6 Dynamik der Atmosphäre

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1 6 Dynamik der Atmosphäre Man braucht wirklich nicht viel darüber zu reden, es ist den meisten Menschen heute ohnehin klar, dass die Mathematik wie ein Dämon in alle Anwendungen unseres Lebens gefahren ist. (Robert Musil, Der Mann ohne Eigenschaften, Kp. 11) Die Verteilung der meisten Spezies in der Atmosphäre wird bestimmt durch chemische Prozesse und durch Transportphänomene. Das Gebiet der Dynamik der Atmosphäre behandelt ganz allgemein Bewegungsvorgänge in der Atmosphäre. So wird sie nicht nur für die Bestimmung der Verteilung von Gasen, sondern besonders auch in der dynamischen Meteorologie eingesetzt, insbesondere in Modellen für die Wettervorhersage. Der Charakter von atmosphärischen Bewegungen hängt stark von deren horizontalen Dimensionen ab. Dabei wird eine extrem mannigfaltige Skala abgedeckt, die von ca m (mittlere freie Weglänge) bis zu 10 7 m(planetarewellen)reichenkann.durchdieimmer schnelleren Computer sind auf dem Gebiet der angewanen Atmosphärendynamik in den letzten Jahren enorme Fortschritte erzielt worden. Nicht nur werden Wetterprognosen mittels Modellen über mehrere Tage bestimmt, sondern auch die grossräumige Verteilung reaktiver Gase in der mittleren Atmosphäre zu bestimmen, ist möglich sowie ihre Bewegungen über Tage zu extrapolieren, oder die Herkunft von Luftpaketen rückwärts zu berechnen. Für die Beschreibung der atmosphärischen Bewegungen wird die Atmosphäre als Flüssigkeit betrachtet und man verwendet die klassischen Gesetze der Hydrodynamik und der Thermodynamik. Die Zirkulation der Atmosphäre kann im Wesentlichen mit Hilfe von drei Erhaltungssätzen beschrieben werden: Erhaltung des Impulses (Newton) Erhaltung der Masse (Kontinuitätsgleichung) Erhaltung der Energie (1. Satz der Thermodynamik) Für atmosphärische Bewegungen sind primär die folgenden Kräfte von Bedeutung: Druckgradienten-Kraft Gravitationskraft Reibungskraft In einem rotierenden Koordinaten-System, wie dies für die Erde der Fall ist, kommen zusätzlich Scheinkräfte dazu: 119

2 6DynamikderAtmosphäre Zentrifugalkraft Corioliskraft Da es sich bei der Atmosphärendynamik um ein komplexes Gebiet handelt, wollen wir nur einige Grundlagen erarbeiten. Für eine ausführliche Behandlung muss auf die Literatur oder auf eine allfällige spätere Vorlesung verwiesen werden. 6.1 Koordinatensysteme Es ist üblich zur Beschreibung dynamischer Prozesse in der Atmosphäre sphärische Koordinaten zu verwenden. Dabei rotiert das Koordinatensystem mit der Erde mit. Bezeichnen wir mit φ die geographische Breite, mit λ die geographische Länge und mit r den Abstand vom Erdmittelpunkt, wobei r R E =6370km und R E der Erdradius ist, so erhalten wir für die Geschwindigkeitskomponenten: u = dx/ = R E cos ϕ dλ (6.1) dϕ v = dy/ = R E (6.2) w = dz/. (6.3) Dabei ist u die zonale, v die meridionale Komponente und w diejenige in der Höhe. Häufig wird als vertikale Komponente auch die Druckhöhe, die potentielle Temperatur oder die geopotentielle Höhe genommen. 6.2 Wichtige Kräfte Druck-Gradientenkraft Unter der Wirkung eines Druckgradienten erfährt Luft eine Kraft, die sog. Druck- Gradientenkraft, F p : F p = 1 ρ p. (6.4) Diese Kraft steht senkrecht zu den Isobarenflächen und zeigt vom höheren zum tieferen Druck. Der Abstand der Isobaren gibt ein Mass für die Grösse des Luftdruckgradienten. Die Wirkung der vertikalen Komponente wird sozusagen dadurch eliminiert, dass der Luftdruck mit der Höhe abnimmt, so dass hydrostatisches Gleichgewicht herrscht. Typische Werte für den Druckgradienten sind: in vertikaler Richtung ca. 1mb auf 8m und in horizontaler Richtung ca. 1mb auf 10km! 120

