12. Mehrfachintegrale

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1 Mehrfachintegrale Flächen- und Volumenelemente Naive Gemüter sind geneigt, den Flächeninhalt dx dy (kartesische Koordinaten) in den neuen Koordinaten durch du dv anzugeben. Das ist i.a. falsch! Denken Sie bei ebenen Polarkoordinaten schon allein an die Dimension von drdϕ. Ähnliches gilt für Volumenelemente: dxdy dz dudvdw Der Einfachheit halber demonstrieren wir das richtige Vorgehen an dem D Fall u = u( x, y) x = x( u, v) v = v( x, y) y = y( u, v) und fragen nach dem Übergang dx dy dudv. Konkretes Beispiel sind die ebenen Polarkoordinaten ρ = x + y x = ρcosϕ y ϕ = arctan y = ρsinϕ x Allgemein stellen wir in einem kartesischen Koordinatensystem die Konturlinien u=const. bzw. v=const wie folgt dar: Die Konturlinien sind i.a. nicht gradlinig wie im kartesischen Fall. Wir definieren: P1:( x1, y1) (, u v) P:( x, y) ( u+δu, v), x x1+ xuδu, y y1+ yuδu P :( x, y ) (, u v+δv), x x + x Δv, y y + y Δv v 4 1 Die zugehörigen Ortsvektoren sind r 1, r, r 4 v

2 - - Für genügend kleine Δu und Δvsind die Flächenelemente näherungsweise kleine Parallelogramme; ihr Flächeninhalt ist ( r r ) ( r r ) Rechnen wir den Flächeninhalt aus: ez r r r r = e x x y y x x y y [( 1) ( 4 1) ] [(,,0) (,,0)] z = ( x x )( y y ) ( x x )( y y ) =ΔuΔv( x y x y ) u v v u ( xy, ) =ΔuΔv ( uv, ) Wir notieren deshalb die Merkregel ( xy, ) dxdy = dudv ( uv, ) Beispiel: D Flächenelement kartesisch dv = dxdy df ebene Polarkoordinaten: x= x( ρ, ϕ) = ρcos ϕ, y = y( ρ, ϕ) = ρsinϕ dv = ρdρdϕ df

3 - 3 - Doppelintegrale (Flächenintegrale) Wir gehen von einer Funktion f(x, y) von zwei Variablen x und y aus und integrieren. Die Integration schreiben wir in der Form mit dem Flächenelement in kartesischen Koordinaten da ΔSi = d r = dx dy. Das Verständnis der Flächenintegration erschließt sich wie im 1D Fall recht anschaulich. Der Grenzwert lim lim f ( xx, yk) ΔAk, ( nδ A = const.) n ΔA = k k= n 0 k 1 Doppelintegral bezeichnet, und wie oben als wird, falls er vorhanden ist, als geschrieben. Die Argumentation ist ähnlich wie bei der 1D Integration und soll hier nicht wiederholt werden. Das Integrationsgebiet kann recht kompliziert aussehen, z.b. Anschaulich gibt das Doppelintegral das Volumen der Körpers unter der Funktionsfläche an.

