Mathematik II Frühlingssemester 2019 Kapitel 10: Mehrdimensionale Integrale
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- Hansl Hausler
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1 Mathematik II Frühlingssemester 2019 Prof. Dr. Erich Walter Farkas farkas 1 / 40
2 10. Mehrdimensionale Integrale Doppelintegrale Definition und geometrische Deutung von Doppelintegralen Berechnung von Doppelintegralen Dreifachintegrale Definition von Dreifachintegralen Berechnung von Dreifachintegralen 2/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
3 Literatur Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2 Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium 14. Auflage Springer Verlag Seiten , Seiten (Übungsaufgaben mit Lösungen im Anhang) 3/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
4 Definition und geometrische Deutung von Doppelintegralen x z y 0 x 0 Fläche z = f (x; y) y Zylinder Bereich (A) Zylindrischer Körper mit der Deckelfläche z = f (x; y) Anhand eines geometrischen Problems, erklären wir zuerst die Idee hinter dem Doppelintegral in anschaulicher Weise: z = f (x; y) sei eine im Bereich (A) definierte und stetige Funktion mit f (x; y) 0. Betrachte den im Bild dargestellten zylindrischen Körper. Sein Boden besteht aus dem Bereich (A) der xy-ebene, sein Deckel ist die Bildfläche von z = f (x; y). Die auf dem Rand des Bereiches (A) errichteten Mantellinien verlaufen dabei parallel zur z-achse. Unser Interesse gilt nun dem Zylindervolumen V. 4/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
5 Definition und geometrische Deutung von Doppelintegralen Bestimmung der Zylindervolumens 1 Zunächst wird der Bereich (A) ( Zylinderboden ) in n Teilbereiche mit den Flächeninhalten A 1, A 2,..., A n zerlegt. Der Zylinder selbst zerfällt dabei in eine gleich grosse Anzahl von Röhren. 2 Wir beschäftigen uns nun näher mit der (wahllos herausgegriffenen) k-ten Röhre. Ihr Boden ist eben und vom Flächeninenhalt A k, ihr Deckel dagegen als Teil der Bildfläche von z = f (x; y) i.a gekrümmt. Das Volumen V k dieser Röhre stimmt dann näherungsweise mit dem Volumen einer Säule überein, die über der gleichen Grundfläche errichtet wird und deren Höhe durch die Höhenkoordinate z k = f (x k ; y k ) des Flächenpunktes P k = (x k ; y k ; z k ) gegeben ist: V k = z k A k = f (x k ; y k ) A k Mit den übrigen Röhren verfahren wir ebenso. Durch Aufsummierung der Röhren- bzw. Säulenvolumina erhalten wir schliesslich den folgenden Näherungswert für das gesuchte Zylindervolumen V : n n V = V k f (x k ; y k ) A k k=1 k=1 5/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
6 z y 0 P k x 0 Fläche z = f (x; y) y Zylinder Dieser Näherungswert lässt sich noch verbessern, wenn wir in geeigneter Weise die Anzahl der Röhren (Säulen) vergrössern. Wir lassen nun die Anzahl n der Teilbereiche unbegrenzt wachsen (n + ), wobei gleichzeitig der Durchmesser eines jeden Teilbereiches gegen Null streben soll. Bei diesem Grenzübergang strebt die Summe gegen einen Grenzwert. x Bereich (A) Zylindrischer Körper mit der Deckelfläche z = f (x; y) 6/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
7 Definition und geometrische Deutung von Doppelintegralen Definition Der Grenzwert lim n ( A k 0) n f (x k ; y k ) A k i=1 wird (falls er existiert) als Doppelintegral bezeichnet und durch das Symbol f (x; y)da gekennzeichnet. (A) 7/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
