2. Translation und Rotation

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "2. Translation und Rotation"

Transkript

1 2. Translation und Rotation 2.1 Rotation eines Vektors 2.2 Rotierendes ezugssystem 2.3 Kinetik Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

2 2.1 Rotation eines Vektors Gesucht wird die zeitliche Änderung eines Vektors, der nur seine Richtung, nicht aber seine Länge ändert. Zuerst wird der ebene Fall betrachtet. Das Ergebnis wird anschließend auf den Fall einer Rotation im Raum erweitert. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

3 2.1.1 Ebene Rotation In der xy-ebene kann ein Vektor konstanter Länge, dessen Richtung von der Zeit abhängt, dargestellt werden in der Form c t =c cos t e x sin t e y y e y c(t) Für die zeitliche Ableitung folgt e x φ(t) x ċ t = d c dt t =c t sin t e x t cos t e y =c t sin t e x cos t e y y e y e x φ(t) c(t) φ(t) dc(t)/dt x Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

4 2.1.1 Ebene Rotation Es gilt: c ċ=c 2 cos e x sin e y sin e x cos e y =c 2 cos sin sin cos =0 Die Ableitung des Vektors steht also senkrecht auf dem Vektor selbst. Der Vektor der Winkelgeschwindigkeit wird definiert durch = e z Für das Vektorprodukt folgt c=c e z cos e x sin e y =c cos e z e x sin e z e y =c cos e y sin e x =ċ Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

5 2.1.1 Ebene Rotation Ergebnis: Für die zeitliche Ableitung eines Vektors konstanter Länge gilt ċ= c Dabei ist = e z die Winkelgeschwindigkeit. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

6 2.1.2 Räumliche Rotation Eine räumliche Rotation wird durch einen beliebig im Raum liegenden Vektor ω beschrieben. Die Richtung des Vektors definiert die Drehachse. Der etrag des Vektors entspricht der Winkelgeschwindigkeit. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

7 2.1.2 Räumliche Rotation In der Ebene, die durch den Punkt D geht und auf der der Vektor ω senkrecht steht, liegt eine ebene Rotation vor. Also gilt: Wegen gilt aber auch: Also gilt wie im ebenen Fall: ċ= c N c P c P =0 ċ= c C P ċ P =0 D C C N ω dc/dt c=c P c N c N c P Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

8 2.2 Rotierendes ezugssystem Untersucht wird die ewegung eines Punktes P in ezug auf 2 Koordinatensysteme: System Oxyz ist ruhend: Ursprung O Einheitsvektoren e x, e y, e z Koordinaten x, y, z System ξηζ bewegt sich translatorisch und rotatorisch: Ursprung Einheitsvektoren b ξ (t), b η (t), b ζ (t) Koordinaten ξ, η, ζ Die Richtung der Einheitsvektoren hängt jetzt von der Zeit ab. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

9 2.2 Rotierendes ezugssystem ζ ω P z r P b ζ b e z η b ξ r P η e x O e y y r ξ x Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

10 Ortsvektoren: 2.2 Rotierendes ezugssystem Für den Ortsvektor des Punktes P im System Oxyz gilt r P =r r P Dabei ist r P = b t b t b t der Ortsvektor des Punktes P im System ξηζ. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

11 2.2 Rotierendes ezugssystem Geschwindigkeiten: Für die Absolutgeschwindigkeit gilt v P =ṙ P =ṙ ṙ P Da sich bei einem rotierenden ezugssystem die Richtungen der Einheitsvektoren b ξ (t), b η (t) und b ζ (t) ändern, gilt jetzt ṙ P = b b b ḃ ḃ ḃ Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

12 2.2 Rotierendes ezugssystem Die Geschwindigkeit v P = d r P dt = b b b ist die Geschwindigkeit, die ein mit dem System ξηζ mitbewegter eobachter misst. Mit ḃ = b, ḃ = b, ḃ = b folgt für den Ausdruck in der zweiten Klammer: ḃ ḃ ḃ = b b b = r P Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

13 2.2 Rotierendes ezugssystem Damit gilt: ṙ P = d dt r P r P Diese Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen der zeitlichen Ableitung in ezug auf das bewegte System und der zeitlichen Ableitung in ezug auf das ruhende System. Sie gilt sinngemäß für beliebige Vektoren. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

14 2.2 Rotierendes ezugssystem Für die Absolutgeschwindigkeit gilt also: Dabei ist die Geschwindigkeit des Punktes, die ein eobachter im System Oxyz misst, v =ṙ die Geschwindigkeit des Punktes P, die ein mitbewegter eobachter im System ξηζ misst, und v P r P v P =v r P v P der Ortsvektor des Punkts P, den ein eobachter im System ξηζ misst. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

15 2.2 Rotierendes ezugssystem Die Absolutgeschwindigkeit setzt sich zusammen aus der Führungsgeschwindigkeit v f =v r P und der Relativgeschwindigkeit v r = v P Die Führungsgeschwindigkeit v f ist die Geschwindigkeit, die der Punkt P hätte, wenn er im System ξηζ ruhen würde. Die Relativgeschwindigkeit v r ist die Geschwindigkeit, die ein im System ξηζ mitbewegter eobachter misst. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

16 2.2 Rotierendes ezugssystem eschleunigungen: Die Absolutbeschleunigung ist die zeitliche Ableitung der Absolutgeschwindigkeit: a P = v P = v d dt r P v P v =a ist die eschleunigung des Punktes im System Oxyz. Die eschleunigung v P berechnet sich zu v P = d dt b b b = b b b ḃ ḃ ḃ = d v P dt v P Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

17 2.2 Rotierendes ezugssystem Die eschleunigung a P = d v P dt = b b b ist die eschleunigung, die ein mit dem System ξηζ mitbewegter eobachter misst. Für den zweiten Summanden ergibt sich d dt r P = r P ṙ P = r P d dt = r P v P r P r P r P Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

18 2.2 Rotierendes ezugssystem Ergebnis: Die Absolutbeschleunigung berechnet sich zu a P =a r P r P a P 2 v P Führungsbeschleunigung a f Relativbeschleunigung a r Coriolisbeschleunigung a c Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

19 2.2 Rotierendes ezugssystem Die Führungsbeschleunigung a f ist die eschleunigung, die der Punkt P hätte, wenn er im System ξηζ ruhen würde. Sie setzt sich zusammen aus der linearen eschleunigung a des ezugspunktes, der eschleunigung infolge der Drehbeschleunigung, und der Zentripetalbeschleunigung r P r P Die Relativbeschleunigung a r ist die eschleunigung, die ein im System ξηζ mitbewegter eobachter misst. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

