (1 Punkt für die Parametrisierung) und sei τ der entsprechend orientierte Einheitstangentialvektor. Γ V, τ ds (V γ)(t), γ(t) dt sin 2 t sin t cos t sin t, cos t dt 2 cos t ( sin 3 t + cos 2 t sin t ) dt sin tdt. (1 Punkt für die korrekte Rechnung) ii. Parametrisiere die Schnittellipse Σ via r cos t Φ : (r, t) r sin t 2r sin t (1 Punkt für die Parametrisierung) Einen Normalenvektor auf diese Schnittebene erhält man entweder durch eine elementargeometrische Betrachtung oder durch die Berechnung des Kreuzprodukes Φ r Φ t. Wir arbeiten mit dem unnormierten Normalen-vektor (, 2r, r) T, weil dessen Norm gerade dem Koeffizient des Volumenelementes entspricht. Σ rot v, ν ds 1 1 (1 Punkt für die korrekte Rechnung), 2r drdt 3r sin t r 3r 2 sin tdrdt sin tdt. Siehe nächstes Blatt!

7 5. Bestimmen Sie mit ilfe eines Separationsansatzes die allgemeine Lösung der folgenden partiellen Differentialgleichung. (4 Punkte) u x (x, t) u(x, t) x u t(x, t) t Lösung: Der Ansatz u(x, t) : X(x)T (t) führt auf die Gleichung X X 1 x T T t, wobei jede Seite konstant ( λ) sein muss (1 Punkt). Die Gleichung X X λ + 1 x lässt sich durch Integration nach x lösen. Es folgt X(x) : C 1 xe λx (1 Punkt). Die Gleichung T T λt hat als Lösung (analog) T (t) C 2 e 1 2 λt2 (1 Punkt). Mit C : C 1 C 2 ergibt sich als allgemeine Lösung u(x, t) Cxe λx e 1 2 λt2 (1 Punkt). Da die Gleichung linear ist, sind auch Summen (auch Riemannsche) von Lösungen wieder Lösungen (1 Punkt).