Mathematische Methoden

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1 Institut für Theoretische Physik der Universität zu Köln Johannes Berg Andrej Fischer Abgabe: Montag,. Juni Mathematische Methoden. Übung Sommersemester Besprechung: Eine Musterlösung wird online zur Verfügung gestellt. Hinweis: Sie finden auf diesem Übungsblatt einige Verweise auf das Lehrbuch von T.Arens []. Bitte nutzen Sie die Zeit in der Pfingstwoche um die angegeben Stellen zur Unterstützung bei dem Verständnis und der Lösung dieser Aufgaben zu lesen.. Wiederholung: Cayley-Hamilton (9 Punkte) Der Satz von Cayley-Hamilton besagt, dass jede n n Matrix A Nullstelle ihres eigenen charakteristischen Polynoms p A (λ) ist, also dass gilt: p A (λ) := det(a λ n ) p A (A) = n () Hierbei wird in dem charakteristischen Polynom für die skalare Variable λ die Matrix A eingesetzt. Die letzte Identität ist also eine Gleichung von Abbildungen (Matrizen) (mit der Konvention A = n ). Für beliebige Matrizen besagt der Satz also insbesondere: ( ) p A (λ) = λ tr(a) λ + det(a) λ p A (A) := A tr(a) A + det(a) = ( ) a b (a) Überprüfen Sie die Gültigkeit der Aussage für beliebige Matrizen A =. c d ( ) (b) Berechnen Sie A 4 für A =, ohne dabei Potenzen von A explizit zu berechnen. (Tipp: Drücken Sie durch obige Gleichung A durch niedrigere Potenzen von A aus.) (c) Zeigen Sie, dass für Matrizen A mit det(a) die inverse Matrix folgt als A = det(a) (tr(a) A) Wie lautet damit die Inverse der Matrix aus (b)?

2 (a) Wir setzen einfach die Matrix in die Gleichung ein und überprüfen die Gültigkeit komponentenweise: ( ) ( ) ( ) a b a b a A = = + bc ab + db c d c d ac + dc cb + d, tr(a) = a + d, det(a) = ad bc ( ) ( ) ( ) a A tr(a) A + det(a) = + bc ab + db a b ac + dc cb + d (a + d) + (ad bc) c d ( ) ( ) (a = + bc) (a + d) a + (ad bc) (ad + bd) (a + d) b (ac + dc) (a + d) c (cb + d = ) (a + d) d + (ad bc) (b) Wenn man die Aussage des Satzes benutzt um nach der höchsten Potenz von A aufzulösen, erhält man: A = tr(a) A det(a) = A + 4 A 4 = A A = (A + 4 ) = A + 8 A + 6 = 9 A + = Dieser Trick macht den Satz von Cayley-Hamilton erst so nützlich! (c) Wieder nehmen wir die Gleichung und stellen geeignet um: ( ) = A det(a) ( tr(a) A + det(a) = ) tr(a) A A det(a) [ ] = det(a) (tr(a) A) A =: A A Wegen der Eindeutigkeit der Inversen folgt die Behauptung. Für unser Beispiel gilt dann: ( ) A = A = 4 [ A] = ( ) 4. Länge der Brachistochrone (6 Punkte) Die Kurve, auf der ein Massenpunkt die Strecke zwischen zwei Orten in einem Schwerefeld ohne Reibung am schnellsten zurücklegt nennt man die Brachistochrone. (Johann Bernoulli stellte diese Aufgabe 696, obwohl er die Lösung schon zuvor gefunden hatte. Ein Jahr später wurden seine und vier weitere Lösungen veröffentlicht, u.a. von Johanns Bruder Jakob sowie Isaac Newton und Gottfried Leibniz. Diese Arbeiten gelten als Geburtsstunde der Variationsrechnung.) Die Brachistochrone kann parametrisiert werden durch: ( ) R (t sin t) γ : R R, t γ(t) = () R (cos t ) Skizzieren Sie das Kurvensegment für t [, π] und zeigen Sie, dass seine Länge 8R beträgt. Hinweis zur Lösung: Die Länge einer Kurve γ wird berechnet durch L( γ) = dt γ(t) (siehe letztes Blatt). Durch zweimalige Substitution cos t x und + x y gelangt man zu einem elementar lösbaren Integral der Form dy y. Siehe dazu auch die Ausführungen auf S. 863ff in [].

3 Zunächst bestimmen wir γ(t) aus der gegebenen Wegparametrisierung: ( ) cos t γ(t) = R sin t L(γ) = = R = R R cos t dt ; π γ(t) = R ( cos t) + sin t = R cos t cos t dt = R dy y = R [ y ] = 8 R ( cos t = x sin t dt = dt = x = R x ) x + x Im zweiten Schritt haben wir die Symmetrie des Integranden um π benutzt um das Integrationsintervall einzuschränken. Eine zweite Möglichkeit, dass Integral zu lösen nutzt ein trigonometrisches Additionstheorem. π cos t dt = cos ( t + ) π t dt = cos t + sin t dt π = sin t = sin t dt = 4 sin t dt = 8 [ cos t π ] = 8 3. Norm des Kreuzprodukts (5 Punkte) Für Oberflächenintegrale benötigt man die Norm des Normalenvektors, der sich lokal ergibt als Kreuzprodukt zweier Tangentialvektoren. Seien dazu a, b R 3, mit a, b 3 mit der euklidischen Norm a = a b cos φ. Zeigen Sie, dass gilt: (a) a b = a b a, b (b) a b = a b sin φ i= a i und dem Skalarprodukt a, b = 3 i= a i b i = Hinweis: Benutzen Sie, dass (a b) i = ɛ ijk a j b k und die Identität ɛ ijk ɛ ilm = δ jl δ km δ jm δ kl, wobei hier über doppelt vorkommende Indizes summiert wird (Einsteinsche Summenkonvention). Mehr dazu auf S. 74f in []. Wir nutzen hier konsequent den Epsilon-Tensor und die Einsteinsche Summenkonvention: a b = (a b) i (a b) i = ɛ ijk a j b k ɛ ilm a l b m = (δ jl δ km δ jm δ kl ) a j b k a l b m = a j b k a j b k a j b k a k b j = a b a, b = a b ( cos φ ) = a b sin φ 3