20 2.2 Rotierendes ezugssystem Die Coriolisbeschleunigung a c steht senkrecht auf ω und v P. Sie verschwindet für ω = 0 oder v P = 0 oder wenn ω und v P parallel sind. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

21 2.2 Rotierendes ezugssystem Veranschaulichung der Coriolisbeschleunigung: Der Punkt P bewegt sich auf der mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Scheibe mit der konstanten Relativgeschwindigkeit v P nach außen. u v P P r P ω Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

22 2.2 Rotierendes ezugssystem Während der Zeit Δt vergrößert sich der Abstand des Punktes P vom Drehpunkt um r= v P t. Dazu muss sich die Umfangsgeschwindigkeit um u= r= v P t vergrößern. Das entspricht einer eschleunigung von a 1 = v P. Gleichzeitig ändert sich infolge der Drehung die Richtung des Vektors v P. Daraus resultiert eine eschleunigung von a 2 = v P Die gesamte eschleunigung ist also a c =a 1 a 2 =2 v P Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

23 2.2 Rotierendes ezugssystem eispiel: Roboterarm L 1 v L ω 2 C L 2 H ω 1 φ 2 D O Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

24 Gegeben: 2.2 Rotierendes ezugssystem Der Roboter dreht sich um die Achse O mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ω 1. Der Arm C wird mit einer konstanten Geschwindigkeit v L ausgefahren. Der Arm CD wird mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ω 2 geschwenkt. Gesucht: Geschwindigkeiten und eschleunigungen des Punktes D Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

25 2.2 Rotierendes ezugssystem Koordinatensysteme: ζ ζ C b ζ C b ζ ξ C b ξ ξ b ξ z φ 2 D e z O x e x Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

26 2.2 Rotierendes ezugssystem Koordinatensystem Oxyz ist ruhend: Ursprung O Einheitsvektoren e x, e y, e z Koordinaten x, y, z Koordinatensystem ξ η ζ rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω 1 um die Achse O: Ursprung Einheitsvektoren b ξ, b η, b ζ Koordinaten ξ, η, ζ Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

27 2.2 Rotierendes ezugssystem Koordinatensystem Cξ C η C ζ C bewegt sich mit der Geschwindigkeit v L relativ zum Koordinatensystem ξ η ζ : Ursprung C Einheitsvektoren b ξ, b η, b ζ Koordinaten ξ C, η C, ζ C Alle Ergebnisse werden im Koordinatensystem ξ η ζ angegeben. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

28 2.2 Rotierendes Koordinatensystem Punkt C: Ortsvektor im Koordinatenystem ξ η ζ : r C =L 1 t b Relativgeschwindigkeit bezüglich ezugssystem ξ η ζ : v C =v L b mit v L = L 1 Absolutgeschwindigkeit: v C =v 1 r C v C Mit v =0 und 1 = 1 b folgt: v C = 1 L 1 t b b v L b =v L b 1 L 1 t b Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

29 2.2 Rotierendes ezugssystem Absolutbeschleunigung: Mit a =0, 1 =0 und a C =0 folgt: Punkt D: a C =a 1 r C 1 1 r C a C 2 1 v C a C = 1 2 L 1 t b b b 2 1 v L b b = 1 2 L 1 t b b 2 1 v L b = 1 2 L 1 t b 2 1 v L b Ortsvektor im Koordinatensystem Cξ c η c ζ c : ζ C b ζ r CD =L 2 sin 2 b cos 2 b =L 2 sin 2 t b cos 2 t b C φ 2 b ξ r CD ξ C D Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

30 2.2 Rotierendes ezugssystem Relativgeschwindigkeit bezüglich ezugssystem Cξ c η c ζ c : Mit C v D = 2 r CD 2 = 2 b C v D folgt: Absolutgeschwindigkeit: (Rotation um Punkt C) = 2 L 2 b sin 2 t b cos 2 t b = 2 L 2 sin 2 t b cos 2 t b C v D =v C 1 r CD v D =v L b 1 L 1 t b 1 L 2 b sin 2 t b cos 2 t b 2 L 2 cos 2 t b sin 2 t b = v L 2 L 2 cos 2 t b 1 L 1 t L 2 sin 2 t b 2 L 2 sin 2 t b Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

31 2.2 Rotierendes ezugssystem Relativbeschleunigung bezüglich ezugssystem Cξ c η c ζ c (Zentripetalbeschleunigung der Rotation von Punkt D um Punkt C): C a D C = 2 v D = 2 2 L 2 b cos 2 t b sin 2 t b = 2 2 L 2 sin 2 t b cos 2 t b Absolutbeschleunigung: C C a D =a C 1 1 r CD a D 2 1 v D = 1 2 L 1 t b 2 1 v L b 1 2 L 2 b [ b sin 2 t b cos 2 t b ] 2 2 L 2 sin 2 t b cos 2 t b L 2 b cos 2 t b sin 2 t b Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

32 2.2 Rotierendes ezugssystem a D = 1 L 1 t b 2 1 v L b 2 1 L 2 b sin 2 t b 2 2 L 2 sin 2 t b cos 2 t b L 2 cos 2 t b = [ 2 1 L 1 t L 2 sin 2 t ] b 2 1 v L 2 L 2 cos 2 t b 2 2 L 2 cos 2 t b Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

33 2.2 Rotierendes ezugssystem Ergebnis: v D = v L 2 L 2 cos 2 t b 1 L 1 t L 2 sin 2 t b 2 L 2 sin 2 t b a D = [ 1 2 L 1 t L 2 sin 2 t ] b 2 1 v L 2 L 2 cos 2 t b 2 2 L 2 cos 2 t b Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

34 2.3 Kinetik Im ruhenden ezugssystem lautet das Newtonsche Grundgesetz für den Massenpunkt P: m a P =m a f a r a c =F Auflösen nach der Relativbeschleunigung a r liefert die ewegungsgleichung für das bewegte System: Mit der Führungskraft F f = m a f und der Corioliskraft F c = m a c folgt: ma r =F F f F c m a r =F m a f m a c Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

35 2.3 Kinetik Im bewegten System müssen neben den tatsächlichen Kräften F die Führungskraft F f und die Corioliskraft F c als Scheinkräfte berücksichtigt werden. Wenn das bewegte System eine reine Translation mit konstanter Geschwindigkeit ausführt (gleichförmige ewegung), ist die Führungskraft und die Corioliskraft gleich Null. Ruhende oder gleichförmig bewegte Systeme werden als Inertialsysteme bezeichnet. In Inertialsystemen treten keine Scheinkräfte auf: m a r =F Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

