Billboard Clouds for Extreme Model Simplification

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1 Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Arbeitsgruppe Algorithmen und Komplexität Prof. Friedhelm Meyer auf der Heide Billboard Clouds for Extreme Model Simplification Seminararbeit im Rahmen der Projektgruppe P2P-Netzwerke für dynamische 3D-Szenen von Sebastian Gerdemann Matrikelnummer Paderborn, November 2003

2 1 EINFÜHRUNG 1 1 Einführung Da Modelle in der modernen Computergrafik immer komplexer, detaillierter und somit schwieriger zu berechnen werden, wird es gerade im Kontext von Echtzeitanwendungen notwendig, diese Modelle stark zu Vereinfachen. Ziel dieser Vereinfachung ist es einerseits, die Komplexität der Berechnung eines Modells an die Ressourcen das verwandten System anzupassen, beziehungsweise die Komplexität so stark wie möglich zu reduzieren. Andererseits soll durch die verwendeten Verfahren zur Vereinfachung eines Modells die Qualität des entstehenden, vereinfachten Modells im Bezug zum Ausgangsmodell möglichst nicht oder kaum reduziert werden. Diese sich gegenüberstehenden Ziele beschreiben das wesentliche Problem der Vereinfachung von Modellen in der Computergrafik und stellen so die schwierigste Aufgabe bei der Entwicklung eines effizienten Vereinfachungsverfahrens dar. Ein sehr populärer Ansatz zur Vereinfachung komplexer Modelle ist die Verwendung von texturierten Rechtecken, so genannten Billboards. Ein solches Billboard ist eine texturierte Fläche, meist ein Rechteck, welches durch Anpassung des Alphawertes auch transparent sein kann. Die Textur dieser Fläche entsteht durch Parallelprojektion eines komplexen Modells auf die Ebene des Billboards. Die nun auf der Fläche dargestellten Polygone des Modells bilden diese Textur. In Abbildung?? ist ein solches Billboard dargestellt. Abbildung 1: Die im linken Bild dargestellten Bäume sind durch Billboards vereinfacht. Zu erkennen ist, das bei großer Entfernung diese Vereinfachung die Qualität der Szene nur gering beeinflusst, da die verwendeten Billboards nur die Textur der Bäume darstellen und ansonsten transparent sind. Diese transparenten Bereiche der Billboards sind im rechten Bild schwarz dargestellt. Erst hier erkennt man die Größe und rechteckige Form der Billboards. Ebenfalls zu erkennen ist, dass nun schwarze Bereiche die Texturen weiter zurück liegender Billboards überdecken. Dies lässt die Szene unrealistisch erscheinen und stellt die Notwendigkeit der Transparenz von Billboards dar. Wird ein solches Billboard zur Vereinfachung eines Modells genutzt, wird dieses in einer Szene entweder parallel zur Bildebene darstellt, oder vereinfacht das Modell mittels zweier Billboards, angeordnet in einem Kreuz. Bei Verwendung nur eines Billboards, muss dieses kontinuierlich anhand des Betrachtungswinkels in der Szene so ausgerichtet werden, das dies immer parallel zur Bildebene steht. Dies garantiert, dass der Betrachter das Billboard immer von Vorne sieht, und so kaum auffällt, dass das Modell nur durch eine Fläche dargestellt wird. Diese Methode vereinfacht ein komplexes Modell, bestehend aus mehreren tausend Polygonen zu einer Darstellung aus einigen wenigen Flächen. Aus diesem Grund eignet sich dieser Ansatz gut zur extremen Vereinfachung von Modellen, verringert allerdings auch extrem die Qualität der Darstellung. Besonders bei der Darstellung naher

