Zylinderkoordinaten 1 E1. Ma 2 Lubov Vassilevskaya

Transkript

1 Zylinderkoordinaten E

2 E

3 E3

4 Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten Die Koordinaten sind durch die Beziehungen definiert: x x u, v, w, y y u, v, w, z z u, v, w Für sie sollen stetige partielle Ableitungen. Ordnung existieren. Durch diese Transformationsgleichungen wird der räumliche Be reich V auf einen räumlichen Bereich V abgebildet. D x u y u z u D x, y, z D u, v, w x v y v z v x w y w z w dv dx dy dz D du dv dw f x, y, z dx dy dz V g u, v, w D du dv dw V u v u w u, v g u, v, w dv V g u, v, w D du dv dw u v u w u, v

5 Zylinderkoordinaten Abb. : Ein Punkt im zylindrischen Koordinatensystem Die Zylinderkoordinaten bestehen aus: den Polarkoordinaten r und φ der Projektion des Punktes P auf die x, y Ebene und der z Koordinate des Punktes P

6 Zylinderkoordinaten Abb. : Zylinder Die Transformationsgleichungen: x r cos y r sin zz 3

7 Zylinderkoordinaten Abb. 3: Zylinder Die Koordinatenflächen dieses Systems sind: die Zylinderflächen mit dem Radius r const, die von der z Achse ausgehenden Halbebenen mit φ const und die zur z Achse senkrechten Ebenen mit z const 4

8 Die Jacobi Determinante x r cos, D x, y, z D D r,, z y r sin, x r y r z r x y z x z y z z z zz cos r sin sin r cos r dv dx dy dz D dr d dz r dr d dz Nach der Darstellung des Integranden in Zylinderkoordinaten lautet das Integral: r z r, f r,, z dv V 5 f r,, z r dz dr d r z r,

9 Zylinderkoordinaten: Aufgaben, Aufgabe : Berechnen Sie folgende Integrale in Zylinderkoordinaten Ia y x y y 0 Ib x 0 x y z dz dx dy z x y y x y y x0 x y z dz dx dy z x y Aufgabe : Bestimmen Sie die Masse eines Körpers mit der Dichte funktion ρ 8 + x + y, der von dem Paraboloid f (x, y) 6 x² y² und der x, y Ebene begrenzt wird M dv V A

10 Zylinderkoordinaten: Lösung a Abb. L : Der Integrationsbereich in der x,y Ebene 0 y, dv dx dy dz r dr d dz, a 0 x y, 0 x y z, x y 0 r, r z r

11 Zylinderkoordinaten: Lösung a x r cos, y 0 x 0 r r cos r sin z r dr d dz cos sin d b 48 0 r r 3 dr r 0 0 x y z dz dx dy z x y 0 r 0 z r zz y x y Ia y r sin, cos sin d zr z dz 96

12 Zylinderkoordinaten: Lösung a In kartesischen Koordinaten: y x y I y 0 x 0 z x y y y 0 4 c y 0 x y z dz dx dy x y x y x y dx dy x 0 y 3 y 5 y 7 dy 96

13 Zylinderkoordinaten: Lösung b Abb. L : Der Integrationsbereich in der x,y Ebene y, a 0 x y

14 Zylinderkoordinaten: Lösung b y x y Ib y x 0 x y z dz dx dy zx y y y x y x y x y dx dy 0 x 0 (aus Symmetriegründen) Das Integral kann man in folgender Form darstellen: Ib x f x, y dx dy, f x, y y x x x y x y x y Die Funktion f (x, y) ist in y ungerade und der Integrationsbereich ist symmetrisch bezüglich x Achse f x, y f x, y b

15 Zylinderkoordinaten: Lösung Abb. L : Graphische Darstellung der Funktion f (x, y) 6 x² y². L ist die Schnittkurve der Fläche z f (x, y) mit der x,y Ebene Die Schnittkurve mit der x,y Ebene ist die Kreislinie: 6 x y 0 3a x y 6

16 Zylinderkoordinaten: Lösung Abb. L : Der Körper, der von der Funktion f (x, y) 6 x² y² und x,y Ebene begrenzt wird. L ist die Schnittkurve der Fläche z f (x, y) mit der x,y Ebene 3b

17 Zylinderkoordinaten: Lösung M dv r dz dr d 8 x y r dz dr d V 0, M 4 0 r 4, 0 z 6 r 6 r 8 r cos r sin r dz dr d 0 r 0 z 0 4 r 6 r dr r 0 8 r cos r sin d r 6 r dr ME r 0 3c

18 Zylinder in der Kunst Abb. 4 : Carl Spitzweg, Mann mit Zylinderhut 4a Abb. 4 : Hugo Mühlig, Herr mit Zylinder

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