36 2.3 Kinetik eispiel: Die Erde (Radius R = 6371km) ist ein rotierendes ezugssystem. Wie groß ist die Führungskraft und die Corioliskraft, verglichen mit der Gewichtskraft G, für einen Körper, der sich mit einer Geschwindigkeit von 100km/h auf einem Großkreis nach Norden bewegt? Die ewegung der Erde um die Sonne kann dabei vernachlässigt werden. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

37 2.3 Kinetik ζ v ζ v φ F c ξ ω φ F f φ r η η Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

38 2.3 Kinetik Die Winkelgeschwindigkeit beträgt = s =7, s 1 Vektoren im erdfesten System ξηζ : Winkelgeschwindigkeit: Ortsvektor: Geschwindigkeitsvektor: Die Führungsbeschleunigung a f ist gleich der Zentripetalbeschleunigung: = b r=r cos b sin b v=v sin b cos b a f = r = 2 R b [ b cos b sin b ] = 2 R b cos b = 2 R cos b Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

39 2.3 Kinetik Für die Coriolisbeschleunigung gilt: a c =2 v=2 b v sin b cos b =2 v sin b Für die Führungskraft folgt: F f = ma f =m 2 R cos b = 2 R g cos G b Zahlenwert: F f =3, G cos Die Führungskraft hat ihr Maximum am Äquator. Sie steht senkrecht auf der Drehachse der Erde und ist von der Erdachse weg gerichtet. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

40 2.3 Kinetik Für die Corioliskraft folgt: F c = m a c = 2m v sin b = 2 v g sin G b Zahlenwert: F c =4, G sin Die Corioliskraft hat ihr Maximum am Pol (φ = 90 ). Sie zeigt auf der nördlichen Halbkugel nach rechts und auf der südlichen Halbkugel nach links. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

41 2.3 Kinetik Für kurzzeitige und kleinräumige Vorgänge ist die Erde in guter Näherung ein Inertialsystem. ei Vorgängen, die über lange Zeiten oder große Entfernungen ablaufen, spielt die Corioliskraft eine große Rolle. eispiele: Luftströmungen Meeresströmungen Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

42 2.3 Kinetik F p v F c Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

43 2.3 Kinetik Der Wind weht parallel zu den Isobaren. Die Druckkraft ist im Gleichgewicht mit der Corioliskraft. Daher strömt die Luft auf der Nordhalbkugel im Gegenuhrzeigersinn um ein Tief und im Uhrzeigersinn um ein Hoch. Auf der Nordhalbkugel drehen Hurrikane im Gegenuhrzeigersinn und auf der Südhalbkugel im Uhrzeigersinn. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

44 2.3 Kinetik Hurrikan Wilma, Oktober 2005 Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik

1. Kinematik. Untersucht wird die Bewegung eines Punktes P in Bezug auf zwei Bezugssysteme: Bezugssystem Oxyz ist ruhend:

1. Kinematik. Untersucht wird die Bewegung eines Punktes P in Bezug auf zwei Bezugssysteme: Bezugssystem Oxyz ist ruhend: Untersucht wird die ewegung eines Punktes P in ezug auf zwei ezugssysteme: ezugssystem Oxyz ist ruhend: Ursprung O Einheitsvektoren e x, e y, e z Koordinaten x, y, z ezugssystem ξηζ bewegt sich: Ursprung

Mehr

Technische Mechanik 3

Technische Mechanik 3 Technische Mechanik 3 2. Kinematik eines Massenpunktes 2.1. Grundbegriffe, kartesische Koordinaten 2.2. Geradlinige Bewegung 2.3. Ebene Bewegung, Polarkoordinaten 2.4. räumliche Bewegung, natürliche Koordinaten

Mehr

3. Kreisbewegung. Punkte auf einem Rad Zahnräder, Getriebe Drehkran Turbinen, Hubschrauberrotor

3. Kreisbewegung. Punkte auf einem Rad Zahnräder, Getriebe Drehkran Turbinen, Hubschrauberrotor 3. Kreisbewegung Ein wichtiger technischer Sonderfall ist die Bewegung auf einer Kreisbahn. Dabei hat der Massenpunkt zu jedem Zeitpunkt den gleichen Abstand vom Kreismittelpunkt. Beispiele: Punkte auf

Mehr

5. Kritische Drehzahl

5. Kritische Drehzahl Aufgabenstellung: 5. Kritische Drehzahl y y Ω c/4 c/4 m c/4 e z O O S c/4 x Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik 2 6.5-1 Der starre Körper mit der Masse m dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit

Mehr

Fallender Stein auf rotierender Erde

Fallender Stein auf rotierender Erde Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 4 vom 13.05.13 Abgabe: 27. Mai Aufgabe 16 4 Punkte allender Stein auf rotierender Erde Wir lassen einen Stein der Masse m in einen

Mehr

1. Impuls- und Drallsatz

1. Impuls- und Drallsatz 1. Impuls- und Drallsatz Impulssatz Bewegung des Schwerpunkts des örpers aufgrund vorgegebener räfte Drallsatz Drehung des örpers aufgrund vorgegebener Momente Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren

Mehr

1. Bewegungsgleichung

1. Bewegungsgleichung 1. Bewegungsgleichung 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz 1.2 Dynamisches Gleichgewicht 1.3 Geführte Bewegung 1.4 Massenpunktsysteme 1.5 Schwerpunktsatz Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

Mehr

Kinematik des starren Körpers

Kinematik des starren Körpers Technische Mechanik II Kinematik des starren Körpers Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Hochschule Bochum WS 2009/2010 Übersicht 1. Kinematik des Massenpunktes

Mehr

Massenträgheitsmomente homogener Körper

Massenträgheitsmomente homogener Körper http://www.youtube.com/watch?v=naocmb7jsxe&feature=playlist&p=d30d6966531d5daf&playnext=1&playnext_from=pl&index=8 Massenträgheitsmomente homogener Körper 1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Drehbewegung um c eine

Mehr

2. Räumliche Bewegung

2. Räumliche Bewegung 2. Räumliche Bewegung Wenn die Bahn des Massenpunkts nicht bekannt ist, reicht die Angabe einer Koordinate nicht aus, um seinen Ort im Raum zu bestimmen. Es muss ein Ortsvektor angegeben werden. Prof.

