8.2 Integralrechnung für mehrere Variable

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1 8.2 Integralrechnung für mehrere Variable Der bisher behandelte Begriff des Integrals einer Funktion mit einer einzigen Variablen lässt sich auf mehrere Arten verallgemeinern. Zunächst führt die Erweiterung der Integranden auf Funktionen mit zwei bzw. drei oder allgemein n Variablen auf den Begriff des Doppelintegrals, Dreifachintegrals und des Mehrfachintegrals. Auch werden Mehrfachintegrale in speziellen Koordinatensystemen wie Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten eingeführt Das Doppelintegral Doppelintegral im kartesischen Koordinatensystem Gegeben sei eine Funktion f(x, y) mit dem Definitionsbereich D der Ebene R 2. Sei auch D ein Unterbereich von D, der zunächst einfachheitshalber ein Rechteckbereich sei: = [, x ] [y min, y ] < x, y min < y. In der Fortsetzung wird vorausgesetzt, dass die Funktion f im Bereich überall stetig und beschränkt ist. Der Graph der Funktion f ist bekanntlich eine Fläche Σ im Raum über dem Bereich (Figur 8.10). x z y Abbildung 8.10: Eine Funktion über einem rechteckigen Bereich. Gesucht ist das Volumen des räumlichen Körpers, der vom Rechteck (Grundfläche), von der Fläche Σ (oben), von den vertikalen Ebenen x =, x = x, y = y min, y = y (die Seiten) eingeschlossen wird. 190

2 Zur Berechnung des Volumen wird die Strecke [, x ] in n Teile = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = x zerlegt. Analog wird die Strecke [y min, y ] in m Teile y min = y 0 < y 1 < y 2 <... < y m = y zerlegt. Die respektiven Länge der durch die Zerlegungen produzierten Unterintervalle seien bzw. x 1 = x 1 x 0, x 2 = x 2 x 1,..., x n = x n x n 1, y 1 = y 1 y 0, y 2 = y 2 y 1,..., y m = y m y m 1. Durch diese Zerlegung wird der Bereich mit N = n m kleinen Rechtecken ij überdeckt, deren Flächeninhalte respektiv betragen ij = x i y j. Die Seiten dieser kleinen Rechtecke sind zu den Koordinatenachsen Ox und Oy parallel. Gegeben sei ein beliebiger Punkt P(x i, y j ) in einem der kleinen Rechtecke ij. Das Produkt V ij = f(x i, y j ) x i y j nähert das Volumen einer vertikalen Säule über ij an, deren Deckfläche in der durch f gegebenen Fläche liegt. Die Höhe der Säule beträgt f(x i, y j ). Wenn das Rechteck ij klein genug ist, stellt das Volumen V ij eine gute Annäherung des Raumstückes zwischen ij und der durch f gegebenen Fläche dar. Wenn wir alle elementaren Volumen V ij der Säulen summieren, erhalten wir eine Approximation des Volumen des gesamten Körpers. n m V f(x i, y j ) y j x i i=1 j=1 Streben bei der Zerlegungen der Strecken [, x ] und [y min, y ] die Anzahl Zwischenpunkte n und m gegen Unendlich, so nähert die gesamte Doppelsumme den exakten Wert des Körpersvolumen an. Auf diese Art erhält man die folgende Definition des Doppelintegrales: V = x y y min f(x, y) dy dx. = lim n m n m f(x i, y j ) y j x i (8.19) i=1 j=1 Das in (8.19) definiert Doppelintegral existiert (im mathematischen Sinne), wenn die Funktion f im Integrationsbereich B beschränkt und stetig ist. f heisst dann über integrierbar. Bei der Definition des Doppelintegrales haben wir zuerst die innere Summe für den Index j durchgeführt, dann die aussere Summe für den Index i. Somit haben wir ein Doppelintegral definiert, welches auch mit zwei nacheinanderfolgenden einfachen Integralen mit einer Variablen berechnet werden kann, das erste nach y und das zweite nach x: x y f(x, y) dy dx. y min Wird die Reihenfolge der zwei Zähler i und j vertauscht, so kann auch das Doppelintegral in der folgenden Form berechnet werden: 191

