3 Koordinatentransformationen

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1 8 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE 3 Koordinatentransformationen Für die Darstellung von dreidimensionalen Objekten wird grundsätlich eine Reihe von Transformationen ausgeführt, die von den Modellkoordinaten bis hin u den Gerätekoordinaten (. B. Bildschirm) führen. Transformations Pipeline: MC Modellkoordinaten lokale Koordinaten eines u betrachtenden Objekts,. B. Koordinatenursprung im Mittelpunkt und Achsen parallel u Begrenungsflächen WC Weltkoordinaten Anordnung des Modells (bw. mehrerer Modelle) in der Welt (Berücksichtigung der räumlichen Lage ueinander) VRC NPC DC Betrachterkoordinaten (View Reference Coordinate Sstem) Normalisierte Gerätekoordinaten (Normalied Projection Coordinate Sstem) Gerätekoordinaten (Device Coordinate Sstem) Festlegung der Lage der Bildebene in der Welt durch: VRP NRP VUP (View Reference Point) Beugspunkt,. B. Mittelpunkt der Bildschirmebene (Normal Reference Point) Punkt auf der positiven Achse, die um Betrachter eigt, Betrachterstandpunkt (View Up Vector) Orientierung der Bildebene, Achse Festlegung des Ausschnitts aus der Welt, der nach Projektion auf die Bildebene sichtbar sein soll. Dieser wird als Einheitswürfel definiert, dessen Seitenlänge einer maimal u berechnenden Bildauflösung entspricht. (. B. 3 bei Verwendung von short int Koordinaten bei einfachsten Proessoren) Abbildung der geräteunabhängigen (normalisierten) Gerätekoordinaten auf die Koordinaten des konkreten Ausgabegerätes (Bildschirm, Drucker,... ) Transformationen werden für homogene Koordinaten durch 4 4 Matrien beschrieben: bw. p T p t t 2 t 3 t 4 t 2 t 22 t 23 t 24 t 3 t 32 t 33 t 34 t 4 t 42 t 43 t 44 Die Nacheinanderausführung von Transformationen T und T 2 entspricht einer Gesamttransformation T T 2 T, die durch Matrimultiplikation u berechnen ist. Beachte: Matrimultiplikation ist nicht kommutativ. Da in der Regel darustellende Objekte aus sehr vielen Punkten bestehen, sollte grundsätlich unächst die aus allen Eineltransformationen T i entstehende Gesamttransformation T berechnet werden, so dass nur diese eine Matri mit allen Punkten u multipliieren ist. w

2 M. Pester 9 3. Objekttransformationen In einem gegebenen Koordinatensstem werden Objekte (Punkte) transformiert (bewegt). () Translation Verschiebung aller Punkte um einen Vektor v Transformation und Rücktransformation T, T Es gilt offensichtlich: T und T (2) Rotation Transformationsmatrien für die Drehung aller Punkte um eine Koordinatenachse um einen Winkel ϕ im mathematisch positiven Drehsinn: cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ R (ϕ) R (ϕ) sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ R (ϕ) cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ Rücktransformationen : R R R R R R Die Rücktransformationen ergeben sich als Drehung um den Winkel ϕ um die gleiche Achse, unter Beachtung von cos( ϕ) cos ϕ und sin( ϕ) sin ϕ. Transformationsmatri für die Drehung um eine beliebige durch den Ursprung verlaufende Achse (mit: c cos ϕ, s sin ϕ): R g (ϕ) g : P O + t a, t IR, a a a a, a c + ( c)a 2 ( c)a a sa ( c)a a + sa ( c)a a + sa c + ( c)a 2 ( c)a a sa ( c)a a sa ( c)a a + sa c + ( c)a 2 Andere Darstellung bei Betrachtung der Wirkung der oberen 3 3-Matri von R g auf die Koordinaten (,, ) von p: p cp + ( c)aa p + s(a p) Rotationsmatrien sind orthogonale Matrien (R R und det (R) ).

3 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE (3) Spiegelung Wir betrachten die Spiegelung an einer durch den Ursprung verlaufenden Ebene, die durch ihren Normalenvektor n gegeben ist. Der Bildpunkt P eines Punktes P liegt auf der entgegengesetten Seite der Ebene im gleichen Abstand d von der Ebene. Der Verbindungsvektor P P verläuft senkrecht ur Spiegelungsebene, also parallel u n: P P 2 d n, d ( n OP ) n p + n p + n p d. h. p p p p 2n (n p + n p + n p ) p 2n (n p + n p + n p ) p 2n (n p + n p + n p ) 2n 2 2n n 2n n 2n n 2n 2 2n n 2n n 2n n 2n 2 p p p Spiegelungsmatri: S I 2 nn. Dies ist eine orthogonale Matri, für die gilt: S S S und det (S). (4) Skalierung Durch Änderung der Maßeinheiten der einelnen Koordinatenrichtungen werden alle Objekte entsprechend gestreckt bw. gestaucht. Der Skalierungsfaktor s bedeutet hier eine Änderung der Einheitslänge der Achse auf s. Die Verkürung der Einheit (s > ) entspricht somit einer Streckung des Objekts bei gleichbleibender Einheit, für s < wird das Objekt in Richtung gestaucht. p p p s p s p s p Dabei gilt offensichtlich. s s s p p p d. h. p M p. Für den Fall einer einheitlichen Skalierung in allen drei Koordinatenrichtungen kann auch die folgende Skalierungsmatri verwendet werden (mit s s s s): (5) Scherung M s s d. h. p p p p s s p s p s p Unter der Scherung versteht man eine Vererrung des Bildes durch die Verschiebung eines jeden Punktes in Richtung der einelnen Koordinatenachsen um einen Betrag, der vom ursprünglichen Abstand des Punktes u den jeweils anderen Achsen linear abhängt. + s + s 2 s s 4 s 5 + s 6 + s s 2 s 3 s 4 s 5 s 6