8 Definition und geometrische Deutung von Doppelintegralen Anmerkungen Auch die symbolische Schreibweise (A) Integralzeichen verwendet, ist möglich. f (x; y)da, die nur ein Wir führen noch folgende Bezeichnungen ein: x, y Integrationsvariablen f (x; y) Integrandfunktion (kurz: Integrand) da Flächendifferential oder Flächenelement (A) Integrationsbereich Für den Begriff Doppelintegral sind auch folgende Bezeichnungen üblich: 2-dimensionales Bereichs- oder Gebietsintegral, Flächenintegral. Der Grenzwert ist vorhanden, wenn der Integrand f (x; y) im Integrationsbereich (A) stetig ist. 8/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
9 Doppelintegral in kartesischen Koordinaten Ein normaler Integrationsbereich (A) lässt sich durch die Ungleichungen f u(x) y f o(x) beschreiben, wobei y u = f u(x) die untere und y o = f o(x) die obere Randkurve ist und die seitlichen Begrenzungen aus zwei Parallelen zur y-achse mit den Funktionsgleichungen x = a und x = b bestehen. y y o = f o (x) da dx dy Das Flächenelement da besitzt in der kartesischen Darstellung die geometrische Form eines Rechtecks mit den infinitesimal kleinen Seitenlängen dx und dy. Somit ist a b x da = dx dy. y u = f u(x) 9/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
10 Doppelintegral in kartesischen Koordinaten Über diesem Flächenelement liegt eine (quaderförmige) Säule mit dem infinitesimal kleinen Rauminhalt dv = z da = f (x; y) dx dy Das Volumen V berechnen wir nun schrittweise durch Summation der Säulenvolumina. Berechnung von Doppelintegralen unter Verwendung kartesischer Koordinaten Die Berechnung des Doppelintegrals (A) f (x; y)da mit (A) einem normalem Integrationsbereich erfolgt durch zwei nacheinander auszuführende gewöhnliche Integrationen: (A) f (x; y)da = b f o (x) x=a y=f u(x) f (x; y) dy dx 10/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
11 Doppelintegral in kartesischen Koordinaten Berechnung von Doppelintegralen unter Verwendung kartesischer Koordinaten (A): Integrationsbereich Innere Integration (nach der Variablen y) Die Variable x wird zunächst als eine Art Konstante (Parameter) betrachtet und die Funktion (x, y) f (x; y) unter Verwendung der für gewöhnliche Integrale gültigen Regeln nach der Variablen y integriert. In die ermittelte Stammfunktion setzt man dann für y die Integrationsgrenzen f o(x) bzw. f u(x) ein und bildet die entsprechende Differenz. Äussere Integration (nach der Variablen x) Die als Ergebnis der inneren Integration erhaltene, nur noch von der Variablen x abhängige Funktion, wird nun in den Grenzen von x = a bis x = b integriert. 11/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
12 Doppelintegral in kartesischen Koordinaten Anmerkungen Die Reihenfolge der Integrationen ist eindeutig durch die Reihenfolge der Differentiale im Doppelintegral festgesetzt. Sie ist nur dann vertauschbar, wenn sämtliche Integrationsgrenzen konstant sind (rechteckiger Integrationsbereich): x 2 y 2 y 2 x 2 x=x 1 y=y 1 x=x 1 y=y 1 f (x; y)dy dx = f (x; y)dx dy Bei einem Doppelintegral vom Typ b f o (y) y=a x=f u(y) f (x; y) dx dy wird zunächst nach x und erst anschliessend nach der Variablen y integriert. 12/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
13 Doppelintegral in kartesischen Koordinaten Beispiel Wir berechnen das Doppelintegral 1 π/4 x=0 y=0 Innere Integration (nach der Variablen y): π/4 y=0 x cos(2y) dy = x x cos(2y) dy dx. π/4 y=0 cos(2y) dy [ 1 = x 2 sin(2y) = 1 2 x ] π/4 y=0 13/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
14 Doppelintegral in kartesischen Koordinaten Äussere Integration (nach der Variablen x): 1 x=0 1 2 x dx = = 1 2 x=0 [ 1 2 x 2 x dx ] 1 x=0 Ergebnis: = π/4 x cos(2y) dy dx = 1 4 x=0 y=0 14/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
15 Doppelintegral in kartesischen Koordinaten Beispiel 1 x x=0 y=x xy dy dx =? Innere Integration (nach der Variablen y): x y=x xy dy = x x y=x y dy [ 1 = x 2 y 2 ] x = 1 2 x(x x 2 ) = 1 2 (x 2 x 3 ) x 15/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