Mehr

Symmetrie von Naturgesetzen - Galilei-Transformationen und die Invarianz der Newton schen Gesetze

Symmetrie von Naturgesetzen - Galilei-Transformationen und die Invarianz der Newton schen Gesetze Symmetrie von Naturgesetzen - Galilei-Transformationen und die Invarianz der Newton schen Gesetze Symmetrie (Physik) (aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie) Symmetrie ist ein grundlegendes Konzept der

Mehr

Wie fällt ein Körper, wenn die Wirkung der Corioliskraft berücksichtigt wird?

Wie fällt ein Körper, wenn die Wirkung der Corioliskraft berücksichtigt wird? Wie fällt ein Körper, wenn die Wirkung der Corioliskraft berücksichtigt wird? Beim freien Fall eines Körpers auf die Erde, muss man bedenken, dass unsere Erde ein rotierendes System ist. Um die Kräfte,

Mehr

2. Räumliche Bewegung

2. Räumliche Bewegung 2. Räumliche Bewegung Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM 3 1.2-1 2. Räumliche Bewegung Wenn die Bahn des Punkts nicht bekannt ist, reicht die Angabe einer Koordinate nicht aus, um seinen Ort

Mehr

Bewegung in Systemen mit mehreren Massenpunkten

Bewegung in Systemen mit mehreren Massenpunkten Bewegung in Systemen mit mehreren Massenpunkten Wir betrachten ein System mit mehreren Massenpunkten. Für jeden Massenpunkt i einzeln gilt nach Newton 2: F i = d p i dt. Für n Massenpunkte muss also ein

Mehr

Dann gilt r = r + r r. (1)

Dann gilt r = r + r r. (1) Bei der Diskussion der Newtonschen Prinzipien wurde betont, dass diese nur in einem Inertialsystem gültig sind. Nach dem 1. Newtonschen Prinzip ist das ein solches Koordinatensystem, in dem ein isolierter,

Mehr

1 Drehimpuls und Drehmoment

1 Drehimpuls und Drehmoment 1 Drehimpuls und Drehmoment Die Rotationsbewegung spielt in der Natur von der Ebene der Elementarteilchen bis zu den Strukturen des Universums eine eine bedeutende Rolle. Einige Beispiele sind 1. Spin

Mehr

Gleichförmige Kreisbewegung, Bezugssystem, Scheinkräfte

Gleichförmige Kreisbewegung, Bezugssystem, Scheinkräfte Aufgaben 4 Translations-Mechanik Gleichförmige Kreisbewegung, Bezugssystem, Scheinkräfte Lernziele - die Grössen zur Beschreibung einer Kreisbewegung und deren Zusammenhänge kennen. - die Frequenz, Winkelgeschwindigkeit,

Mehr

2.6 Mechanik in bewegten Bezugsystemen

2.6 Mechanik in bewegten Bezugsystemen - 66-2.6 Mechanik in bewegten Bezugsystemen 2.6.1 Galilei'sche Relativität Die Beschreibung einer Bewegung hängt ab vom verwendeten Bezugssystem: Wenn jemand in einem Eisenbahnwagen einen Ball aufwirft

Mehr

Betrachtet man einen starren Körper so stellt man insgesamt sechs Freiheitsgrade der Bewegung

Betrachtet man einen starren Körper so stellt man insgesamt sechs Freiheitsgrade der Bewegung Die Mechanik besteht aus drei Teilgebieten: Kinetik: Bewegungsvorgänge (Translation, Rotation) Statik: Zusammensetzung und Gleichgewicht von Kräften Dynamik: Kräfte als Ursache von Bewegungen Die Mechanik

Mehr

3.5 Nichtinertiale Koordinatensysteme

3.5 Nichtinertiale Koordinatensysteme 3.5-1 3.5 Nichtinertiale Koordinatensysteme Das erste Newtonsche Gesetz gilt nicht für alle Koordinatensysteme, vgl. 2.1.2, aber man kann immer Bezugssysteme finden, in denen es gilt. Derartige Systeme

Mehr

2. Vorlesung Wintersemester

2. Vorlesung Wintersemester 2. Vorlesung Wintersemester 1 Mechanik von Punktteilchen Ein Punktteilchen ist eine Abstraktion. In der Natur gibt es zwar Elementarteilchen (Elektronen, Neutrinos, usw.), von denen bisher keine Ausdehnung

Mehr

2. Lagrange-Gleichungen

2. Lagrange-Gleichungen 2. Lagrange-Gleichungen Mit dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Bewegungsgleichungen für komplexe Systeme einfach aufstellen. Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Lagrange-Gleichungen

Mehr

Kapitel 2. Kinematik des Massenpunktes. 2.1 Einleitung. 2.2 Massenpunkt. 2.3 Ortsvektor

Kapitel 2. Kinematik des Massenpunktes. 2.1 Einleitung. 2.2 Massenpunkt. 2.3 Ortsvektor Kapitel 2 Kinematik des Massenpunktes 2.1 Einleitung In diesem Kapitel behandeln wir die Bewegung von einem oder mehreren Körpern im Raum. Wir unterscheiden dabei zwischen Kinematik und Dynamik. Die Kinematik

Mehr

Exzentrischer Stoß. Der genaue zeitliche Verlauf der Kraft ist nicht bekannt. Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-1

Exzentrischer Stoß. Der genaue zeitliche Verlauf der Kraft ist nicht bekannt. Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-1 Exzentrischer Stoß Allgemeine Stoßvorgänge zwischen zwei Körpern in der Ebene können mit Hilfe des integrierten Impulssatzes und des integrierten Drallsatzes behandelt werden. Während des Stoßes treten

Mehr

Theoretische Physik I: Lösungen Blatt Michael Czopnik

Theoretische Physik I: Lösungen Blatt Michael Czopnik Theoretische Physik I: Lösungen Blatt 2 15.10.2012 Michael Czopnik Aufgabe 1: Scheinkräfte Nutze Zylinderkoordinaten: x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z Zweimaliges differenzieren ergibt: ẍ = r cos ϕ 2ṙ ϕ sin

Mehr

Einleitung 2. 1 Koordinatensysteme 2. 2 Lineare Abbildungen 4. 3 Literaturverzeichnis 7

Einleitung 2. 1 Koordinatensysteme 2. 2 Lineare Abbildungen 4. 3 Literaturverzeichnis 7 Sonja Hunscha - Koordinatensysteme 1 Inhalt Einleitung 2 1 Koordinatensysteme 2 1.1 Kartesisches Koordinatensystem 2 1.2 Polarkoordinaten 3 1.3 Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten 3

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2011/12 Vorlesung 3

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2011/12 Vorlesung 3 TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2011/12 Vorlesung 3 Differenziation und Integration von Vektorfunktionen Der Ortsvektor: Man kann einen Punkt P im Raum eindeutig durch die