3 y x y min f(x, y) dx dy, Das Doppelintegral erfolgt also mit den zwei nacheinanderfolgenden einfachen Integralen, das innere für y, das äussere für x: y x f(x, y) dx dy. y min Die Resultate beider Doppelintegrale sind die gleichen, unabhängig von der Reihenfolge den Teilintegrale. Es gilt die Regel: Bei dem Doppelintegral einer Funktion über einem Bereich mit konstanten Grenzen spielt die Reihenfolge der nacheinanderfolgenden Teilintegrale keine Rolle, d.h.: x y f(x, y) dy dx = y min y y min x f(x, y) dx dy. (8.20) Beispiel Zu berechnen ist das Doppelintegral x=3 y=2 x=1 y= 1 (2xy y 2 + 3) dy dx, und das Doppelintegral der gleichen Funktion mit der vertauschten Reihenfolge der Integrationsvariablen. Das Symbol dydx bzw. dxdy am Ende des Ausdrucks heisst der Integrationselement des Integrals. Für einen Integrationsbereich kann der Integrationselement auch in der kurzen Form d notiert werden: f(x, y) d. Im allgemeinen Fall ist der Integrationsbereich einer Funktion nicht immer ein Rechteck. In der Fortsetzung ist der Integrationsbereich ein Stück der Ebene, welches von einer geschlossenen (aber sich selbst nicht schneidenden) Kurve Γ in der Ebene begrenzt ist (Siehe Figur 8.12). Der Körper, dessen Volumen zu bestimmen ist, wird jetzt von einer Zylinderfläche mit der Leitkurve Γ, von der Fläche Σ mit der Gleichung z = f(x, y) (oben) und von dem Integrationsbereich (unten) begrenzt. Die Tangenten and die Randkurve Γ parallel zur Oy- bzw. Ox-Achse (in der Ebene) haben die Berührungspunkte A 1, A 2, bzw. B 1 B 2 (Siehe Figur 8.12). Durch A 1 und A 2 wird die Randkurve in zwei Kurvenstücke mit den Gleichungen y = y 1 (x) für den unteren und y = y 2 (x) für den oberen Kurvenstück zerlegt. Der Bereich ist dann die Menge aller Punkte (x, y) in der Ebene R 2, für welche die Ungleichungen x x y 1 (x) y y 2 (x) (8.21) gelten. Analog könnte man für die Randkurve Γ eine Zerlegung in zwei Kurvenstücke betrachten, die durch B 1 und B 2 gehen mit den Gleichungen x = x 1 (y) für den linken und x = x 2 (y) für den rechten Kurvenstück. Der Bereich ist dann die Menge aller Punkte (x, y) in der Ebene R 2, für welche gilt 192

4 Abbildung 8.11: Volumen eines Körpers zwischen der Oxy-Ebene und dem Graphen einer Funktion. y min y y x 1 (y) x x 2 (y) (8.22) Bei der Berechnung des Doppelintegrales der Funktion f(x, y) über den Integrationsbereich kann man dann in zwei möglichen Wege vorgehen: Bei konstant gehaltenem x wird zuerst nach y über das Intervall [y 1 (x), y 2 (x)] integriert: y 2(x) y 1(x) f(x, y) dy Dann wird das Resultat nach x über das Intervall [, x ] integriert: V = f(x, y) d = x y 2(x) y 1(x) f(x, y) dy dx (8.23) Bei konstant gehaltenem y wird zuerst nach x über das Intervall [x 1 (y), x 2 (y)] integriert: x 2(y) x 1(y) f(x, y) dx Dann wird das Resultat nach y über das Intervall [y min, y ] integriert: V = f(x, y) d = y y min x 2(y) x 1(y) f(x, y) dx dy (8.24) 193

