1 Krummlinige Koordinatensysteme

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1 1 Krummlinige Koordinatensysteme 1.1 Ebene Polarkoordinaten Ebene Polarkoordinaten sind für zweidimensionale rotationssymmetrische Probleme geeignet. Die Länge der gedachten Verbindungslinie eines Punktes P zum Ursprung gibt die r genannte Abstandskoordinate; der gegen den Urzeigersinn gemessene Winkel zwischen der gedachten Verbindungslinie und der Polarkoordinatenrichtung gibt die zweite Koordinate. ei gegebenem Koordinatenursprung ist also der Punkt P durch r und eindeutig bestimmt. Wenn man ein Kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung sowie der x -Achse in Polarkoordinatenrichtung wählt ergeben sich die Transformationsgleichungen zwischen den beiden Darstellungen: x = r sin (1) y = r cos (2)

2 r d φ dr φ r x bzw. r = q x 2 + y 2 = arctan y x : (3) Für ein Flächenelement ergibt sich unter erücksichtigung des radialen Anwachsens des Kreisbogenauschnitts (vgl. orange und blaue Föäche in der Abbildung) der Ausdruck da = r dr d: (4)

3 eispiel: Die Nützlichkeit der Polarkoordinaten kommt bei der erechnung der Kreis äche deutlich zum Ausdruck (a) erechnung der Kreis äche in kartesischen Koordinaten. (b) erechnung der Kreis äche in Polarkoordinaten. 1.2 Zylinderkoordinaten Zylinderkoordinaten verwendet man bei reidimensionalen rotationssymmetrischen Problemstellungen. Sie leiten sich von den Polarkoordinaten ab, indem man die dritte Koordinatenachse hinzunimmt:: x = r cos (5) y = r sin (6) z = z (7)

4 mit r ; 2 und Volumenelement lautet 1 z +1. Das r dr d dz (8) eispiel: erechnung des Trägheitsmomentes eines Hohlzylinders. 1.3 Kugelkoordinaten Sei ~r der Ortsvektor von P (also der Vektor, der den Koordinatenursprung O mit P verbindet) und ~r xy die Pro-

5 jektion von ~r in die x-y-ebene. Dann haben die Kugelkoordinaten von P folgende edeutung: r ist der Abstand des Punktes P vom Koordinatenursprung O, also die Länge des Vektors r; (Polarwinkel ) ist der Winkel zwischen der positiven z-achse und r xy, gezählt von bis ( bis 18 ), und (Azimutwinkel) ist der Winkel zwischen der positiven x-achse und r xy, gezählt von bis 2 ( bis 36 ) gegen den Uhrzeigersinn.

6 Die Transformationsgleichungen von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten lauten: x = r sin() cos() (9) x = r sin() sin() (1) z = r cos() (11) Die Rücktransformation erfolgt gemäß q r = x 2 + y 2 + z 2 (12) tan = y xq x 2 + y 2 tan = z (13) (14) Un ein Volumenelement dv in Kugelkoordinaten anzugeben, muss man sich anhand der folgenden Abbildung zunächst klarmachen, dass das eingezeichnete Volumenelement in radialer Richtung die Ausdehnung dr besitzt, entlang des Längengrades ist die Ausdehnung rd, wohingegen die Ausdehnung entlang des reitengrades von r und

7 dem Polarwinkel abhängt und r sin d beträgt. Die Abhängigkeit vom Polarwinkel wird anhand des unten gezeigten Netztes von Längen- und reitenkreisen auf dem Globus schnell einsichtig. Der Abstand zwischen zwei Längengraden vermindert sich vom Äquator zu den Polen hin kontinuierlich und wird am Pol gerade Null. Zusammen ergibt sich dv = r 2 sin dr d d (15) und für das Integral über das Volumen einer Kugel dementsprechend ZR r 2 dr Z sin d 2 Z d: (16)