Mehr

M1 Maxwellsches Rad. 1. Grundlagen

M1 Maxwellsches Rad. 1. Grundlagen M1 Maxwellsches Rad Stoffgebiet: Translations- und Rotationsbewegung, Massenträgheitsmoment, physikalisches Pendel. Versuchsziel: Es ist das Massenträgheitsmoment eines Maxwellschen Rades auf zwei Arten

Mehr

Physikalische Anwendungen Kinematik

Physikalische Anwendungen Kinematik Physikalische Anwendungen Kinematik Zum Mathematik-Lehrbuch Notwendig und zunächst hinreichend (Shaker Verlag, Aachen) gibt es mehrere PDF-Dokumente mit ergänzenden Beispielen und Aufgaben, die die Anwendung

Mehr

6 Dynamik der Atmosphäre

6 Dynamik der Atmosphäre 6 Dynamik der Atmosphäre Man braucht wirklich nicht viel darüber zu reden, es ist den meisten Menschen heute ohnehin klar, dass die Mathematik wie ein Dämon in alle Anwendungen unseres Lebens gefahren

Mehr

1. Bewegungsgleichung

1. Bewegungsgleichung 1. Bewegungsgleichung 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz 1.2 Dynamisches Gleichgewicht 1.3 Geführte Bewegung 1.4 Massenpunktsysteme 1.5 Schwerpunktsatz Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3

Mehr

5.4. KINETISCHE ENERGIE EINES STARREN KÖRPERS 203. Abbildung 5.12: Koordinaten zur Berechnung der kinetischen Energie (siehe Diskussion im Text)

5.4. KINETISCHE ENERGIE EINES STARREN KÖRPERS 203. Abbildung 5.12: Koordinaten zur Berechnung der kinetischen Energie (siehe Diskussion im Text) 5.4. KINETISCHE ENERGIE EINES STARREN KÖRPERS 03 ρ α r α R Abbildung 5.1: Koordinaten zur Berechnung der kinetischen Energie (siehe Diskussion im Text) 5.4 Kinetische Energie eines Starren Körpers In diesem

Mehr

8.1 Gleichförmige Kreisbewegung 8.2 Drehung ausgedehnter Körper 8.3 Beziehung: Translation - Drehung 8.4 Vektornatur des Drehwinkels

8.1 Gleichförmige Kreisbewegung 8.2 Drehung ausgedehnter Körper 8.3 Beziehung: Translation - Drehung 8.4 Vektornatur des Drehwinkels 8. Drehbewegungen 8.1 Gleichförmige Kreisbewegung 8.2 Drehung ausgedehnter Körper 8.3 Beziehung: Translation - Drehung 8.4 Vektornatur des Drehwinkels 85 8.5 Kinetische Energie der Rotation ti 8.6 Berechnung

Mehr

4. Verzerrungen. Der Abstand von zwei Punkten ändert sich. Der Winkel zwischen drei Punkten ändert sich

4. Verzerrungen. Der Abstand von zwei Punkten ändert sich. Der Winkel zwischen drei Punkten ändert sich 4. Verzerrungen Wird ein Körper belastet, so ändert sich seine Geometrie. Die Punkte des Körpers ändern ihre Lage. Sie erfahren eine Verschiebung. Ist die Verschiebung für benachbarte Punkte unterschiedlich,

Mehr

2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen

2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen 2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen Wir verallgemeinern die bisherigen Betrachtungen nun auf den dreidimensionalen Fall. Für Drehungen des Koordinatensystems um die Koordinatenachsen ergibt sich 1 x 1

Mehr

Physik I Musterlösung 2

Physik I Musterlösung 2 Physik I Musterlösung 2 FS 08 Prof. R. Hahnloser Aufgabe 2.1 Flugzeug im Wind Ein Flugzeug fliegt nach Norden und zwar so dass es sich zu jedem Zeitpunkt genau über einer Autobahn befindet welche in Richtung

Mehr

Kinetik des starren Körpers

Kinetik des starren Körpers Technische Mechanik II Kinetik des starren Körpers Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Hochschule Bochum WS 2009/2010 Übersicht 1. Kinematik des Massenpunktes 2.

Mehr

Übungen zur Vorlesung PN1 Lösung zu Blatt 5

Übungen zur Vorlesung PN1 Lösung zu Blatt 5 Aufgabe 1: Geostationärer Satellit Übungen zur Vorlesung PN1 Lösung zu Blatt 5 Ein geostationärer Satellit zeichnet sich dadurch aus, dass er eine Umlaufdauer von einem Tag besitzt und sich folglich seine

Mehr

5. Übungsblatt zur VL Einführung in die Klassische Mechanik und Wärmelehre Modul P1a, 1. FS BPh 10. November 2009

5. Übungsblatt zur VL Einführung in die Klassische Mechanik und Wärmelehre Modul P1a, 1. FS BPh 10. November 2009 5. Übungsblatt zur VL Einführung in die Klassische Mechanik und Wärmelehre Modul P1a, 1. FS BPh 10. November 009 Aufgabe 5.1: Trägheitskräfte Auf eine in einem Aufzug stehende Person (Masse 70 kg) wirken

Mehr

4. Stoßvorgänge. Stoßvorgänge sind Vorgänge von sehr kurzer Dauer, bei denen zwischen den beteiligten Körpern große Kräfte auftreten.

4. Stoßvorgänge. Stoßvorgänge sind Vorgänge von sehr kurzer Dauer, bei denen zwischen den beteiligten Körpern große Kräfte auftreten. 4. Stoßvorgänge Stoßvorgänge sind Vorgänge von sehr kurzer Dauer, bei denen zwischen den beteiligten Körpern große Kräfte auftreten. Gesucht wird ein Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten vor dem

Mehr

Formelsammlung. Lagrange-Gleichungen: q k. Zur Koordinate q k konjugierter Impuls: p k = L. Hamilton-Funktion: p k. Hamiltonsche Gleichungen: q k = H

Formelsammlung. Lagrange-Gleichungen: q k. Zur Koordinate q k konjugierter Impuls: p k = L. Hamilton-Funktion: p k. Hamiltonsche Gleichungen: q k = H Formelsammlung Lagrange-Gleichungen: ( ) d L dt q k L q k = 0 mit k = 1,..., n. (1) Zur Koordinate q k konjugierter Impuls: p k = L q k. (2) Hamilton-Funktion: n H(q 1,..., q n, p 1,..., p n, t) = p k