4 4. Oberflächenintegrale ( Punkte) Ganz analog zu Wegintegralen definiert man Integrale von skalaren Funktionen und Vektorfeldern über Flächen im R 3 über ihre Parametrisierung und führt sie so auf elementare Integrale über Teilmengen des R zurück. Sei etwa x(u, v) S : R R 3, (u, v) r(u, v) = y(u, v) (3) z(u, v) eine solche Parametrisierung und seien φ : R R 3 eine skalare Funktion und f : R 3 R 3 ein Vektorfeld (stetig differenzierbar). Dann sind folgende Integrale wohldefiniert. da φ := du dv u r v r φ ( r(u, v)) (4) S d s f := du dv ( u r v r) f ( r(u, v)) (5) S Wieder ergibt sich für φ die Oberfläche von S. Siehe dazu auch S. 9ff in []. a) Bestimmen Sie die Oberfläche der Kugel mit Radius R, indem Sie die nördliche Hemisphere S + durch kartesische Koordinaten parametrisieren, also x S + : (x, y) r(x, y) = y (6) R x y Achten Sie bei der Integration über x und y auf die richtigen Integrationsgrenzen, z.b. x [, R] und y [ R x, R x ]. Das resultierende Integral ist durch Substitution zu lösen. b) Benutzen Sie nun für die gleiche Aufgabe Polarkoordinaten (θ, φ), also die Parametrisierung sin θ cos φ S : (θ, φ) r(θ, φ) = R sin θ sin φ (7) cos θ mit θ [, π] und φ [, π]. Der Betrag des Normalenvektors müsste sich als θ r φ r = R sin θ ergeben. Überprüfen Sie die Konsistenz Ihrer Ergebnisse. Welche Rechnung erscheint einfacher? Siehe zu wichtigen krummlinigen Koordinatensystemen auch S. 844ff in []. (a) + (b) Zunächst bestimmen wir die beiden Tangentialvektoren an die Kugeloberfläche, dann die Norm des Kreuzprodukts mit obiger Formel und schließlich lösen wir das Doppelintegral über den Parameterbereich. x r y r = ( + x r = x R x y x R x y ) ( +, y r = y ) y R x y 4 R x y x y (R x y ) = R R x y

5 R A(S + ) = R R x R x dy R R x R R x y = R R x R x dy R R x y R x dt R R x = R [ arcsin t ] + t [ π ] = R [R ()] ( π ) = π R A(S + S ) = 4π R cos θ cos φ θ r = R cos θ sin φ, sin θ sin θ sin φ φ r = R sin θ cos φ A(S + S ) = θ r φ r = R 4 sin θ dφ π dθ R sin θ = π R [ cos θ ] π = 4π R 5. Totales Differenzial (6 Punkte) Für eine skalare stetig differenzierbare Funktion fr R ist das Differenzial df eine lineare Abbildung, die (kleinen) Änderungen im Argument von f, dargestellt als Vektoren, die entsprechende Änderung der linearisierten Funktion zuordnet. Zum Beispiel ist für die Funktion f(x) = x das Differenzial df = df = x, wobei hier tatsächlich als lineares Funktional, also Element des Dualraums zum Vektorraum R aufzufassen ist. Also für die Verschiebung v =, vom Punkt x =, 5 ergibt sich die Änderung von f in linearer Ordnung als df(v) =.5 (.) =.5 (zur Probe f(.6) f(.5) =.5). Genauso ist die höherdimensionale Verallgemeinerung (hier in kartesischen Koordinaten) zu verstehen: f : R 3 R, (x, y, z) f(x, y, z) df = f f f + dy + dz (8) x y z a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Differenzials eine Näherung für die beiden Ausdrücke und 5. exp (. ln 4.98). f(x, y, z) := x + y + z df = (x + y dy + z dz) f(x, y, z). v :=., p = (x, y, z) := (4,, 3). df p ( v) = 6 (x ( v) + y dy( v) + z dz( v)) = ( ) = f(p)

6 g(x, y, z) := x e y ln z dg = g x g ln z dy g y z dz. v =., p = (x, y, z) = (5,, 5). ( dg p ( v) = g(p) x v x ln z v y y ) z v z = 5. ln exp (. ln 4.98).55 =.845 (statt.857) (9) b) Bei physikalischen Experimenten treten immer Messfehler auf. Für Größen F, die von fehlerbehafteten Messungen {(x i, x i )} i=,...,n abhängen erhält man eine Abschätzung des Gesamtfehlers als F = n ( ) F x i () x i i= Nehmen Sie an, Sie hätten für einen Zerfallsprozess n(t) = N e γt die Rate und Anfangszahl gemessen als γ = (. ±.)s und N = 3 ±. Was ist Ihre Schätzung für die Zahl der Partikel zum Zeitpunkt T = 6s inklusive Fehler? Lesen Sie dazu auch S. 79ff in []. Literatur n(6s) = N e. 6 [.5] (gerundet auf ganze Zahlen) () ( ) n n = N + (n t γ) n.6 n(t) = [.5 ±.5] () N [] T. Arens et al. Mathematik, Spektrum (9) 6