8 eispiele: (a) Volumen einer Kugel. (b) Schwerpunkt einer homogenen Halbkugel

9 2 Trägheitstensor Wir kennen die folgenden Zusammenhänge für lineare ewegungen: p = m E kin = 1 2 m2 : Können wir entsprechende Zusammenhänge für Rotationsbewegungen nden? Wir erwarten, dass die Winkelgeschwindigkeit! die Rolle von und der Drehimpuls ~ L die des Impulses ~p. In welcher Form müssen wir die träge Masse m verallgemeinern? etrachten wir zunächst einen einzelnen Massepunkt.. Wir wissen und führen nun! gemäß ~L = ~r ~p = m (~r ~) ~ = ~! ~r

10 ein ~L = m ~r (~! ~r) : Für den Fall, dass ~r? ~! erhalten wir für den etrag des Drehimpulses sofort L = m r 2! = I! (17) und man erkennt in der Größe I = mr 2 das Trägheitsmoment, d.h. für Rotationsbewegungen ist nicht die Masse, sondern das Trägheitsmoment das geeignete Maßfür das eharrungsvermögen. etrachten wir im nächsten Schritt die kinetische Energie des rotierenden Massepunktes E rot = 1 2 m2 = 1 2 m (! r)2 = 1 2 mr2! 2 = 1 2 I!2 auch hier nden wir also eine entsprechende eziehung. Der Schönheitsfehler in den bisherigen etrachtungen liegt darin, dass sie nicht allgemein gültig sind, weil wir uns auf den Fall ~r? ~! und einen einzelnen Massepunkt

11 beschränkt haben. Das Trägheitsmoment und der Drehimpuls hängen aber o ensichtlich von der Wahl der Rotationsachse und der Orientierung des Koordinatensystems ab. Wir suchen also eine verallgemeinerte eziehung für (17) der Form L ~ = A ~! mit einem "Operator" A, der, unabhängig vom gewählten Koordinatensystem, bei Anwendung auf ~! den zugehörigen Drehimpuls ergibt. Welche Aussage können wir über A tre en? Weil L ~ nicht notwendigerweise parallel zu ~! ist, kann A kein Skalar sein. A muss vielmehr eine Matrix sein mit 3x3 Komponenten sein. Dann schreibt sich ~y = ~A~x komponentenweise als y 1 y 2 y 3 1 A = = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 1 A x 1 x 2 x 3 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2 x 3 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 1 A 1 A : estimmen wir nun die Komponenten von ~ I: Ausgehend von ~L = m ~r ~ = m ~r (~! ~r)

12 wenden wir die Regel für das doppelte Kreuzprodukt ~a ~ b ~c = ~ b (~a ~c) ~c ~a ~ b an und erhalten ~L = m ~! (~r ~r) m ~r (~! ~r) = m ~! r 2 m [r x (! x r x +! y r y +! z r z ) ~e x +r y (! x r x +! y r y +! z r z ) ~e y + +r z (! x r x +! y r y +! z r z ) ~e z ] = m x 2 + y 2 + z 2 = m = ~ I ~! m ~L j = ~ I jk! k x 2 xy xz yx y 2 yz zx zy z A! x! y! z 1 A 1 A y 2 + z 2 xy xz yx x 2 + z 2 yz zx zy x 2 + y 2! x! y! z 1 A 1 A! x! y! z 1 A

13 Die Größe ~I wird als Trägheitstensor bezeichnet. Durch diese lineare eziehung ist dem Vektor ~! der Vektor L ~ zugeordnet. Diese Zuordnung ist durch die Physik bestimmt. Sie hängt nicht von der Orientierung des Koordinatensystems ab, in dem man die Rechnung durchführt. Wenn man in einem gedrehten System xyz rechnet, ist dem Vektor ~! derselbe Vektor L ~ zugeordnet. Die Komponenten der Vektoren und die Komponenten des Trägheitstensors Ĩ jk haben im gestrichenen System aber andere Werte. De nition 1 Eine lineare eziehung, die einem Vektor (hier ~!) einen zweiten Vektor (hier ~ L) so zuordnet, dass die Zuordnung im Raum nicht von der Orientierung des Koordinatensystems abhängt, nennt man einen Tensor zweiter Stufe.