Fragestellung: Gegeben eine Bahnkurve bezüglich eines raumfesten Koordinatensystems (KS) K, beschreibe die Bewegung bezüglich eines bewegten KS K'.

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1 Bewegte Bezugsysteme Fragestellung: Gegeben eine Bahnkurve bezüglich eines raumfesten Koordinatensystems (KS) K, beschreibe die Bewegung bezüglich eines bewegten KS K'. Im Allgemeinen weist K' zwei unterschiedliche Zeitabhängigkeiten bezüglich K auf: - Koordinaten des Ursprungs von K' relativ zum Ursprung von K - Orientierung des Dreibeins von K' relativ zum Dreibein von K. Anwendung: Herleitung von Newton's Gesetz für bewegtes Bezugsystem: Kraft "Scheinkräfte" Koordinatentransformationen Verschiebung, "Translation" des Ursprungs (Dreibein K = Dreibein von K') (d.h. nicht gedreht) Ursprung von K' relativ zu K Ortsvektor in K' = "Relativvektor" Ortsvektor in K: Komponenten: Etwas mehr formal: Zerlege (1) nach Komponenten: Projeziere auf j-richtung

2 Drehung oder "Rotation" der Achsen seien zwei Koordinatensysteme mit gleichem Ursprung, und orthonormalen Basisvektoren und Einheitsvektoren des rotierten K'-Dreibeins, ausgedrückt durch raumfestes K-Dreibein: -Komponente von -Komponente von -Komponente von Kompakte Notation: "Drehmatrix" Beispiel (2D) Teil 1: Drehmatrix:

3 Geometrische Anschauung für die Drehmatrix: Winkel von -Achse mit -Achse in "Drehmatrix" oder "Rotationsmatrix" ist nicht symmetrisch: Grund: denn [Mehr zu Eigenschaften von Drehmatrizen: siehe Kapitel 5, Matrizen.] Ortsvektor ist geometrische Größe, somit unabhängig vom Koordinatensystem zerlegt nach Komponenten in: K' (im "neuen" KS): K (im "alten" KS): Transformationregel für Komponenten eines Vektors unter Drehungen: (3) explizit: (Vorschau: In Kapitel 5, "Matrixrechnung", werden wir Gl. (3) als links-multiplikation eines Vektors mit einer Matrix interpretieren.)

4 Beispiel (2D), Teil 2: In K: In K': (macht Sinn!) Bewegte Bezugsysteme (zeitabhängige Koordinatentranformation) Rotierendes Dreibein (also zeitabhängig): Forderung: trotz Rotation bleibt das Dreibein orthonormal: falls falls Einheitsvektor ändert als Funktion von t nur seine Richtung, nicht seine Länge. Deshalb steht (Richtungsänderung pro Zeit) immer senkrecht zu

5 (8.4) & (8.5) werden durch folgenden Ansatz erfüllt: Check: Spatprodukt ist zyklisch Spatprodukt ist zyklisch Kreuzprodukt ist antisymmetrisch Nomenklatur / Terminologie: heben sich weg = momentane Winkelgeschwindigkeit = Drehgeschwindigkeit = = Drehachse Geschwindigkeit eines sich im rotierenden K' bewegenden Punktes: K'-Dreibein rotiere relativ zu K-Dreibein (raumfest): Punkt P bewege sich relativ zu K': z.b. Schnecke auf Karussel Geschwindigkeit, aus Sicht von K: Produktregel Strich bei bedeutet: Zeitableitung nur nach den Koordinaten, nicht nach dem Dreibein "Relativgeschwindigkeit" des Massenpunkts bezüglich K' (durch Rotation von K' auf den Massenpunkt) "übertragene Geschwindigkeit"

6 Beschleunigktes und rotierendes Bezugsystem: K'-Ursprung bewege sich relativ zu K-Ursprung: K'-Dreibein rotiere relativ zu K-Dreibein (raumfest): Punkt P bewege sich relativ zu K': Bahnkurve von P: (aus Sicht von K) Ursprung v. K' "Relativbahn" Faulheitshalber lassen wir ab jetzt meistens "(t)" weg! Geschw. von P: (aus Sicht von K) Geschw. von K' relativ zu K: Relativgeschw. bezlg. K' Übertragene Geschw. Beschleunigung v. P (aus Sicht von K): = Beschleunigung v. K' relativ zu K Produktregel [analog zu (10.6)] Relativbescheunigung v. P bzgl K': Produktregel

7 Sammle alle Terme: = Beschleunigung v. K' relativ zu K = Relativbescheunigung v. P bzgl K' = "Coriolis-Beschleunigung" = "Zentrifugal-Beschleunigung" = Beschleunigung der Drehung Newton's 2. Gesetz in K lautet: Wie sieht Newtons 2. Gesetz in K' aus? [E1-Einschub: diese Größen werden Scheinkräfte" genannt; das sind nicht wirklich Kräfte, sie werden nur gebraucht, um die (sehr realen) Beschleunigungen, die in einem beschleunigten Bezugsystem gemessen werden, zu interpretieren] Scheinkräfte echte Kraft Coriolis-Kraft Beispiel: Coriolis-Kraft: Foucaultsches Pendel am Nordpol, Blick von oben Erde Aufgaben zum Selberrechnen: - Wie sieht das Schwingungsmuster am Südpol aus? - Wie sieht das Schwingungsmuster am Äquator aus?

8 Wirbelstürme: Hurricane Mitch Hurricane Katrina Drehrichtung auf Nordhalbkugel: Gegenuhrzeigersinn! Wirbelstürme: Warme Luft über dem Ozean steigt auf, erzeugt Niedrigdruckgebiet, das Luft lateral ansaugt. Die Coriolis-Kraft lenkt die angesaugte Luft ab, sodass Wirbel entsteht. Druckgradientkraft berücksichtigen: angesaugte Luft Äquator Am Äquator: => Keine Wirbelstürme! Auf Kreisbahn: Druckgradientkraft und Corioliskraft gleichen sich aus