4 - 4 - Integrationsbereich Haben wir nicht einfache Integrationsbereiche (einfache Integrationsbereiche sind solche mit festen Grenzen), so können wir ausgehend von den Beispielen in kartesischen Koordinaten entweder zunächst x in den Grenzen a bis b variieren und dann y entsprechend anpassen (linkes Bild), oder zunächst y in festen Grenzen variieren und dann x entsprechend anpassen (rechtes Bild). Die verschiedenen Vorgehensweisen drücken sich in der Integrationsreihenfolge aus. Doppelintegral in kartesischen Koordinaten Die Berechnung des Doppelintegrals erfolgt durch zwei nacheinander auszuführende gewöhnliche Integrationen (vergleichen Sie das obige linke Beispielbild): Zuerst führen wir die innere Integration nach der Variablen y aus: die Variable x wird als konstanter Parameter betrachtet und die Funktion f(x, y) unter Verwendung der für gewöhnliche Integrale geltenden Regeln nach y integriert. In die ermittelte Stammfunktion setzt man dann für y die Integrationsgrenzen f o (x) und f u (x) ein und bildet die entsprechende Differenz. Anschließend führen wir die äußere Integration nach der Variablen x aus. Die als Ergebnis der inneren Integration erhaltene, nur noch von der Variablen x abhängige Funktion wird nun in den Grenzen von x = a bis x = b integriert. Die Reihenfolge der Integration ist eindeutig durch die Reihenfolge der Differentiale im Doppelintegral festgelegt. Sie sind nur dann vertauschbar, wenn sämtliche Integrationsgrenzen konstant sind.

5 - 5 - Beispiel Der erste Schritt ist die innere Integration nach der Variablen y: Der zweite Schritt ist die äußere Integration nach der Variablen x: Da die Integrationsgrenzen konstant sind, lässt sich die Integration in diesem Fall vertauschen. Beispiel Flächenbestimmung eines Viertelkreises mit dem Radius, d.h.. Aufgabe 1.1: Integrieren Sie f( x, y) = xy über die Fläche, die von der Parabel y = x und der Geraden y = x eingeschlossen wird.

6 - 6 - Doppelintegral in ebenen Polarkoordinaten Bei entsprechenden Geometrien (z.b. Flächen von Kreissegmenten) kann es geschickter sein, Mehrfachintegrale in ebenen Polarkoordinaten statt in kartesischen Koordinaten auszuführen. Dazu muss die Funktion transformiert werden entsprechend f(x,y) = f(r cos ϕ, r sin ϕ ) = g(r, ϕ ). Beachten Sie die unterschiedlichen funktionalen Abhängigkeiten bei f und g. Der bei Doppelintegralen auftretende Integrationsbereich hat die Gestalt eines Kreissegments, das durch die Winkel ϕ1 und ϕ sowie die inneren und äußeren Radien r 1 und r begrenzt ist. Das Flächenelement in ebenen Polarkoordinaten ist da = r d ϕ dr. Zur Berechnung des Doppelintegrals in ebenen Polarkoordinaten müssen wir wie folgt vorgehen: Beim Übergang von kartesischen Koordinaten (x, y) zu ebenen Polarkoordinaten (r, ϕ ) gelten die Transformationsgleichungen x = r cos ϕ, y = r sin ϕ und da = rdrd ϕ. Das Doppelintegral transformiert sich dann: Die Integration erfolgt in zwei nacheinander auszuführenden Integrationsschritten. In der Anschrift beginnen wir mit der inneren Integration nach der Variablen r, wobei die Winkelkoordinate ϕ als Parameter fest gehalten wird. Dann erfolgt die äußere Integration nach der Variablen ϕ.

7 - 7 - Beispiel Bestimmen Sie die Fläche eines Viertelkreises (Innenradius r i = 0, Außenradius r a =, π Anfangswinkel ϕ1 = 0, Endwinkel ϕ = ). Mit den obigen Integrationsgrenzen ergibt sich für das Doppelintegral Ausführen der inneren Integration nach der Variablen r liefert Das Ergebnis entspricht den Erwartungen und ist einfacher zu berechnen als in kartesischen Koordinaten! Aufgabe 1.: Integrieren Sie f( x, y) = r sin ϕ über die Fläche des Halbkreises r = 3cosϕ.