Mehr

11. Vorlesung Wintersemester

11. Vorlesung Wintersemester 11. Vorlesung Wintersemester 1 Ableitungen vektorieller Felder Mit Resultat Skalar: die Divergenz diva = A = A + A y y + A z z (1) Mit Resultat Vektor: die Rotation (engl. curl): ( rota = A Az = y A y

Mehr

2.3.5 Dynamik der Drehbewegung

2.3.5 Dynamik der Drehbewegung 2.3.5 Dynamik der Drehbewegung 2.3.5.1 Drehimpuls Drehimpuls Betrachte einen Massepunkt m mit Geschwindigkeit v auf irgendeiner Bahn (es muss keine Kreisbahn sein); dabei ist r der Ort der Massepunkts,

Mehr

Lorentz-Transformation

Lorentz-Transformation Lorentz-Transformation Aus Sicht von Alice fliegt Bob nach rechts. Aus Sicht von Bob fliegt Alice nach links. Für t = t' = 0 sei also x(0) = x'(0) = Lichtblitz starte bei t = t' = 0 in und erreiche etwas

Mehr

9 Teilchensysteme. 9.1 Schwerpunkt

9 Teilchensysteme. 9.1 Schwerpunkt der Impuls unter ganz allgemeinen Bedingungen erhalten bleibt. Obwohl der Impulserhaltungssatz, wie wir gesehen haben, aus dem zweiten Newton schen Axiom folgt, ist er tatsächlich allgemeiner als die Newton

Mehr

Kinematik des Massenpunktes

Kinematik des Massenpunktes Technische Mechanik II Kinematik des Massenpunktes Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Hochschule Bochum WS 2009/2010 Übersicht 1. Kinematik des Massenpunktes Eindimensionale

Mehr

Naturwissenschaftliches Praktikum. Rotation. Versuch 1.1

Naturwissenschaftliches Praktikum. Rotation. Versuch 1.1 Naturwissenschaftliches Praktikum Rotation Versuch 1.1 Inhaltsverzeichnis 1 Versuchsziel 3 2 Grundlagen 3 2.1 Messprinzip............................. 3 2.2 Energiesatz............................. 3 2.3

Mehr

+m 2. r 2. v 2. = p 1

+m 2. r 2. v 2. = p 1 Allgemein am besten im System mit assenmittelpunkt (centre of mass frame) oder Schwerpunktsystem (=m 1 +m ) r = r 1 - r =m 1 +m Position vom Schwerpunkt: r r 1 +m r v =m 1 v 1 +m v = p 1 + p ist die Geschwindigkeit

Mehr

2. Momentanpol. Für die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes P eines starren Körpers gilt: y A ), v Py. =v Ay

2. Momentanpol. Für die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes P eines starren Körpers gilt: y A ), v Py. =v Ay ufgabenstellung: Für die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes P eines starren Körpers gilt: Gesucht ist der Punkt П, dessen momentane Geschwindigkeit null ist. Lösung: v Px =x ( y P y ), v Py =y +

Mehr

Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016

Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung: Blatt 12. PD

Mehr

Theoretische Physik 1, Mechanik

Theoretische Physik 1, Mechanik Theoretische Physik 1, Mechanik Harald Friedrich, Technische Universität München Sommersemester 2009 Mathematische Ergänzungen Vektoren und Tensoren Partielle Ableitungen, Nabla-Operator Physikalische

Mehr

1.2 Räumliche Bewegung. Aufgaben

1.2 Räumliche Bewegung. Aufgaben Technische Mechanik 3 1.-1 Prof. Dr. Wandinger Aufgabe 1 1. Räumliche Bewegung Aufgaben Ein Flugzeug fliegt mit der Geschwindigkeit v F gegenüber der Luft einen angezeigten Kurs von 30. Der Wind weht mit

Mehr

einer Raumkurve, wobei t als Zeitparameter interpretiert wird. w( t ) beschreibt also den kinematischen Kurvendurchlauf (κ ι ν ε µ α = Bewegung).

einer Raumkurve, wobei t als Zeitparameter interpretiert wird. w( t ) beschreibt also den kinematischen Kurvendurchlauf (κ ι ν ε µ α = Bewegung). 10.4. Raumkurven Kinematik Wir betrachten eine zweimal differenzierbare Parameterdarstellung w( t) x( t ) y( t ) z( t ) einer Raumkurve, wobei t als Zeitparameter interpretiert wird. w( t ) beschreibt

Mehr

1. Eindimensionale Bewegung

1. Eindimensionale Bewegung 1. Eindimensionale Bewegung Die Gesamtheit aller Orte, die ein Punkt während seiner Bewegung einnimmt, wird als Bahnkurve oder Bahn bezeichnet. Bei einer eindimensionalen Bewegung bewegt sich der Punkt

Mehr

Starrer Körper: Drehimpuls und Drehmoment

Starrer Körper: Drehimpuls und Drehmoment Starrer Körper: Drehimpuls und Drehmoment Weitere Schreibweise für Rotationsenergie: wobei "Dyade" "Dyadisches Produkt" Def.: "Dyadisches Produkt", liefert bei Skalarmultiplikation mit einem Vektor : und

Mehr

Allgemeine Mechanik Musterlösung 1.

Allgemeine Mechanik Musterlösung 1. Allgemeine Mechanik Musterlösung. HS 24 Prof. Thomas Gehrmann Übung. Kraftfelder und Linienintegrale. a) Gegeben sei das Kraftfeld F, 2 ). Berechnen Sie das Linienintegral von r, ) nach r 2 2, ) entlang

Mehr

Einführung in die Physik für Maschinenbauer

Einführung in die Physik für Maschinenbauer Einführung in die Physik für Maschinenbauer WS 011/01 Teil 5 7.10/3.11.011 Universität Rostock Heinrich Stolz heinrich.stolz@uni-rostock.de 6. Dynamik von Massenpunktsystemen Bis jetzt: Dynamik eines einzelnen

Mehr

Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler

Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler 1 Was ist Physik? Stand: 13. Dezember 212 Physikalische Größe X = Zahl [X] Einheit SI-Basiseinheiten Mechanik Zeit [t] = 1 s Länge [x] = 1 m Masse [m]

Mehr

() = Aufgabe 1 ( Punkte) Institut für Technische und Num. Mechanik Technische Mechanik II/III Profs. Eberhard / Seifried SS 2012 P 2

() = Aufgabe 1 ( Punkte) Institut für Technische und Num. Mechanik Technische Mechanik II/III Profs. Eberhard / Seifried SS 2012 P 2 Institut für Technische und Num. Mechanik Technische Mechanik II/III Profs. Eberhard / Seifried SS 212 P 2 BachelorPrüfung in Technischer Mechanik II/III Nachname, Vorname Matr.Nummer Fachrichtung 28.

