Projektion. Ebene geometrische Projektionen

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1 Projektion Ebene geometrische Projektionen Die ebenen geometrischen Projektionen sind dadurch charakterisiert, daß mit Projektionsstrahlen konstanter Richtung, d.h. entlang von Geraden, auf Ebenen projiziert wird Bei Parallelprojektionen sind die Projektionsstrahlen parallel

2 Ebene geometrische Projektionen A A Projectors A' B Projectors A' B Center of projection (a) B' Projection plane Center of projection at infinity (b) B' Projection plane Ebene geometrische Projektionen - 4 -

3 Einteilung ebener geometrischer Projektionen Ebene geometrische Projektionen Stimmt die Projektionsrichtung mit einer der Koordinaten- Richtungen überein, so erhalten wir je nach Wahl der Ebene und des Vorzeichens der Projektionsrichtung einen der sechs Hauptrisse eines Objektes. In Matritzenschreibweise beispielweise ist die Projektion auf die Ebene z = z 0 gegeben durch In den meisten Fällen wird man für x 0, y 0, oder z 0 den Wert null wählen

4 Parallelprojektionen Die Hauptrichtungen des darzustellenden Objektes stimmen mit den Koordinatenachsen überein Parallelprojektionen Bei den Parallelprojektionen unterscheidet man zwischen rechtwinkligen und schiefwinkligen Projektionen. Bei rechtwinkligen Projektionen steht die Projektionsrichtung senkrecht auf der Projektionsebene, d.h. sie ist parallel zur Normalen der Projektionsebene. Dementsprechend steht bei schiefwinkligen Projektionen die Projektionsrichtung nicht senkrecht auf der Projektionsebene und bildet mit der Normalen der Projektionsebene einen Winkel. Bei Parallelprojektionen bleiben Längen auf Geraden parallel zur Projektionsebene erhalten

5 Parallelprojektionen Rechtwinkligen Projektionen. Bei rechtwinkligen Projektionen steht die Projektionsrichtung senkrecht auf der Projektionsebene, d.h. sie ist parallel zur Normalen der Projektionsebene Parallelprojektionen Rechtwinkelige Projektionen. Ist die Projektionsrichtung durch p = (px, py, pz) t gegeben, so sind dadurch die Verkürzungsverhältnisse vx : vy : vz auf den Hauptachsen durch die Projektion bestimmt. Sie entsprechen den Längenverhältnissen der projizierten Einheitsvektoren e x ',e y ',e z ': v x :v y :v z = e x ' : e y ' : e z '

6 Ebene geometrische Projektionen Stimmt die Projektionsrichtung mit einer der Koordinaten- Richtungen überein, so erhalten wir je nach Wahl der Ebene und des Vorzeichens der Projektionsrichtung einen der sechs Hauptrisse eines Objekts Parallelprojektionen Projectors for top view Projection plane (top view) Projectors for side view Projection plane (front view) Projectors for front view Projection plane (side view)

7 Ebene geometrische Projektionen Die Lage des Bildschirmkoordinatensystems wird meist so gewählt, daß sein Ursprung mit dem Ursprung des 3D-Koordinatensystems zusammenfällt und die z-richtung die Oben-Richtung (ViewUp) definiert. Die Projektion der Oben-Richtung auf die Projektionsebene definiert y'. Seien Dann läßt sich das rechtshändige Bildschirmkoordinatensystem wie folgt berechnen: Ebene geometrische Projektionen Tragen wir diese Einheitsvektoren in die Spalten einer 3 x 3 Matrix ein, so erhalten wir die Matrix die die Einheitsvektoren (1, 0, 0) t, (0, 1, 0) t und (0, 0, 1) t des x,y,z- Koordinatensystems auf die Vektoren und des Bildschirmkoordinatensystems x,y,z abbildet

8 Ebene geometrische Projektionen Zum Wechsel in das Bildschirmkoordinatensystem wird die Inverse dieser Matrix benötigt. Da die Vektoren e x', e y' und e z' orthonormal sind, stimmt die Inverse dieser Matrix mit ihrer Transponierten überein. Die transponierte 3x3 Matrix wird in eine 4x4 Matrix eingebettet. Eine anschließende Parallelprojektion entlang der z'- Achse auf die x',y'-ebene (Projektionsebene) liefert die Gesamttransformation: Ebene geometrische Projektionen Zwischen der projizierten x-hauptrichtung und der x'-achse des Bildschirmkoordinatensystems ergibt sich ein Winkel von

9 Ebene geometrische Projektionen Isometrie. Die Normale der Projektionsebene bildet mit allen Koordinatenachsen denselben Winkel, woraus gleiche Verkürzungsverhältnisse auf allen drei Achsen folgen. In der Praxis werden anstatt der Winkel zwischen den projizierten Koordinatenachsen die Winkel und angegeben Ebene geometrische Projektionen Dimetrie. Die Normale der Projektionsebene bildet mit zwei Koordinatenachsen denselben Winkel, woraus gleiche Verkürzungsverhältnisse auf zwei Achsen folgen