5 y x Abbildung 8.12: Integrationsbereich (in der Ebene). Bei der Berechnung des Doppelintegrales wird das Integral mit den variablen Grenzen stets zuerst bestimmt. Nach den Formeln 8.23 oder 8.24 wird also zuerst das innere, dann dass äussere Integral berechnet. Welche Reihenfolge man verwendet, hängt von der konkreten Aufgabenstellung ab. Die Klammern in 8.23 und in 8.24 können weggelassen werden. Beispiel Ein Bereich ist durch die Ungleichungen 0 y x2, 0 x 3. gegeben. Gesucht wird das Volumen des zylindrischen Körpers mit der Grundfläche, dessen Deckfläche der Graphen der Funktion f(x, y) = xy ist. Machen Sie zuerst eine Zeichnung. Beispiel Zu berechnen ist das Doppelintegral der Funktion z = x + 2y über dem Bereich, der durch die Ungleichungen 1 x 5 (x 3) 2 y 4 bestimmt ist. Machen zuerst eine Zeichnung. Ist ein Rechteckbereich und ist die Funktion f(x, y) das Produkt zweier Funktionen, die nur von x bzw. y abhängen, d.h.: f(x, y) = g(x)h(y), dann wird die Berechnung des Doppelintegrales von f über vereinfacht durch folgende mögliche Zerlegung: V = f(x, y) d = x g(x) dx y y min h(y) dy. (8.25) 194

6 Ist die Funktion f über dem gesamten Bereich konstant mit dem Wert 1, dann lässt sich das Doppelintegral V = d (8.26) interpretieren als Volumen eines vertikalen Zylinders mit der Grundfläche und der Höhe 1 oder als Flächeninhalt des Bereiches : Inhalt() = x y 2(y) y 1(x) dx dy = x (y 2 (x) y 1 (x)) dx Variablenänderung in einem Doppelintegral Bei verschiedenen Aufgaben, die zu einem Doppelintegral führen, ist die Verwendung kartesischer Koordinaten wegen Rechnenschwierigkeiten ungeeignet. Durch Übergang zu anderen, dem jeweiligen Problem angepassten Koordinaten, z.b. Polakoordinaten, können diese Aufgaben meist einfacher gelöst werden. Durch die Funktionsgleichungen x = x(u, v) y = y(u, v) (8.27) soll eine umkehrbar eindeutige Transformation zwischen den kartesischen Koordinaten x, y und den neuen Koordinaten u, v beschrieben werden. Für (8.27) sollen stetige partielle Ableitungen 1. Ordnung existieren. Gegeben sei ein Bereich in der Oxy-Ebene. Durch die umkehrbar eindeutige Transformation (8.27) wird der Bereich auf einen Bereich in der u, v-ebene abgebildet: v y u x Abbildung 8.13: Variablenänderung. Der Übergang zu den neuen Variablen u, v entspricht der Substitutionsmethode bei dem einfachen Integral. Anstelle der Berechnung des Doppelintegrals von f(x, y) über dem Bereich führen wir also durch die Variablenänderung die Berechnung des Doppelintegrales über dem neuen Integrationsbereich durch. Analog wie für eine Variablenänderung beim einfachen Integral muss bei dem Doppelintegral die Änderung des alten Flächenelements d in den neuen d berücksichtigt werden. In diesem Kontext sprechen wir von der Jacobischen Determinante der Transformation: Definition 8.7 Die Jacobische Determinante der Transformation (x, y) (u, v) ist die Funktionsdeterminante x x J(u, v) = u v (x, y) y y = (8.28) (u, v) u v 195