16 Doppelintegral in kartesischen Koordinaten Äussere Integration (nach der Variablen x): 1 x=0 1 2 (x 2 x 3 ) dx = 1 [ x 3 1 ] 1 4 x 4 0 Ergebnis: 1 x x=0 y=x = 1 24 xy dy dx = /40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
17 Doppelintegral in Polarkoordinaten y dφ rdφ r dr φ + dφ da = r dr dφ φ r + dr x Das Flächenelement da wird in der Polarkoordinatendarstellung von zwei infinitesimal benachbarten Kreisen mit den Radien r und r + dr und zwei infinitesimal benachbarten Strahlen mit den Polarwinkeln φ und φ + dφ berandet. da = r dr dφ 17/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
18 Doppelintegral in Polarkoordinaten Berechnung von Doppelintegralen unter Verwendung von Polarkoordinaten Beim Übergang von den kartesischen Koordinaten (x; y) zu den Polarkoordinaten (r; φ) gelten die Transformationsgleichungen x = r cos(φ), y = r sin(φ), da = r dr dφ Ein Doppelintegral f (x; y)da transformiert sich dabei wie folgt auf dem (A) Integrationsbereich (A): f (x; y)da = φ 2 r a(φ) f (r cos(φ); r sin(φ)) r dr dφ (A) φ=φ 1 r=r i (φ) Die Integralberechnung erfolgt dabei in zwei nacheinander auszuführenden gewöhnlichen Integrationsschritten: Innere Integration nach der Variablen r, wobei die Winkelkoordinate φ als Parameter festgehalten wird. Äussere Integration nach der Variablen φ. 18/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
19 Doppelintegral in Polarkoordinaten Beispiel xy da? (A) mit (A) = {(r cos(φ); r sin(φ)) φ [0, π/4], r [0, 2]} Lösung: Bei Verwendung der Polarkoordinaten transformiert sich der Integrand f (x; y) wie folgt: f (x; y) = xy = r 2 cos(φ) sin(φ) Das Doppelintegral lautet somit in der Polarkoordinatendarstellung: (A) xy da = π/4 2 φ=0 r=0 r 2 cos(φ) sin(φ) r dr dφ 19/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
20 Doppelintegral in Polarkoordinaten Innere Integration (nach der Variablen r): 2 r=0 [ r 3 r 4 cos(φ) sin(φ) dr = cos(φ) sin(φ) 4 = 4 cos(φ) sin(φ) Äussere Integration (nach der Variablen φ): ] 2 r=0 π/4 φ=0 4 cos(φ) sin(φ) dφ = π/4 φ=0 2 sin(2φ) dφ = [ cos(2φ)] π/4 φ=0 = 1 20/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
21 Der Flächeninhalt A eines (kartesichen) Normalbereichs (A) lässt sich nach dem Baukastenprinzip aus infinitesimal kleinen rechteckigen Flächenelementen von Flächeninhalt da = dx dy zusammensetzen. Flächeninhalt Definitionsformel: A = (A) da In kartesischen Koordinaten: In Polarkoordinaten: A = b f o (x) x=a y=f u(x) dy dx A = φ 2 r a(φ) r dr dφ φ=φ 1 r=r i (φ) 21/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
22 Flächeninhalt Anmerkungen Die innere Integration (nach der Variablen y) lässt sich beim Doppelintegral sofort ausführen. Wir erhalten die Darstellung: A = b a (f o(x) f u(x))dx Auch in der Polarkoordinatendarstellung kann das Integral sofort bestimmt werden: A = φ 2 r a(φ) φ 1 r=r i (φ) r dr dφ = = φ 2 φ 1 φ 2 [ r 2 2 ] ra(φ) dφ r=r i (φ) ( r 2 a (φ) r 2 i (φ) ) dφ φ 1 22/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
23 Flächeninhalt Beispiel Wir berechnen den Flächeninhalt einer Mittelpunktellipse mit der Gleichung b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 im 1. Quadranten mit Hilfe eines Doppelintegrals. Die Integrationsgrenzen lauten somit: y-integration: Von y = 0 bis y = b a a 2 x 2 x-integration: Von x = 0 bis x = a Nach der Integralformel ist dann: A = a x=0 b a a 2 x 2 y=0 dy dx = a x=0 = b a b a a 2 x 2 dx [ 1 2 = πab 4 ( x a ( 2 x 2 + a 2 x )) ] a arcsin a x=0 23/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
24 Flächeninhalt Der Flächeninhalt der Ellipse beträgt somit a b a a2 x 2 A = 4 dy dx = πab x=0 y=0 24/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