10 Ebene geometrische Projektionen Trimetrie. Die Normale der Projektionsebene bildet verschiedene Winkel mit den Koordinatenachsen, wodurch sich beliebige Verkürzungsverhältnisse entlang der Achsen realisieren lassen Ebene geometrische Projektionen Bei den schiefwinkligen Projektionen ist die Projektionsebene meistens parallel zu zwei Koordinatenachsen, die Projektionsrichtung jedoch nicht senkrecht zu der Projektionsebene

11 Ebene geometrische Projektionen Bei der Kavalierprojektion bildet die Projektionsrichtung mit der Normalen der Projektionsebene einen Winkel von 45. Daher bleiben die Längen auf Geraden senkrecht zur Projektionsebene bei dieser Projektion unverändert Ebene geometrische Projektionen Bei der Kabinettprojektion werden Längen auf Geraden senkrecht zur Projektionsebene um den Faktor 1/2 verkürzt. Der Winkel β zwischen Projektionsebene und Projektionsrichtung ist daher arctan(2) =

12 Ebene geometrische Projektionen Beispiele schiefwinkliger Projektionen Projection plane y z Projector x Projection-plane normal Ebene geometrische Projektionen Beispiele Rechtwinkeliger und schiefwinkliger Projektionen multiview orthographic cavalier cabinet

13 Ebene geometrische Projektionen Bei der Kabinettprojektion werden Längen auf Geraden senkrecht zur Projektionsebene um den Faktor 1/2 verkürzt. Der Winkel β zwischen Projektionsebene und Projektionsrichtung ist daher arctan(2) = Perspektivische Projektionen

14 Perspektivische Projektionen Perspektivische Projektionen sind keine affinen Abbildungen, da sie z.b. Längenverhältnisse nicht invariant lassen: Vom Blickpunkt weit entfernte Objekte werden kleiner dargestellt als Objekte mit kleinem Abstand zum Blickpunkt (Augpunkt, Beobachtungspunkt) Perspektivische Projektionen Diese Projektion läßt sich folgendermaßen berechnen. Ist der zu projizierende Punkt P=(x,y) und der Augpunkt A=(-x 0,0) gegeben, so gilt nach dem Strahlensatz für die Koordinaten des Punktes B=(0,y ) Allgemein kann daher die Abbildung angegeben werden:

15 Perspektivische Projektionen Daraus ergibt sich die 3x3-Matrix zur Beschreibung dieser Abbildung Perspektivische Projektionen Wie schon bei den Parallelprojektionen, zerlegen wir die Projektion in zwei Abbildungen

16 Perspektivische Projektionen Die durch festgelegte perspektivische Transformation hat folgende Eigenschaften: Die Eigenschaften (1) Für w=1 und x=-x 0 sind die Bildpunkte dieser Abbildung alle von der Form [-x 0,y,0], d.h. alle Punkte auf der affinen Geraden x=-x 0 werden auf unendlich ferne Punkte abgebildet. Um Unstetigkeiten in der perspektivischen Transformation zu vermeiden, bildet man nur Punkte einer der beiden durch diese Gerade bestimmten Halbebenen ab. Man nennt dann diese Halbebene Sichtfeld und die Gerade x=-x 0 Sichtgerade

17 Die Eigenschaften (2) Die Punkte der projektiven Geraden x=0, das ist die y-achse vereinigt mit dem unendlich fernen Punkt [0,1,0], sind Fixpunkte dieser Abbildung, d.h. sie bleiben unverändert. Die y-achse bleibt daher bei dieser Abbildung fest. Da auch der unendlich ferne Punkt [0,1,0] ein Fixpunkt ist, bleiben zur y-achse parallele Geraden parallel zur y-achse Die Eigenschaften (3) Aus 1. folgt zunächst, dass der affine Punkt [-x 0,0,1] auf den unendlich fernen Punkt [-x 0,0,0]=[1,0,0], d.h. auf die Richtung der x-achse abgebildet wird. Nach 2. bleiben die Punkte der affinen y-achse bei der Transformation fest. Auch im projektiven Raum sind Geraden durch zwei Punkte festgelegt. Da bei projektiven Abbildungen Geraden auf Geraden abgebildet werden, folgt daraus, daß eine affine Gerade durch den Augpunkt [-x 0,0,1], welche die affine y-achse im Punkt [0,y 0,1] schneidet, auf eine affine Gerade parallel zur x-achse durch den Punkt [0,y 0,1] abgebildet wird