4 M. Pester In der Ebene: P ( + s, + s 3 ) w s s Transformation des Koordinatensstems Die u betrachtenden Objekte bleiben in der Welt unverändert. Lediglich das Beugssstem (das Betrachterkoordinatensstem) wird neu festgelegt. Beüglich dieses neuen Koordinatensstems entstehen für alle Objekte neue Koordinaten. Wir beeichnen mit K O das Originalkoordinatensstem und mit K B das Bild oder Betrachterkoordinatensstem: K O (O, { u, u 2, u 3 }) ( { K B O, b, b 2, }) () b 3 Beispiel: Verschiebung des Ursprungs b2 u 2 v O O P u Dabei ist b i u i, d. h. die Basisvektoren stimmen überein. Es gilt: p p v. Die Verschiebung des Ursprungs um den Vektor v entspricht somit einer (Objekt ) Verschiebung des Punktes P um den Vektor v. b Drehung (mit Zentrum im Ursprung) b2 u 2 P b ϕ O u Die Basisvektoren werden um eine durch den Ursprung verlaufende Achse um den Winkel ϕ gedreht (Basistransformation). Die Koordinaten p entsprechen denen der (Objekt ) Drehung des Punktes P mit dem Winkel ϕ. Folgerung: Die Transformation des Koordinatensstems liefert jeweils die gleichen Bildkoordinaten wie die Inverse der entsprechenden Objekttransformation. Die Basistransformation Original und Betrachterkoordinatensstem seien wie in () gegeben, jeweils mit einer Orthonormalbasis. Für einen beliebigen Vektor v gilt in K O : v v j u j in K B : v v i b i (2)

5 2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE Damit gilt auch für die Vektoren b i der Basis von K B Basisvektoren u j von K O : eine solche Zerlegung beüglich der bi 3 a ij u j, i, 2, 3 (3) j oder in Koordinatenschreibweise: b a a 2, b 2 a 2 a 22, b 3 a 3 a 32 (4) a 3 a 23 a 33 Diese Zerlegungskoeffiienten der neuen Basis beüglich der alten Basis werden u einer Matri A usammengefasst: b a a 2 a 3 A b 2 a 2 a 22 a 23 b 3 a 3 a 32 a 33 Wegen der Orthonormalität der Basisvektoren gilt: b b A b b 2 b e, analog: A b 2 e 2, A b 3 e 3, b 3 b d. h. die Matri A bildet die Koordinaten der neuen Basisvektoren b i beüglich der Basis von K O in die Einheitsvektoren e i ab. Daraus folgt unmittelbar: A A A (b b 2 b 3 ) (e e 2 e 3 ) I also: A A Für einen beliebigen Vektor v gilt nach (2): v j v j u j und v i v i b i i v i j a ij u j ) j ( i a ij v i u j d. h. v j i a ij v i Die Anwendung der Matri A auf einen Vektor in Koordinaten von K O liefert dessen Koordinaten in K B. Ebenso liefert die Anwendung von A auf einen Vektor in Koordinaten von K B dessen Koordinaten in K O : v A v und v A v. Die Gesamttransformation T des Koordinatensstems sett sich aus der uerst ausuführenden Verschiebung des Ursprungs um den Vektor c OO und der anschließenden Basistransformation usammen: ( ) ( ) ( ) A O I c A Ac T O O O ( ) ( ) ( ) T I c A O A c O O O Hier ist c die Koordinatendarstellung des Vektors c im Koordinatensstem K O. (Ac ist derselbe Vektor in Koordinaten von K B.)

6 M. Pester Transformation auf Betrachterkoordinaten Wir betrachten hier unächst nur die Basistransformation unter der Annahme, dass der Koordinatenursprung uvor in den Mittelpunkt des u betrachtenden Ausschnittes verschoben wurde (später. B. auf den Mittelpunkt des Bildschirms abubilden). Die Basis des Betrachterkoordinatensstem K B sei im folgenden stets definiert durch die Vektoren: u: v: w: Up Vektor, der in der Bildebene liegt und nach oben eigt; Blickvektor, senkrecht aus der Bildebene um Betrachter (Normalenvektor der Bildebene); ein u u und v orthogonaler Vektor, so dass { w, u, v} ein Rechtssstem ist, d. h. w u v. u v w 3 Die Basisvektoren des Weltkoordinatensstems (K O ) sind mit,, beeichnet. Die Basisvektoren u, v, w seien in Weltkoordinaten gegeben: u u u 2 u 3, v v v 2 v 3, w w w 2 w 3 u 2 v 3 u 3 v 2 u 3 v u v 3 u v 2 u 2 v Dann lautet die Matri für die Basistransformation: w w 2 w 3 A u u 2 u 3 bw. T v v 2 v 3 w w 2 w 3 u u 2 u 3 v v 2 v 3 ( A ) Die Vektorkoordinaten von,, in der Basis des Betrachterkoordinatensstems seien mit,, beeichnet. Im Ausgangskoordinatensstem hatten diese Vektoren die Koordinaten Somit gilt: A A e, w w 2 w 3 u u 2 u 3 v v 2 v 3 w 2 u 2 e 2,, A w 3 u 3 w u v e 3. v 2 v 3