8 - 8 - Funktionaldeterminante (Jakobi-Determinante, Jakobian ) Zur Erinnerung: Bei der Transformation x=x(u,v) und y=y(u,v) gilt dxdy = J dudv, mit der Funktionaldeterminante (Jakobian J) x x u v J = y y u v Für die ebenen Polarkoordinaten ist J = r. Dreifachintegrale (Volumenintegrale) Verallgemeinerung auf Volumenelemente: ( xyz,, ) dxdydz = dudvdw ( uvw,, ) Aufgabe 1.3: Begründen Sie durch elementare Volumenelementberechnung den gerade angegebenen Zusammenhang. 3D Volumenelement kartesisch: dv = dxdydz Zylinderkoordinaten: dv = d ρρdϕdz Sphärische Polarkoordinaten: = ϕ sinθ θ dv r dr d d

9 - 9 - Diese Ausdrücke für die Volumenelemente können wir recht anschaulich verstehen: Beim Dreifachintegral gibt es keine anschauliche Interpretation als Fläche oder Volumen, da uns die Integration jeweils eine Dimension höher führt und wir das Integral daher in einem 4- dimensionalen Raum anschaulich zu interpretieren hätten. In Analogie zum Doppelintegral gilt formal: Der Grenzwert k= n x k k Δ k Δ = n ΔVk 0 k = 1 existierend, als Dreifachintegral bezeichnet, und als lim lim f ( x, y, z ) V, ( n V const) wird, falls Geschrieben. Dreifachintegral in kartesischen Koordinaten In kartesischen Koordinaten lässt sich das Dreifachintegral darstellen als Dabei wird, wie auch bei den Doppelintegralen, wieder von innen nach außen integriert, wobei die Reihenfolge der Differentiale die Reihenfolge der Integration eindeutig bestimmt und eine Vertauschung der Integrationen nur dann möglich ist, wenn die Integrationsgrenzen nicht voneinander abhängen.

10 Beispiel Das Trägheitsmoment I eines Körpers um eine Achse ist definiert als das Integral über alle infinitesimal kleinen Massenelemente dm, jeweils multipliziert mit dem Quadrat ihres Abstands r von der Drehachse: Die Integration muss über das Volumen V des Körpers erfolgen; das Koordinatensystem ist der Geometrie des Körpers anzupassen. Betrachten Sie z.b. einen Quader der Seitenlängen a, b und c, der um eine Achse durch seinen Schwerpunkt senkrecht zu der von a und b gebildeten Fläche rotiert. Diese Geometrie lässt sich am besten in kartesischen Koordinaten beschreiben. Mit der Dichte ρ wird das Massenelement dm = ρ dv = ρ dxdydz. Mit dem Abstand r = x + y von der Drehachse ergibt sich für das Trägheitsmoment Da hier die Integrationsgrenzen konstant sind, brauchten wir bei der Integrationsreihenfolge nicht gesondert aufzupassen (und haben eine etwas schlampige Schreibweise benutzt; s. unten die Bemerkung zur Schreibweise!)

11 Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten Zylinderkoordinaten stellen die x,y-ebene eines kartesischen Koordinatensystems in ebenen Polarkoordinaten dar, während die z-achse beibehalten wird. Die Behandlung erfolgt analog zu der in ebenen Polarkoordinaten. Beim Übergang von kartesischen Koordinaten (x, y, z) zu Zylinderkoordinaten gelten die Transformationsgleichungen x = ρ cos ϕ, y = ρsin ϕ, z = z sowie für das Volumenelement dv = dxdydz = ρdρdϕdz Das Dreifachintegral transformiert sich dann gemäß Die Integration erfolgt wieder von innen nach außen. Beispiel Das Volumen eines Zylinders mit Radius r und Höhe h lässt sich als das Integral über alle Volumenelemente dv bestimmen. Der Geometrie angepasst sind Zylinderkoordinaten, so dass wir erhalten r h π V = d dzd = ρ= 0 z= 0ϕ= 0 ρ ϕ ρ πr h V = dy dx dz = h x r x + r h r r x r 1 x arcsin π r 0 = r h r r x r Wegen der variablen Grenzen haben wir hier (ausnahmsweise!) die Reihenfolge durch Klammern gekennzeichnet.

