3D-Transformationen. Kapitel Translation Skalierung

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1 Kapitel 13 3D-Transformationen Wie im weidimensionalen Fall, werden die Definitionspunkte der Objekte als Spaltenvektoren mit homogener Koordinate geschrieben. Die notwendigen Transformationen werden wieder durch Matrien realisiert. Im dreidimensionalen Fall handelt es sich um 4 4-Matrien Translation Mit homogenen Koordinaten läßt sich der um den Translationsvektor t = (t t t ) T verschobene Punkt P = (,,) (,, ) := ( +t, +t, +t ) in der folgenden Form darstellen: 1 = T (t,t,t ) 1 mit T (t,t,t ) = t t t 13.2 Skalierung Gegeben: Drei Skalierungsfaktoren s 0, s 0 und s 0. Es liege der Fipunkt im Ursprung: (,, ) := ( s, s, s ) Die daraus resultierende Transformationsmatri lautet: 153

2 154 KAPITEL 13. 3D-TRANSFORMATIONEN S(s,s,s ) = s s s 0 Es liege der Fipunkt bei (Z,Z,Z ): 1. Translation um ( Z, Z, Z ), 2. Skalierung um (s,s,s ), 3. Translation um (Z,Z,Z ). Die Transformationsmatri lautet: T (Z,Z,Z ) S(s,s,s ) T ( Z, Z, Z ) 13.3 Rotation Rotation um die -Achse := cos(δ) sin(δ) := sin(δ) + cos(δ) := Die daraus resultierende Transformationsmatri lautet: Rotation um die -Achse R (δ) = cos(δ) sin(δ) 0 0 sin(δ) cos(δ) := := cos(δ) sin(δ) := sin(δ) + cos(δ) Die daraus resultierende Transformationsmatri lautet: R (δ) = cos(δ) sin(δ) 0 0 sin(δ) cos(δ) 0

3 13.3. ROTATION 155 Rotation um die -Achse := sin(δ) + cos(δ) := := cos(δ) sin(δ) Die daraus resultierende Transformationsmatri lautet: Rotation um eine beliebige Achse R (δ) = cos(δ) 0 sin(δ) sin(δ) 0 cos(δ) 0 Voraussetung: Die Rotationsachse stimme nicht mit einer der Koordinatenachsen überein. Idee: Transformiere Rotationsachse und Objekt so, daß die Rotationsachse mit der -Achse übereinstimmt, rotiere um vorgegebenen Winkel δ, transformiere urück. 1. Translation von Rotationsachse (und Objekt), so daß die Rotationsachse durch den Ursprung läuft. 2. Rotation der Rotationsachse um die -Achse in die -Ebene. 3. Rotation der Rotationsachse um die -Achse in die -Achse. 4. Rotation des Objekts um die -Achse mit Winkel δ. 5. Rücktransformation des gedrehten Objekts durch Anwendung der inversen Transformationen der Schritte (3), (2) und (1). Ist die Rotationsachse durch die Punkte P 1,P 2 gegeben, so gilt Die Länge dieses Vektors lautet v = P 2 P 1 = v = ( 2 1 ) 2 + ( 2 1 ) 2 + ( 2 1 ) 2. Die Komponenten des ugehörigen Einheitsvektors u = v v = a b c, u = 1

4 156 KAPITEL 13. 3D-TRANSFORMATIONEN lauten daher a = 2 1 v, b = 2 1 v, c = 2 1. v Schritt 1 läßt sich durch die Translation T ( 1, 1, 1 ) durchführen. Dadurch wird P 1, Ausgangspunkt des Einheitsvektors u, in den Ursprung verschoben. Für Schritt 2 sind Sinus und Cosinus des Rotationswinkels α erforderlich, der wischen der Projektion u von u auf die -Fläche und der -Achse, repräsentiert durch den Vektor u = (0 0 1) T, liegt. u = (0,b,c) α u = (a,b,c) b d = b 2 + c 2 α c cos(α) = c d sin(α) = b d Nach Schritt 2 befindet sich der ursprüngliche Vektor u als u in der -Ebene: β u = (a,0,d) Für Schritt 3 (Rotation um -Achse) benötigt man Sinus und Cosinus des Rotationswinkels β. Positive Winkel ergeben eine Rotation gegen den Uhreigersinn, wenn man aus Richtung der Positiven - Achse auf die -Ebene schaut: β a 360 β u = 1 d

5 13.4. TRANSFORMATION DER NORMALENVEKTOREN 157 cos(β) = cos(360 β) = d sin(β) = sin(360 β) = a Nach den ersten drei Schritten ist die Drehachse mit der -Achse identisch, so daß Schritt (4) mit der Rotationsmatri R (δ) durchgeführt werden kann. Schritt (5) beinhaltet die Anwendung der inversen Transformationen. Die Rotation um die Achse v = P 1 P 2 um den Winkel δ läßt sich daher wie folgt darstellen: R( v,δ) = T (P 1 )R 1 (α) R 1 (β) R (δ) R (β) R (α) T ( P 1 ) 13.4 Transformation der Normalenvektoren Die Normalenvektoren müssen bei der Transformation von Objektpunkten ebenfalls abgebildet werden. Wenn diese Transformation.B. eine nicht-uniforme Skalierung ist, dann bleiben die Winkel wischen einelnen Flächen nicht erhalten >90 <90 Winkeluntreue unter nicht uniformer Skalierung Wenn die Normale n mit derselben Matri M transformiert wird, wie die Objektpunkte einer Fläche F, ist n anschließend evtl. nicht mehr senkrecht u F. Wie muß n transformiert werden? Seien P 1,P 2 wei Punkte der Ebene mit Normalenvektor n. Sei r = P 2 P 1. Offenbar gilt Daraus folgt Durch weimaliges Transponieren erhält man n T r = 0 n T M 1 M r = 0 ((M 1 ) T n) T r = 0

6 158 KAPITEL 13. 3D-TRANSFORMATIONEN Für den transformierten Vektor n muss offenbar gelten Aus den beiden Gleichungen folgt daher n T r = 0 (M 1 ) T n = n Also muss bei einer Fläche der Normalenvektor n mit der transponierten Inversen der Transformationsmatri M transformiert werden.