25 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche Definitionsformeln: x S = 1 A x da, y S = 1 A y da (A) (A) In kartesischen Koordinaten: x S = 1 A b f o (x) x=a y=f u(x) In Polarkoordinaten: x dy dx, y S = 1 A b f o (x) x=a y=f u(x) y dy dx x S = 1 A φ 2 r a(φ) r 2 cos(φ) dr dφ y S = 1 A φ=φ 1 r=r i (φ) φ 2 r a(φ) φ=φ 1 r=r i (φ) wobei A für den Flächeninhalt der Fläche (A) steht. 25/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II r 2 sin(φ) dr dφ
26 Schwerpunkt einer Fläche Anmerkungen In den Doppelintegralen ist die innere Integration nach y sofort durchführbar. x S = 1 b A x (f o(x) f u(x))dx y S = 1 2A a b a (f 2 o (x) f 2 u (x))dx Auch in der Polarkoordinatendarstellung lässt sich die innere Integration nach der Variablen r sofort ausführen: φ 2 x S = 1 3A (ra 3 (φ) ri 3 (φ)) cos(φ)dφ φ 1 y S = 1 φ 2 3A (ra 3 (φ) ri 3 (φ)) sin(φ)dφ φ 1 26/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
27 Flächenmomente (Flächenträgheitsmomente) Axiale und polare Flächenmomente 2. Grades (Flächenträgheitsmomente) Definitionsformeln: I x = y 2 da, I y = x 2 da (A) (A) I p = I x + I y In kartesischen Koordinaten: I x = I y = I p = b f o (x) x=a y=f u(x) b f o (x) x=a y=f u(x) b f o (x) y 2 dy dx x 2 dy dx (x 2 + y 2 ) dy dx x=a y=f u(x) 27/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
28 Flächenmomente (Flächenträgheitsmomente) Axiale und polare Flächenmomente 2. Grades (Flächenträgheitsmomente) In Polarkoordinaten: I x = φ 2 r a(φ) r 3 sin 2 (φ) dr dφ I y = I r = φ=φ 1 r=r i (φ) φ 2 r a(φ) φ=φ 1 r=r i (φ) φ 2 r a(φ) r 3 cos 2 (φ) dr dφ r 3 dr dφ φ=φ 1 r=r i (φ) 28/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
29 Definition von Dreifachintegralen x z Teilbereich V k y 0 x 0 Bereich (V ) (Körper) Zylindrischer Körper mit der Deckelfläche z = f (x; y) y u = f (x; y; z) sei eine im raümlichen Bereich (V ) definierte und stetige Funktion. Den Bereich (auch Körper genannt) unterteilen wir zunächst in n Teilbereiche, mit dem k-ten Teilbereich vom Volumen V k werden wir uns nun eingehender befassen. In diesem Teilbereich wählen wir einen beliebigen Punkt P k = (x k ; y k ; z k ) aus, berechnen an dieser Stelle den Funktionswert u k = f (x k ; y k ; z k ) und bilden schliesslich das Produkt aus Funktionswert und Volumen: f (x k ; y k ; z k ) V k. 29/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
30 Definition von Dreifachintegralen Definition Der Grenzwert lim n ( V k 0) n f (x k ; y k ; z k ) V k i=1 wird (falls er existiert) als Dreifachintegral bezeichnet und durch das Symbol f (x; y; z) dv gekennzeichnet. (V ) 30/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
31 Definition von Dreifachintegralen Anmerkungen Wir führen noch folgende Bezeichnungen ein: x, y, z Integrationsvariablen f (x; y; z) Integrandfunktion (kurz: Integrand) dv Volumendifferential ober Volumenelement (V ) Räumlicher Integrationsbereich oder Körper Der Grenzwert ist vorhanden, wenn der Integrand f (x; y; z) im Integrationsbereich stetig ist. 31/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
32 Berechnung von Dreifachintegralen Berechnung von Dreifachintegralen unter Verwendung kartesischer Koordinaten Die Berechnung eines Dreifachintegrals f (x; y; z) dv erfolgt durch drei nacheinander auszuführende gewöhnliche Integrationen: (V ) (V ) f (x; y; z) dv = b f o (x) g o (x;y) x=a y=f u(x) z=g u(x;y) f (x; y; z) dz dy dx (V ) : Zylindrischer Integrationsbereich. Die einzelnen Integrationsschritte erfolgen dabei von innen nach aussen, d.h. in der Reihenfolge z, y, x, wobei jeweils die übrigen Variablen als Parameter festgehalten werden. 32/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