7 Dann wird das Flächenelement des alten Integrals durch einen Multiplikationsfaktor in das neue Flächenelement transformiert: d = J(u, v) d. Damit die Transformation (x, y) (u, v) umkehrbar eindeutig ist, muss die Jacobische Determinante J(u, v) im Bereich überall ungleich null sein. Dann erhält man die Formel der Variablenänderung beim Doppelintegral: f(x, y) d = f(x(u, v), y(u, v)) J(u, v) du dv (8.29) Bemerkung: das Integralelement d kann auch in die Form dxdy notiert werden. Analog kann auch das Flächenelement dudv in die Form d notiert werden Doppelintegral in Polarkoordinaten Die Variablenänderung in Polarkoordinaten ist zweifellos eine der nützlichsten: in der Regel wählen wir dazu die zwei Variablen (r, ϕ) an Stelle der Variablen (u, v) und es gilt: x(r, ϕ) = r cosϕ y(r, ϕ) = r sinϕ x x J(r, ϕ) = r ϕ cosϕ r sinϕ y y = sinϕ r cosϕ = r 0 r ϕ Das Doppelintegral in Polarkoordinaten folgt also mit der folgenden Formel: f(x, y) d = f(x(r, ϕ), y(r, ϕ)) r dr dϕ (8.30) phi y r x Abbildung 8.14: Variablenänderung in Polarkoordinaten. Beispiel Zu berechnen ist das Integral 1 e x2 +y 2 dxdy wo der Integrationsbereich die Kreisfläche mit der Gleichung x 2 + y 2 a 2 ist. 196

8 Beispiel Gegeben seien die Halbkugel S mit der Gleichung z = R 2 x 2 y 2 und das Zylinder C mit der Gleichung x 2 +y 2 Rx = 0. Zu bestimmen ist das Volumen des Körpers, der vom Zylinder aus der Halbkugel ausgebohrt wird Aufgaben Aufgabe Zu berechnen sind die folgenden Doppelintegrale: a) a b 0 0 xy dx dy b) 2 π/2 0 0 e x siny dx dy Aufgabe Berechnen Sie mit einem Doppelintegral das Volumen des Tetraeders mit den Eckpunkten (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1). Aufgabe Berechnen Sie das Doppelintegral der Funktion z = x 2 y über dem Bereich, der von der Parabel y 2 = 4x, dem Kreis mit dem Radius 1 und dem Mittelpunkt in (1, 0) und der Geraden x = 2 begrenzt ist. Aufgabe Wie gross ist das Volumen des Körpers, der von den Ebenen z = 0, x = 0, y = 0, 3x + 4y 12 und der Fläche z = x 2 + y 2 begrenzt ist? Aufgabe Unter Verwendung von Polarkoordinaten ist das Doppelintegral der Funktion z = x 2 + y 2 über dem Bereich zu berechnen, der von der Kurve mit der Gleichung x 2 + y 2 = a 2 begrenzt ist, a > 0. Aufgabe Gesucht ist das Doppelintegral der Funktion z = 4(x 2 + y 2 ) 1 über dem Kreisring mit dem Mittelpunkt im Urspring und mit den Radien r 1 = 1 und r 2 = Dreifachintegrale Der Begriff des Doppelintegrales lässt sich zu Integralen in höheren Dimensionen oder Mehrfachintegralen veralgemeinern, speziell zu den Dreifachintegralen. 197