3 6.2 Wichtige Kräfte Corioliskraft Jede Masse, die sich in einem mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Bezugssystem mit der Geschwindigkeit v relativ zu diesem System bewegt, erfährt eine Scheinkraft, genannt Corioliskraft, F c,promasseneinheit: F c =2v ω. (6.5) Bezogen auf die Erde ist ω =Ω=2π/Sterntag = sec 1.Für die Corioliskraft pro Einheitsmasse erhalten wir bei zonaler Geschwindigkeit, u, undbeidergeografischen Breite ϕ = 2Ωu sin ϕ (6.6) und analog bei meridionaler Bewegung du Dabei bezeichnet man mit f den Coriolisparameter =2Ωv sin ϕ. (6.7) f =2Ωsinϕ. (6.8) f ist am Aequator gleich null und an den Polen f = ± sec 1. Die Corioliskraft wirkt senkrecht auf die Bewegungsrichtung und zwar nach rechts auf der nördlichen Halbkugel und nach links auf der südlichen Halbkugel. Da die Corioliskraft immer senkrecht auf die Bewegungsrichtung wirkt, kann sie keine Arbeit verrichten und kann daher die Bewegungsenergie eines Luftpakets nicht verändern. Die Corioliskraft ist am grössten an den Polen, am Aequator verschwindet sie. Die horizontale Komponente lässt sich auch schreiben mit F ch = f k v. (6.9) Dabei ist k ist der Einheitsvektor in z-richtung Reibungskraft Der für die Dynamik der Atmosphäre wichtigste Fall von Reibung ist die Bodenreibung, die sich in der sog. planetaren Grenzschicht (ungefähr bis 1km über den Boden) auswirkt. In diesem Bereich ist die Reibungskraft von ähnlicher Grösse wie die anderen Komponenten in horizontaler Richtung. Die Reibungskraft ist proportional der Geschwindigkeit und es gilt F R = av. (6.10) 121

4 6DynamikderAtmosphäre Allgemeine Bewegungsgleichung Aus der Summe der betrachteten Kräfte erhalten wir die allgemeine Bewegungsgleichung für ein Luftvolumen = F p + F c + F R + F G (6.11) resp. = 1 p ρ 2Ω v av + g. (6.12) Der Beschleunigungsterm kann aufgespalten werden in eine rein zeitliche Geschwindigkeitsänderung bei festgehaltenem Ort, d.h. v/ t, undineinefeldbeschleunigung. Dieser zweite Term kommt dadurch zustande, dass ein Luftpaket bei seiner Bewegung in einem gegebenen Geschwindigkeitsfeld an einen Ort gelangt, wo die Strömung eine andere Geschwindigkeit hat. Es gilt allgemein d = t + v. (6.13) Durch diese Feldbeschleunigung wird die Bewegungsgleichung quadratisch in der Geschwindigkeit Geostrophischer Wind Die Bewegungsgleichung für eine horizontale Bewegung lautet = F p + F ch + F R (6.14) = 1 ρ p f k v av. (6.15) Oberhalb einer Höhe von etwa 1km kann die Reibung vernachlässigt werden, so dass nur Druckgradienten- und Corioliskraft wirken. Ein Luftpaket sei anfänglich in Ruhe. Infolge eines Druckgradienten wird es beschleunigt, was aber sofort eine Corioliskraft bewirkt und zu einer Ablenkung nach rechts (auf der Nordhalbkugel) führt. Die Geschwindigkeit erhält also eine Komponente senkrecht zum Druckgefälle bis Gleichgewicht herrscht. Es gilt dann f k v = 1 ρ p. (6.16) Durch Multiplikation mit k von links erhalten wir k k v = v = 1 fρ k p. (6.17) Die so erhaltene Geschwindigkeit, v g, nennen wir geostrophischer Wind v g = 1 ρ f k p. (6.18) 122