33 Berechnung von Dreifachintegralen Anmerkung Für f (x; y; z) = 1 beschreibt das dreifache Integral das Volumen V des zylindrischen Körpers (V ): (V ) dv = b f o (x) g o (x;y) x=a y=f u(x) z=g u(x;y) dz dy dx Beispiel 2 x x y x=1 y=0 z=0 y e z dz dy dx =... = 1, /40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
34 Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten z z 0 P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) φ x 0 y y 0 x Zylinderkoordinaten Die Zylinderkoordinaten eines Raumpunktes P bestehen aus den Polarkoordinaten r und φ des Projektionspunktes P in der x, y-ebene und der (kartesischen) Höhenkoordinate z. 34/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
35 Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten Berechnung von Dreifachintegralen unter Verwendung von Zylinderkoordinaten Beim Übergang von den kartesischen Raumkoordinaten (x; y; z) zu den Zylinderkoordinaten (r; φ; z) gelten die Transformationsgleichungen x = r cos(φ), y = r sin(φ), z = z dv = dx dy dz = r dz dr dφ Ein Dreifachintegral dv transformiert sich dabei wie folgt: (V ) f (x; y; z) dv = φ 2 r a(φ) z o (r;φ) f (r cos(φ); r sin(φ); z) r dz dr dφ (V ) φ=φ 1 r=r i (φ) z=z u(r;φ) Die Integration erfolgt dabei in drei nacheinander auszuführenden gewöhnlichen Integrationsschritten in der Reihenfolge z, r, und φ. 35/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
36 Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten Funktionsgleichung einer Rotationsfläche Durch Rotation einer Kurve z = f (x) um die z-achse entsteht eine Rotationsfläche mit der Funktionsgleichung z = f (r). Die Gleichung der Rotationsfläche erhält man dabei formal aus der Kurvengleichung mit Hilfe der Substitution x r Anmerkung Bei einer Rotationsfläche z = f (r) hängt die Höhenkoordinate z wegen der Rotationssymmetrie nur von r, nicht aber von der Winkelkoordinate φ ab. 36/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
37 Volumen eines (zylindrischen) Körpers Volumen eines (zylindrischen) Körpers Definitionsformel: (V ) dv In kartesischen Koordinaten: V = b f o (x) g o (x;y) x=a y=f u(x) z=g u(x;y) dz dy dx In Zylinderkoordinaten f (x; y; z) dv = φ 2 r a(φ) z o (r;φ) r dz dr dφ (V ) φ=φ 1 r=r i (φ) z=z u(r;φ) 37/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
38 Schwerpunkt eines homogenen Körpers 38/40 wobei V für den Prof. Volumeninhalt Dr. Erich Walter des Farkas Volumen Mathematik (V ) IIsteht. Schwerpunkt eines homogenen Körpers Definitionsformel der Schwerpunktkoordinaten: x S = 1 x dv, y S = 1 y dv, z S = 1 V V V z dv (V ) In kartesischen Koordinaten: (V ) (V ) x S = 1 V y S = 1 V z S = 1 V b f o (x) z o (x;y) x=a y=f u(x) z=z u(x;y) b f o (x) z o (x;y) x=a y=f u(x) z=z u(x;y) b f o (x) z o (x;y) x=a y=f u(x) z=z u(x;y) x dz dy dx y dz dy dx z dz dy dx
39 Schwerpunkt eines homogenen Körpers Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers (Rotationsachse: z-achse) Unter Verwendung von Zylinderkoordinaten gilt für den auf der Rotationsachse (z-achse) liegenden Schwerpunkt S = (x S ; y S ; z S ): x S = 0, y S = 0, z S = 1 z r dz dr dφ V V: Rotationsvolumen (berechnet nach der Integralformel). (V ) 39/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
40 Massenträgheitsmoment eines homogenen Körpers Massenträgheitsmoment eines homogenen Körpers Definitionsformel: In kartesischen Koordinaten: Dabei bedeuten: J = ρ b J = ρ f o (x) (V ) g o (x;y) x=a y=f u(x) z=g u(x;y) r 2 A dv (x 2 + y 2 ) dz dy dx r A : Senkrechter Abstand des Volumenelementes dv von der Bezugsachse A. ρ: konstante Dichte des Körpers. 40/40 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik II
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