9 Dreifachintegrale in kartesischen Koordinaten Gegeben ist ein räumlicher Bereich. Ein solcher Bereich kann als Teil des euklidischen Raumes R 3 betrachtet werden, der von einer geschlossenen Fläche Σ im Raum begrenzt ist: z.b. ein Würfel, eine volle Kugel, ein volles Ellipsoid, ein Kieselstein, usw. sind mögliche Bereiche. Zu Beginn nehmen wir an, dass der Bereich ein Quader ist und durch die Ungleichungen festgelegt. x x, y min y y, z min z z. Durch ebene Schnitte parallel zu den Koordinatenebenen kann in eine Vereinigung von kleinen Würfeln ijk zerlegt werden, für i = 1, 2,...,n 1, für j = 1, 2,...,n 2 und für k = 1, 2,..., n 3. Hier sind die verwendeten Notationen analog wie beim Doppelintegral. Die Volumen der kleinen Würfel sind gegeben durch ijk = x i y j z k. Gegeben ist auch eine Funktion f(x, y, z) der drei Variablen x, y und z, die im Bereich überall stetig und beschränkt ist. Zum Bespiel kann diese Funktion die Massendichte des dreidimensionalen Körpers an der Stelle (x, y, z) darstellen. Im Würfelchen ijk wählen wir einen beliebigen Punkt (x i, y j, x k ). Ist das Würfelchen klein genug, so stellt der Wert der Funktion f an der Stelle (x i, y j, z k ) eine gute Approximation der Funktionswerte in allen anderen Punkte der Würfelchens dar. Wenn also f eine Massendichte ist, so stellt die Grösse f(x i, y j, z k ) x i y j z k eine Approximation der Masse des Würfelchens ijk dar. Um die gesamte Masse des ganzen Körpers (oder Bereich) zu erhalten, müssen wir dann die Masse aller elementaren Würfelchen ijk summieren, die bilden. Diese Summe kann auf mehrere Weise berechnet werden, je nach der Reihenfolge der Summenindizen i, j und k. Zum Beispiel: ( n 1 n 2 n3 ) M f(x i, y j, z k ) z k y j x i i=1 j=1 k=1 Schliesslich ist der exakte Wert des Dreifachintegrales durch die Grenzübergänge n 1, n 2 und n 3 erhalten, d.h. wenn die Volumen der elementaren Würfelchen ijk gegen null streben. Daraus folgt die Definition des Dreifachintegrals über einem Quader, dessen Seiten parallen zu den Koordinatenachsen sind: f(x, y, z) d. = lim ijk 0 = x y y min n 1 i=1 z n 2 j=1 f(x i, y j, z k ) z k ) y j x i = (8.31) ( n3 k=1 z min f(x, y, z) dz dy dx Das Produkt dzdydx in dieser Formel heisst Volumenelement. Manchmal schreibt man für einen Integrationsbereich das Integrationselement in der kürzeren symbolischen Form d. Nach der Formel (8.31) besteht das Dreifachintegral aus drei nacheinanderfolgenden einfachen Integralen. Das Resultat des Dreifachintegrals ist von der Reihenfolge der drei Integrale unabhängig. 198

10 Beispiel Zu bestimmen ist das Dreifachintegral I = (x 2 2yz) dz dy dx Nun betrachten wir das Dreifachintegral über einem Körper, der kein Quader mehr ist, sondern irgendwelcher Körper im Raum. Das Integral kann aber nur definiert werden, wenn dieser Körper regelmässig genug ist (Siehe Figur 8.15). Abbildung 8.15: Ein dreidimensionaler Bereich. Gegeben sei ein räumlicher Körper, der durch die Ungleichungen x x y 1 (x) y y 2 (x) z 1 (x, y) z z 2 (x, y) definiert ist. Die Grenzen des gegebenen Bereichs sind nicht konstant. Gewisse davon sind von den anderen abhängig. Dann ist das Dreifachintegral einer Funktion f(x, y, z) über dem Integrationsbereich definiert durch 199