12 - 1 - Aufgabe 1.4: Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der von der x,y-ebene, dem Zylinder x + y = ax und der Kugel x + y + z = a eingeschlossen wird. Dreifachintegral in Kugelkoordinaten Das Verfahren entspricht dem in Zylinderkoordinaten, allerdings mit den Transformationsgleichungen x= rcosϕsin ϑ, y = rsinϕsin ϑ, z = rcosϑ und dem Volumenelement dv = dx dy dz = r sinϑdrdϑdϕ Beispiel Der Schwerpunkt r s eines homogenen Körpers ist gegeben als Gesucht ist der Schwerpunkt einer homogenen Halbkugel mit Radius R(=r). Wir legen die Kugel in ein kartesisches Koordinatensystem mit der Schnittfläche auf die x,y-ebene. Aus Symmetriegründen sollte der Schwerpunkt auf einer Achse durch den Mittelpunkt des Schnittkreises liegen, d.h. auf der z-achse. Damit können wir die (uns noch nicht vertraute) Integration über einen Vektor umgehen und erhalten für die Koordinaten des Schwerpunktes x s = 0, y s = 0 sowie

13 Schreibweise Wegen der konstanten Grenzen haben wir uns im letzten Beispiel erlaubt, die Reihenfolge der Integrationen und die Zuordnung d... schlampig zu schreiben, wie es in der Literatur (leider!) häufig geschieht. Gewöhnen Sie sich eine eindeutige Zuordnung und Reihenfolge an, z.b. z Grenze y Grenze x Grenze z Grenze y Grenze x Grenze... dx dy dz [ (... dx) dy ] dz z Grenze y Grenze x Grenze z Grenze y Grenze x Grenze mit Integration von innen nach außen Dann brauchen Sie bei den Grenzen nicht r =... usw zu schreiben. Also bei dem obigen R π /π 1 3 Integral r cos sin d d dr V ϑ ϑ ϕ ϑ, und Sie wissen, was wohin gehört cosϑ Aufgabe 1.5: Integrieren Sie über das Volumen des folgenden Kegels r Aufgabe 1.6: Zeigen Sie ( x, y) ( y, x) ( y, x) = = ( uv, ) ( vu, ) ( uv, ) ( xy, ) ( xy, ) ( ξη, ) = ( uv, ) ( ξη, ) ( uv, )

14 Oberflächenelemente, Raumwinkel Ausgehend von Kugelkoordinaten schreiben wir dv = r dr dϕsinθdθ = df dr (entspricht Grundfläche mal Höhe ) Dabei ist df der Betrag des Flächenelementes. Letzteres ist ein Vektor, dessen Richtung senkrecht auf der Fläche steht (Richtung e r bei der Kugel) Aufgabe 1.7: Berechnen Sie die Oberfläche einer Kugel mit Radius R. Das Volumen einer Kugel mit Radius R berechnen wir über π π R π π R 3 R 4π sinθ r drdθ dϕ = dϕ sinθdθ r dr = π = R Im Raum bildet ein von einem Punkt ausgehendes Strahlenbüschel einen Raumwinkel. 3 S Dieser wird mit Ω bezeichnet und gemäß Ω= berechnet. Dabei bedeutet S das r Oberflächenstück, das der Raumwinkel aus einer Kugel ausschneidet, die den Radius r hat und deren Mittelpunkt mit der Spitze des Strahlenbüschels zusammenfällt. Die Einheit des 1m Raumwinkels ist der Steradiant (sr). Es gilt: 1 sr =, 1m d.h. ein Raumwinkel von 1 sr schneidet auf der Einheitskugel (r = 1 m) eine Fläche der Größe 1 m aus. Aufgabe 1.8: Begründen Sie dω= sinϑdϑdϕ. Berechnen Sie den Raumwinkel, den ein 0 Kegel mit dem Öffnungswinkel α = 10 beschreibt.