Mehr

4. Stoßvorgänge. Stoßvorgänge sind Vorgänge von sehr kurzer Dauer, bei denen zwischen den beteiligten Körpern große Kräfte auftreten.

4. Stoßvorgänge. Stoßvorgänge sind Vorgänge von sehr kurzer Dauer, bei denen zwischen den beteiligten Körpern große Kräfte auftreten. 4. Stoßvorgänge Stoßvorgänge sind Vorgänge von sehr kurzer Dauer, bei denen zwischen den beteiligten Körpern große Kräfte auftreten. Gesucht wird ein Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten vor dem

Mehr

Physik 1 für Ingenieure

Physik 1 für Ingenieure Physik 1 für Ingenieure Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm Othmar.Marti@Physik.Uni-Ulm.de Skript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1 Übungsblätter und Lösungen: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1/ueb/ue#

Mehr

Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen

Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen 26. November 2008 Vektoren Vektoren sind bestimmt durch a) Betrag und b) Richtung Beispiel Darstellung in 3 Dimensionen: x k = y z Vektor in kartesischen

Mehr

3.3. Drehungen und Spiegelungen

3.3. Drehungen und Spiegelungen 3.3. Drehungen und Spiegelungen Drehungen und Spiegelungen in der Ebene Die Multiplikation einer komplexen Zahl z = x + i y (aufgefaßt als Punkt oder Ortsvektor der Ebene) mit der Zahl w = e ( ) = i φ

Mehr

4.4 Versuche zu Scheinkräften

4.4 Versuche zu Scheinkräften 4.4. VERSUCHE ZU SCHEINKRÄFTEN 169 4.4 Versuche zu Scheinkräften Im diesem Abschnitt stellen wir einige Experimente vor, die die verschiedenen Scheinkräfte im rotierenden Bezugssystemen vorstellen. Am

Mehr

Der Trägheitstensor J

Der Trägheitstensor J Der Trägheitstensor J Stellen wir uns einen Kreisel vor, der um eine beliebige Achse dreht. Gilt die Beziehung L = J ω in jedem Bezugssystem? Dazu betrachten wir nochmals die Bewegung eines starren Körpers.

Mehr

Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 2005/06

Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 2005/06 Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 25/6 http://www.pt.tu-clausthal.de/qd/teaching.html 16. November 25 Übungsblatt Lösungsvorschlag 3 Aufgaben,

Mehr

Blatt 03.1: Scheinkräfte

Blatt 03.1: Scheinkräfte Fakultät für Physik T1: Klassische Mechanik, SoSe 2016 Dozent: Jan von Delft Übungen: Benedikt Bruognolo, Sebastian Huber, Katharina Stadler, Lukas Weidinger http://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/sose_16/t1_theor_mechanik/

Mehr

Theoretische Physik: Mechanik

Theoretische Physik: Mechanik Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Blatt 2 - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Perle Eine Perle der Masse m gleite reibungsfrei auf einem vertikal stehenden Ring vom Radius

Mehr

Beispiel 1:Der Runge-Lenz Vektor [2 Punkte]

Beispiel 1:Der Runge-Lenz Vektor [2 Punkte] Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 9 (Austeilung am: 1.9.11, Abgabe am 8.9.11) Hinweis: Kommentare zu den Aufgaben sollen die Lösungen illustrieren und ein besseres Verständnis ermöglichen.

Mehr

2.2 Arbeit und Energie. Aufgaben

2.2 Arbeit und Energie. Aufgaben Technische Mechanik 3 2.2-1 Prof. Dr. Wandinger Aufgabe 1 Auf eine Katapult befindet sich eine Kugel der Masse, die durch eine Feder beschleunigt wird. Die Feder ist a Anfang u die Strecke s 0 zusaengedrückt.

Mehr

Kapitel 4. Rotationen. 4.1 Drehung eines Koordinatensystems

Kapitel 4. Rotationen. 4.1 Drehung eines Koordinatensystems Kapitel 4 Rotationen 4.1 Drehung eines Koordinatensystems In diesem Kapitel soll untersucht werden, welchen Einfluss ein rotierendes Koordinatensystem auf die Beschreibung von Bewegungen hat. Jedes Koordinatensytem,

Mehr

Algebra 3.

Algebra 3. Algebra 3 www.schulmathe.npage.de Aufgaben 1. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 3), B( ) sowie für jedes a (a R) ein Punkt P a (a a a) gegeben. a) Zeigen Sie, dass alle Punkte

Mehr

Ergänzungen zur Physik I

Ergänzungen zur Physik I Ergänzungen zu Physik I Inhaltsverzeichnis Ergänzungen zur Physik I U. Straumann, 22. Oktober 2013 Physik - Institut Universität Zürich Inhaltsverzeichnis 1 Relativbewegungen 2 1.1 Relativitätsprinzip

Mehr

Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung

Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung Kapitel 1 Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung 11 Koordinatensysteme Eine Gerade, eine Ebene oder den Anschauungsraum beschreibt man durch Koordinatensysteme 111 Was sind Koordinatensysteme?

Mehr

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Universität Heidelberg Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übungen Aufgaben zu Kapitel 9 (Fortsetzung) (aus: K. Hefft, Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergänzungen) Aufgabe

Mehr

3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome

3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome Übungen zur T1: Theoretische Mechanik, SoSe13 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 45 Dr. James Gray James.Gray@physik.uni-muenchen.de 3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome Übung 3.1:

Mehr

Zentrifugalkraft beim Karussell

Zentrifugalkraft beim Karussell Seil, Länge L m Also: Zentrifugalkraft beim Karussell tan( α) y = α r F Z r G ω r = x r r ' KS : mitrotierendes Koordinatensystem m G r α 2 m ω g r ' F r Z F r gesamt 2 ω sin( α) L = g Fragestellung: Um

Mehr

Fakultät für Physik Wintersemester 2016/17. Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik

Fakultät für Physik Wintersemester 2016/17. Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik Fakultät für Physik Wintersemester 16/17 Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik Dr. Andreas K. Hüttel Blatt 8 / 7.1.16 1. Schwerpunkte Berechnen Sie den Schwerpunkt in