11 f(x, y, z) d. = x y 2(x) z 2(x,y) y 1(x) z 1(x,y) f(x, y, z) dz dy dx (8.32) Das Dreifachintegral besteht aus drei nacheinanderfolgen einfachen Integralen, die wegen der Grenzenabhängigkeit vom Innen nach Aussen durchgeführt werden müssen. Die Reihenfolge der Integrale ist durch die inversen Reihenfolge der Faktoren im Volumenelement (z. B. dzdydx) gegeben. Diese Reihenfolge kann frei gewählt werden. Die Grenzen müssen aber entsprechend bestimmt werden. Beispiel Gegeben sei das Tetraeder mit den Eckpunkten (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1). Zu bestimmen ist das Dreifachintegral über der Funktion f(x, y, z) = 1 (1 + x + y + z) 2. Ein spezieller Fall kommt mit der konstanten Funktion 1 vor. Diese Funktion kann als Massendichte des Körpers interpretiert werden, die überall 1 beträgt. Das Dreifachintegral der Massendichte über dem gesamten Körper gibt die gesamte Masse der Körpers, die numerisch auch gleich dem Volumen des Körpers ist. Dann gilt es: Volume() = dz dy dx (8.33) Variablenänderung bei einem Dreifachintegral Analog wir bei den Doppelintegralen, ist es manchmal vorteilhaft, ein anderes Koordinatensystem für ein Dreifachintegral zu wählen. Die Schwierigkeiten bei den Berechnungen können in einem geeigneten Koordinatensystem erheblich vereinfacht werden. Hierunten entwickeln wir eine Formel, die uns erlaubt, ein Dreifachintegral in einem anderen System zu berechnen. Gegeben ist eine invertierbare Transformation x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), y = z(u, v, w), (8.34) die erlaubt, die kartesischen Koordinaten(x, y, z) in einem anderen Koordinatensystem(u, v, w) auszudrücken. In der Transformation (8.34) wird vorausgesetzt, dass alle partielle Ableitungen existieren und stetig sind. Sei auch ein Bereich in R 3, der regelmässig genug ist. Durch die Koordinatenänderung (8.34) wird der Bereich in einen neuen räumlichen Bereich im (u, v, w)-koordinatensystem transformiert. An Stelle der Berechnung des Dreifachintegrales einer Funktion f(x, y, z) über dem Bereich, können wir eine Variablenänderung durchführen, um das Integral über dem neuen Bereich zu berechnen. Dazu ist es notwendig, bei der Transformation die entsprechende Änderung des alten Volumenelements dv = dz dy dx in das neue dv = dw dv du zu berücksichtigen. 200

12 Definition 8.8 Als Jacobische Determinante der Transformation (x, y, z) (u, v, w) bezeichnen wir die Funktionsdeterminante x x x u v w J(u, v, w) = y y y (x, y, z) = (8.35) u v w (u, v, w) z z z u v w Dann erhalten wir das Volumenelement im neuen Koordinatensystem mit der folgenden Multiplikation: dv = J(u, v, w) dv. Damit die Koordinatentransformation(x, y, z) (u, v, w) invertierbar ist, muss die Jacobische Determinante J(u, v, w) über dem ganzen Bereich ungleich Null sein, und es gilt die Formel der Variablenänderung beim Dreifachintegral: f(x, y, z) dv = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) J(u, v, w) du dv dw (8.36) Bemerkung: das alte Volumenelement dv kann auch dxdy dz notiert werden, und das neue dv auch du dv dw, wo die Reihenfolge der Faktoren jeweils frei ist und der Reihenfolge der drei einfachen Integralen entspricht. Zwei räumliche Koordinatensysteme sind speziell zu erwähnen, die am häufigsten benutzt werden: das Kugelkoordinatensystem und das Zylinderkoordinatensystem Dreifachintegral in Kugelkoordinaten Im Kugelkoordinatensystem ist ein Punkt P im Raum (ausser dem Ursprung) durch die drei folgenden Grösse bestimmt (Siehe Figur 8.16): Die euklidische Distanz r zwischen P und dem Ursprung: r = OP ; Der Winkel ϕ in der Oxy-Ebene zwischen der Projektion der Strecke OP und der Achse Ox ; Der Winkel θ zwischen der Strecke OP und der vertikalen Achse Oz. Die kartesischen Koordinaten (x, y, z) des Punkts P können im Kugelkoordinatensystem mit den folgenden Gleichungen ausgedrückt werden: x = r cosϕsinθ y = r sinϕsinθ z = r cosθ (8.37) 201