5 6.2 Wichtige Kräfte Der geostrophische Wind weht parallel zu den Isobaren. Auf der Nordhalbkugel liegt dabei der tiefere Luftdruck links von der Bewegungsrichtung. Ein Tiefdruckgebiet wird in derselben Richtung umweht, wie die Erde rotiert (zyklonaler Wind). Geostrophischer Wind um ein Hochdruckgebiet ist ergo antizyklonaler Wind. Je enger die Isobaren, desto stärker der Wind. Da der geostrophische Wind senkrecht zum Gefälle des Luftdrucks weht, kann er Druckunterschiede nicht ausgleichen. Reibung in der planetaren Grenzschicht bewirkt, dass die Windgeschwindigkeit subgeostrophisch wird. Auch im stationären Fall gibt es nun eine Komponente in Richtung des Druckgefälles und es können somit Druckunterschiede ausgeglichen werden Primitive Gleichungen Unter den primitiven Gleichungen versteht man die grundlegenden Gleichungen, die für die Beschreibung der zeitlichen Entwicklung atmosphärischer Bewegung benötigt werden. Diese Gleichungen sind eine Synthese aus der allgemeinen Bewegungsgleichung nach Newton der Gasgleichung = 1 ρ p 2 Ω v av + g, (6.19) dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik und der Kontinuitätsgleichung p = ρrt, (6.20) dt = 1 dp c p ρ + Q (6.21) c p p t + ρ v =0. (6.22) Das ganze Set der Gleichungen in sphärischen Koordinaten lautet: du = uv r tan ϕ uw r +2Ωsinϕv 2Ω cos ϕw 1 p ρr cos ϕ λ + F λ (6.23) = u2 r tan ϕ uw r 2Ω sin ϕu 1 p ρr ϕ + F ϕ (6.24) dw = u2 + v 2 +2Ωcosϕu g 1 p r ρ r + F z (6.25) Mit F sind die Komponenten der Reibungskraft gemeint. Es ist ferner die Euler sche Zerlegung zu berücksichtigen für die totale Ableitung nach der Zeit. In Kugel-Koordinaten ist sie gegeben durch 123

6 6DynamikderAtmosphäre d = t + u r cos ϕ λ + v r ϕ + w z. (6.26) Bei der Anwendung dieses Gleichungs-Systems müssen die verschiedenen Terme auf ihre Wichtigkeit untersucht werden, um dann allenfalls durch die Vernachlässigung der weniger wichtigen Beiträge das System zu vereinfachen. 6.3 Erhaltung der Wirbelstärke, Vorticity Neben den primitiven Gleichungen sind die Gleichungen, welche die Wirbelstärke in einem Strömungsfeld beschreiben von Wichtigkeit. Insbesondere ist der Satz der Erhaltung der Wirbelstärke von zentraler Bedeutung für die Erklärung von Wellen in der Atmosphäre. Als Wirbelstärke ζ oder vorticity eines horizontalen Strömungsfeldes bezeichnet man die vertikale Komponente z v = ζ. (6.27) Allgemein ist die Rotorkomponente n v senkrecht zu einer vorgegebenen Fläche definiert als die auf die Flächeneinheit bezogene Zirkulation Z einer Strömung auf dieser Fläche Z = v ds. (6.28) Gemäss dem Satz von Stokes ist gleich bedeutend mit In x, y, z-koordinaten ist n v = d da n v d A = v ds (6.29) v ds. (6.30) ζ = z v = v y x v x y = v x u y. (6.31) Vorticity zeigt sich in zwei Formen: In gekrümmten Bewegungen und in geradlinigen Bewegungen mit horizontaler Scherung. Im einfachsten Fall haben wir eine starre Rotation und es ist v = ω r. (6.32) Die Zirkulation ist in diesem Fall Z = v ds = v 2πr =2πr 2 ω (6.33) und die zugehörige Wirbelstärke, nach Division durch die Fläche ζ = Z r 2 π =2 ω. (6.34) 124