Mehr

2.4 Stoßvorgänge. Lösungen

2.4 Stoßvorgänge. Lösungen .4 Stoßvorgänge Lösungen Aufgabe 1: a) Geschwindigkeit und Winkel: Für die Wurfhöhe gilt: H = v 0 g sin Die zugehörige x-koordinate ist: x 1 = v 0 g sincos Aus diesen beiden Gleichungen lässt sich die

Mehr

Zur Theorie des Foucaultschen Pendels

Zur Theorie des Foucaultschen Pendels Zur Theorie des Foucaultschen Pendels 1 Entscheidend für das Gelingen des Versuchs ist die Aufhängung des Pendels mittels einer praktisch reibungslosen Halterung, die kein Drehmoment hinsichtlich irgendeiner

Mehr

τ 30 N/mm bekannt. N mm N mm Aufgabe 1 (7 Punkte)

τ 30 N/mm bekannt. N mm N mm Aufgabe 1 (7 Punkte) Institut für Technische und Num. Mechanik Technische Mechanik IIIII Profs. P. Eberhard, M. Hanss WS 114 P 1. Februar 14 Bachelor-Prüfung in Technischer Mechanik IIIII Nachname, Vorname Matr.-Nummer Fachrichtung

Mehr

Theoretische Mechanik

Theoretische Mechanik Prof. Dr. R. Ketzmerick/Dr. R. Schumann Technische Universität Dresden Institut für Theoretische Physik Sommersemester 2008 Theoretische Mechanik 9. Übung 9.1 d alembertsches Prinzip: Flaschenzug Wir betrachten

Mehr

Aufgabensammlung. Experimentalphysik für ET. 2. Erhaltungsgrößen

Aufgabensammlung. Experimentalphysik für ET. 2. Erhaltungsgrößen Experimentalphysik für ET Aufgabensammlung 1. Erhaltungsgrößen An einem massenlosen Faden der Länge L = 1 m hängt ein Holzklotz mit der Masse m 2 = 1 kg. Eine Kugel der Masse m 1 = 15 g wird mit der Geschwindigkeit

Mehr

KG-Oberkurs 2011 Vorlesungen: Grundlagen der Kinematik und Dynamik

KG-Oberkurs 2011 Vorlesungen: Grundlagen der Kinematik und Dynamik KG-Oberkurs 011 Vorlesungen: Grundlagen der Kinematik und Dynamik Dr.-Ing. Ulrich Simon 1 Allgemeines Biomechanik Biologie Mechanik Ziel der Vorlesung: Mechanische Grundlagen in anschaulicher Form aufzufrischen.

Mehr

Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 7 vom Abgabe:

Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 7 vom Abgabe: Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 03 Blatt 7 vom 0.06.3 Abgabe: 7.06.3 Aufgabe 9 3 Punkte Keplers 3. Gesetz Das 3. Keplersche Gesetz für die Planetenbewegung besagt, dass das

Mehr

Funktionen in der Mathematik

Funktionen in der Mathematik R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 05.0.008 Funktionen in der Mathematik Bei der mathematischen Betrachtung natürlicher, technischer oder auch alltäglicher Vorgänge hängt der Wert einer Größe oft

Mehr

Divergenz und Rotation von Vektorfeldern

Divergenz und Rotation von Vektorfeldern Divergenz und Rotation von Vektorfeldern Mit Hilfe des Nabla-Operators können nun zwei weitere wichtige elementare Operationen definiert werden, welche formal der Bildung des Skalarproduktes bzw. des äußeren

Mehr

Prüfungsklausur - Lösung

Prüfungsklausur - Lösung Prof. G. Dissertori Physik I ETH Zürich, D-PHYS Durchführung: 08. Februar 2012 Bearbeitungszeit: 180min Prüfungsklausur - Lösung Aufgabe 1: Triff den Apfel! (8 Punkte) Wir wählen den Ursprung des Koordinatensystems

Mehr

Mechanische Struktur. Digitalrechner (Steuerung, Regelung und Datenverarbeitung) Leistungsteil. Stellgrößen. Rückmeldungen (Lage, Bewegungszustand)

Mechanische Struktur. Digitalrechner (Steuerung, Regelung und Datenverarbeitung) Leistungsteil. Stellgrößen. Rückmeldungen (Lage, Bewegungszustand) l. Kinematik in der Mechatronik Ein tpisches mechatronisches Sstem nimmt Signale auf, verarbeitet sie und gibt Signale aus, die es in Kräfte und Bewegungen umsett. Mechanische Struktur Leistungsteil phsikalische

Mehr

Mechanik. Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt. März 2016. nach Vorlesungsunterlagen von Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf

Mechanik. Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt. März 2016. nach Vorlesungsunterlagen von Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf Mechanik Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt März 2016 nach Vorlesungsunterlagen von Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 7 2. Kinematik 9 2.1. Einführung..............................

Mehr

2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n

2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n 2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n f ist in dem Fall ein Weg in R n. Das Bild f(t) des Weges wird als Kurve

Mehr

Potentialströmung und Magnuseffekt

Potentialströmung und Magnuseffekt Potentialströmung und Magnuseffekt (Zusammengefasst und ergänzt nach W Albring, Angewandte Strömungslehre, Verlag Theodor Steinkopff, Dresden, 3 Aufl 1966) Voraussetzungen Behandelt werden reibungs und

Mehr

Analytische Geometrie des Raumes

Analytische Geometrie des Raumes Analytische Geometrie des Raumes Als Begründer der analytischen Geometrie gilt René Descartes (Discours de la méthode). Seine grundliegende Idee bestand darin, geometrische Gebilde (Gerade, Kreis, Ellipse

Mehr

Modul: Kräftegleichgewichte und Gleichgewichtswinde

Modul: Kräftegleichgewichte und Gleichgewichtswinde Modul: Kräftegleichgewichte und Gleichgewichtswinde Lernziel: Verständnis der elementaren Kräftegleichgewichte in der atmosphärischen Dynamik und der dazugehörigen Gleichgewichtswinde sowie Einführung

Mehr

Fragen aus dem Repetitorium V

Fragen aus dem Repetitorium V Fragen aus de Repetitoriu V Folgend werden die Fragen des Repetitorius V, welche ihr i Skript II ab Seite 217 findet, behandelt. Die Seiten werden ständig aktualisiert und korrigiert, so daß es sich lohnt,

Mehr

2.2 Arbeit und Energie. Aufgaben

2.2 Arbeit und Energie. Aufgaben 2.2 Arbeit und Energie Aufgaben Aufgabe 1: Auf eine Katapult befindet sich eine Kugel der Masse, die durch eine Feder beschleunigt wird. Die Feder ist a Anfang u die Strecke s 0 zusaengedrückt. Für die

Mehr