13 z y x Abbildung 8.16: Kugelkoordinaten. Die Transformation (r, ϕ, θ) (x, y, z) ist invertierbar und es gilt: r = x 2 + y 2 + z 2 tanϕ = tanθ = x y x2 + y 2 z (8.38) Die Funktionaldeterminante ist nach der Formel 8.35 gegeben durch cosϕsinθ r sinϕsinθ r cosϕcosθ (x, y, z) J(r, ϕ, θ) = (r, ϕ, θ) = sinϕsinθ r cosϕsinθ r sinϕcosθ cosθ 0 sinθ = r 2 sinθ (8.39) Dann kann das Dreifachintegral im Kugelkoordinatensystem mit der folgenden Formel berechnet werden: f(x, y, z) dv = θ 2 θ 1 ϕ 2 ϕ 1 r 2 r 1 f(x(r, ϕ, θ), y(r, ϕ, θ), z(r, ϕ, θ)) r 2 sinθ dr dϕdθ (8.40) 202

14 Beispiel Bestimmen Sie das Integral über der zentrierten Kugel mit dem Radius R. 1 x2 + y 2 + z dv Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten Im Zylinderkoordinatensystem ist ein Punkt P des Raums (ausser dem Ursprung) durch die drei folgenden Grösse bestimmt (Siehe Figur 8.17): Die Distanz r zwischen dem Punkt P und der vertikalen Achse Oz ; Der Winkel ϕ in der Oxy-Ebene zwischen der Projektion der Strecke OP und der Achse Ox ; Die Höhe z des Punkts P, d.h. seine z-koordinate. z y x Abbildung 8.17: Zylinderkoordinaten. In diesem Koordinatensystem werden die kartesischen Koordinaten (x, y, z) von P durch die folgenden Gleichungen ausgedrückt: x y z = r cosϕ = r sinϕ = z (8.41) 203

15 Die Koordinatentransformation (r, ϕ, z) (x, y, z) ist invertierbar und es gilt: r = x 2 + y 2 tanϕ = y x (8.42) z = z Die Funktionaldeterminante der Transformation (nach der Formel 8.35) ist gegeben durch cosϕ r sinϕ 0 (x, y, z) J(r, ϕ, z) = (r, ϕ, z) = sinϕ r cosϕ 0 = r (8.43) Dann berechnet sich ein Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten mit der Formel f(x, y, z) dv = z 2 z 1 ϕ 2 ϕ 1 r 2 r 1 f(x(r, ϕ, z), y(r, ϕ, z), z(r, ϕ, z)) r dr dϕ dz (8.44) Bemerkung: die Variable r hat in Zylinderkoordinaten eine ganz andere Bedeutung als in Kugelkoordinaten! Beispiel Bestimmen das Volumen des räumlichen Körpers über der Oxy-Ebene, der durch das Paraboloid mit der Gleichung z = x 2 + y 2 und das Zylinder mit der Gleichung x 2 + y 2 = a 2 begrenzt ist. Beginnen Sie mit einer Zeichnung der Körpers. ( π 2 a4 ) Einige Anwendungen Es gibt zahlreiche Anwendungen der Mehrfachintegrale in den Wissenschaften und der Technologie (Berechnungen von Massen, elektrischen Ladungen, Energien, usw.). Hier wird nur das Beispiel der Masse und des Schwerpunkts eines räumlichen Körpers zitiert. Gegeben ist ein physikalischer Körper im Raum R 3 mit dem Volumen V und der Masse m. Sei P ein beliebiger Punkt des Körpers, der einem kleinen elementaren Teilbereich gehört (z.b. kann der elementare Teilbereich ein Würfelchen sein). Das Volumen des Teilbereichs bezeichnen wir mit V und seine Masse mit m. Die örtliche Massendichte des Körpers in Punkt P kann durch die folgende Formel definiert werden: m ρ = lim 0 V 204