18 Die Eigenschaften (4) Der Punkt [x,y,0] wird auf den Punkt abgebildet. Daher enthalten die Bildgeraden von Parallelen zur affinen Geraden mit der Richtung [x,y,0] alle den Punkt, d.h. sie schneiden sich in diesem Punkt. Variert man x und y, so sieht man, daß die Gesamtheit der Bildpunkte aller Richtungen [x,y,0] auf der Geraden x=x 0 liegt. Diese Gerade heißt Fluchtgerade Die Eigenschaften (5) Die Schnittpunkte der Bildgeraden von Parallelen zu den Koordinatenachsen werden Hauptfluchtpunkte oder einfach Fluchtpunkte genannt. Nach 4. schneiden sich die Bildgeraden von Parallelen zur x-achse alle in dem affinen Punkt [x 0,0,1]. Nach 2. bleiben Parallelen zur y-achse parallel, d.h. sie schneiden sich nur im unendlich fernen Punkt [0,1,0] ihrer Richtung. Daher besitzt die perspektivische Abbildung, die durch T p dargestellt wird, nur einen Hauptfluchtpunkt im Affinen. Man nennt diese spezielle Perspektive daher Einpunktperspektive

19 Perspektivische Projektionen Beispiele für Ein,- Zwei- und Drei-Punktperspektive Perspektivische Projektionen Eine allgemeine perspektivische Transformation ist durch gegeben. Die Richtungen von Parallelen zu den Koordinatenachsen, d.h. die Punkte [1,0,0,0] t, [0,1,0,0] t, bzw. [0,0,1,0] t werden auf die Fluchtpunkte [x 0,0,0,1] t, [0,y 0,0,1] t, bzw. [0,0,z 0,1] t abgebildet

20 Ebene geometrische Projektionen Zur vollständigen Definition einer Kamera muss neben der Kameraposition auch das sogenannte Sichtvolumen viewing volume spezifiziert werden. Dazu gehören: horizontaler und vertikaler Öffnungswinkel, Brennweite near und far Clipping Ebenen in der Nähe und Ferne Kameraparameter Äußere (extrinsic) Kameraparameter beschreiben die Lage des Kamerakoordinatensystems zum Weltkoordinatensystem Innere (intrinsic) Kameraparameter beschreiben den Zusammenhang zwischen Pixelkoordinaten und Koordinaten im Kamerakoordinatensystem

21 Definition einer perspektivischen Transformtion Bei der praktischen Anwendung von Projektionen liegt der Standort des Betrachters beliebig im Objektraum. Eine allgemeine perspektivische Transformation wird durch die Festlegung eines Augpunktes (Eye), eines Blickbezugspunktes (VRef) und der Angabe einer Oben-Richtung (ViewUp) festgelegt Äußere Kameraparameter 1. Berechnung des Bildschirmkoordinatensystems mit Ursprung Vref und den Basisvektoren v'x, v'y und v'z : v'z wird durch VRef und Eye definiert. v'x steht senkrecht auf den Vektoren ViewUp und v'z. Da die y-achse des Bildschirmkoordinatensystems in die entgegengesetzte Richtung des ViewUp-Vektors zeigt, bilden die drei Vektoren vx ', ViewUp, und vz ' ein linkshändiges, noch nicht notwendig orthogonales Koordinatensystem. Der Vektor ViewUp wird daher durch den Vektor v'y senkrecht zu v'z und v'x ersetzt, so dass v'x,v'y und v'z ein rechtshändiges orthogonales Koordinatensystem bilden. Die Vektoren v'x, v'y und v'z müssen normiert werden! 2. Translation des Bildschirmkoordinatensystems in den Ursprung. 3. Rotation des Bildschirmkoordinatensystems auf das Welt- bzw. Referenzkoordinatensystem: v'x >x; v y >y; v z >z;

22 Innere Kameraparameter Perspektivische Projektion mit Brennweite f = VRef -Eye. Zur Vereinfachung liegt der Beobachtungspunkt (Eye) meist im Abstand f zu Ursprung (Vref) auf der negativen z-achse. Transformation der Bildebenenkoordinaten (x,y) zu Pixelkoordinaten (Verschiebung und Skalierung) Beispiel Gesucht ist eine projektive Transformation T, die eine perspektivische Abbildung des Einheitswürfels entsprechend folgendem Bild liefert:

23 Beispiel Lsg.: Zunächst wählen wir fünf projektiv unabhängige Punkte p 1 =[0,0,0,1], p 2 =[1,0,0,1], p 3 =[0,0,1,1], p 4 =[0,1,0,1], p 5 =[1,1,1,1] und ihre Bildpunkte p 1 '=[0,0,0,1], p 2 '=[1,0,0,1], p 3 '=[0,0,1,1], p 4 '=[1/4,1,1/4,1], p 5 '=[3/4,1,3/4,1]. Dann bestimmen wir die Matrizen A und B, die die Punkte b 1 =(1,0,0,1) t,b 2 =(0,1,0,1) t,b 3 =(0,0,1,1) t,b 4 =(0,0,0,1) t,b 5 =(1,1,1,1) t auf die Punkte p 1,,p 5 bzw. p 1,,p 5 abbilden Beispiel Zunächst bestimmen wir die Matrix A, die die Punkte b 1... b 5, die eine Basis des projektiven Raums bilden, auf die Punkte p 1... p 5 abbildet:

24 Beispiel Analog bestimmen wir die Matrix B, die b 1... b 5 auf p 1 '... p 5 ' abbildet : Die gesuchte projektive Transformation T ergibt sich nun als T=BA