16 Wenn der Körper homogen ist, ist die Massendichte von dem gewählten Punkt P unabhängig. Sie ist also konstant und es gilt die einfache Formel m = ρ V. Wenn der Körper inhomogen ist, ist die Massendichte ρ = ρ(x, y, z) nicht konstant. Dann muss die gesamte Masse durch Integration der Massendichte über dem ganzen Körper berechnet werden: m = ρ(x, y, z) dv (8.45) Beispiel Ein Hohlzylinder aus Kunststoff, dessen Achse in der z-achse zwischen den Höhen z = 1 und z = 4 liegt, hat den inneren Radius R 1 = 2, den äusseren Radius R 2 = 3. Der Kunststoff ih inhomogen und die Dichte ist ρ = 1 z(x 2 + y 2. Zu bestimmen ist die Masse des Hohlzylinders. ) Die Koordinaten des Schwerpunkts S eines räumlichen Körpers können auch mit Hilfe eines Dreifachintegrales bestimmt werden. Durch physikalische Argumente (u.a. der Momentensatz) kann gezeigt werden, dass die Koordinaten (x S, y S, z S ) des Schwerpunkts sind x S = 1 x dv ; y S = 1 y dv ; z S = 1 z dv. (8.46) V V V Beispiel Ein räumlicher Körper ist von der Fläche mit der Gleichung z = x 2 +y 2 (Rotationsparaboloid) und den Ebenen x = 0, y = 0 und z = 1 begrenzt. Zu bestimmen sind die Koordinaten seines Schwerpunkts. 205

17 Aufgaben Aufgabe Zu bestimmen sind die Dreifachintegrale a) xe y+z dz dy dx b) (xy + yz + xz) dz dy dx Aufgabe Zu berechnen ist das Dreifachintegral x2 + y 2 dv, über dem Bereich in R 3, der durch die Flächen mit den Gleichungen x = 1, y = 0, y = x, z = 0 und z = x 2 + y 2 begrenzt ist. Machen Sie auch von diesem Körper eine Zeichnung. Aufgabe Ein Körper ist von der zylindrischen Fläche mit der Gleichung x 2 + y 2 = 4 und den Ebenen x + y + z 6 = 0 und z = 0 begrenzt. Machen von diesem Körper eine Zeichnung und berechnen Sie sein Volumen. Aufgabe Wie gross ist das Volumen des räumlichen Körpers, der von den Ebenen x = 0, x = 1, y = 0, z = 0 und x + y + z = 2 begrenzt ist? MAchen Sie auch davon eine Zeichnung. Aufgabe Ein Körper ist von der Kugel mit der Gleichung z = 1 x 2 y 2 und vom Kegel mit der Gleichung x 2 + y 2 = 3z 2 begrenzt. Bestimmen Sie sein Volumen mit Hilfe eines Dreifachintegrales in einem geeigneten Koordinatensystem. Aufgabe Eine inhomogene Halbkugel ist von den Flächen mit den Gleichungen x 2 + y 2 + z 2 = 4 und z = 0 begrenzt. Die Dichte des Stoffes an einer Stelle (x, y, z) ist ρ = 1 4 z. Wie gross ist die Masse des Körpers? Aufgabe Zu bestimmen sind die Koordinaten des Schwerpunkts der homogenen Halbkugel, die von den Flächen mit den Gleichungen x 2 + y 2 + z 2 = 1 und z = 0 begrenzt ist. Aufgabe An einer Höhe z weniger als [m] kann die Luftdichte δ in [kg/m 3 der Erdenatmosphäre mit der Formel δ = 1.2 ( )z + ( )z 2 angenähert werden. Zu bestimmen ist eine Schätzung der Masse einer vertikalen zylindrischen Luftsäule 10 km hoch mit dem Radius 3 [m]. 206

18 Aufgabe In dieser Aufgabe ist die Erde als eine perfekte Kugel mit dem Radius 6370 [km] approximiert (was nicht exakt ist). Die Luftdichte δ der Atmosphäre an einer Distanz ρ vom Erdenzentrum kann mit der folgenden Formel angenähert werden (in [kg/m 3 ]): für 6370 ρ 6373 [km]. δ = ( )ρ, 1. Zu bestimmen ist die Atmosphärenmasse zwischen dem Boden und der Höhe 3000 m. 2. Die gesamte Masse zwischen dem Boden und der Höhe 100 km beträgt ca [kg]. Wie gross ist der prozentuale Anteil der Luftmasse, die in den niedrigen Schichten (d.h.: m) der Atmosphäre konzentriert ist? 207