3 1 EINFÜHRUNG 2 Modelle erscheint die Verwendung konventioneller Billboardverfahren unzureichend. In dieser Arbeit soll der von Xavier Décoret, Frédo Durand, Francois X. Sillion und Julie Dorsey entwickelte Ansatz zur Lösung dieser Aufgabe, das Prinzip der Billboard Wolken zur extremen Vereinfachung von Modellen ( Billboard Clouds for extreme Modell Simplification ) vorgestellt werden [1]. Dieser Ansatz stützt sich auf die Vereinfachung von Modellen mittels Billboards, eignet sich allerdings auch zur Darstellung komplexer Modelle in geringer Entfernung. Dieser Vorteil wird durch eine komplexe, nicht in wechselseitiger Beziehung zueinander stehende Anordnung von Billboards erzielt. Die Anzahl der verwendeten Flächen richtet sich hierbei nach einem Fehlerfaktor, der wesentlich die Qualität der erzeugten Vereinfachung bestimmt. Im Folgenden soll beschrieben werden, nach welchem Verfahren die Methode der Billboard Clouds die Menge der Billboards eines Modells ermittelt, und mittels einer Dichte-Funktion und eines Greedy Algorithmus aus dieser Menge die optimalen Flächen bestimmt. 1.1 Prinzip der Vereinfachung mittels Billboard Clouds Abbildung 2: Das originale Modell (a) bestehend aus 5138 Polygonen soll mittels dem Verfahren der Billboard Clouds vereinfacht werden. Hierzu wird das Modell durch Ebenen geschnitten, welche die optimale Ausrichtung der Billboards anhand der Parameter Fehlerwert, Abdeckung und Strafe darstellt (b). Das Modell dargestellt durch 32 texturierten Billboards (c). Darstellung aller verwendeten Billboards der Vereinfachung (d). Das vorgestellte Verfahren Billboard Clouds for extreme Modell Simplification basiert darauf, die komplexe und rechenintensive Polygonstruktur eines Objektes durch eine Anordnung von texturierten Flächen, sogenannten Billboards darzustellen (siehe Abbildung 2). Die Menge der verwendeten Billboards wird hierzu automatisch, nach dem Kriterium der besten Darstellung des Ausgangsmodells unter Betrachtung eines Fehlerfaktors und einer Kostenfunktion bestimmt. Anschließend werden die Polygone des Modells auf die gewählten Flächen projiziert, und so die Textur und Transparenz des Billboards berechnet. So können auch komplexe, nicht verbundene Strukturen stark vereinfacht werden, da jegliche Informationen über Zusammenhang und Anordnung von Elementen des 3D Modells in der Textur der entsprechenden Flächen gespeichert werden [1]. Ziel des Verfahrens der Billboard Clouds ist die Optimierung der Wahl der zur Darstellung verwendeten Flächen. Diese Optimierung richtet sich nach dem Fehlerfaktor ε, welcher die Qualität des entstehenden, vereinfachten Modells beeinflusst, und einer Kostenfunktion, welche die Vereinfachung des Modells garantiert. Hierbei beschreibt der Fehlerfaktor den

4 2 DICHTE IM PLANE SPACE 3 Abstand des zur Darstellung eines Polygons gewählten Billboards zu allen Eckpunkten dieses Polygons. So würde zum Beispiel ein Fehlerfaktor mit ε=0 zur Darstellung eines Polygons nur die Ebene durch alle (in der Regel drei) Punkte des Polygons als Billboard zulassen. Dies würde allerdings nur eine geringe Vereinfachung des Modells ermöglichen. Die Kostenfunktion des Billboard Clouds Verfahrens hingegen bewertet die Kompaktheit der Texturen und die Anzahl der benutzten Billboards eines vereinfachten Modells. Unter gegebenem Fehlerfaktor ist es nun die Aufgabe des Verfahrens, eine Menge von Billboards mit minimalen Kosten zu finden, welche das Modell vereinfachen und den Fehlerfaktor nicht überschreiten. Die Lösung dieser Aufgabe ist mittels eines Greedy - Algorithmus gelöst, welcher iterativ Billboards in eine Menge aufnimmt, die möglichst viele Polygone des Modells abdecken, bzw. darstellen. Diese Billboards werden mittels einer Dichte Funktion bestimmt, welche neben dem verwendeten Greedy - Algorithmus im folgenden näher beschrieben werden soll. 2 Repräsentation optimaler Billboards durch Dichte im Plane Space Die Herausforderung der Vereinfachung von Modellen durch eine Anordnung von Billboards ist es, die optimale Menge dieser unter Einhaltung bestimmter Parameter zu finden. Um dies zu ermöglichen, kann jeder Ebene des Objektraumes, welche als mögliches Billboard der Vereinfachung dienen könnte, ein Wert in einem Raum, dem sogenannten Dual Space oder Plane Space zugeordnet werden. Die x und y Koordinate dieses Raumes beschreiben hierbei die Richtung der Normalen der Ebene und die z Koordinate den Abstand der Ebene zum Zentrum (siehe Abbildung 6). Somit repräsentiert jeder Punkt dieses Plane Space eine Ebene des Objektraums. Für jede dieser Ebenen wird nun der zu repräsentierende Wert, die so genannte Dichte berechnet, welche sich aus den drei Parametern Gültigkeit (validity), Abdeckung (coverage) und Strafe (penalty) wie folgt zusammensetzt. Die Dichte d(p) einer Ebene P ist definiert als: d(p) = C(P) - Penalty(P) C(P) beschreibt hier die Anzahl von Polygonen f des Modells, für die P eine gültige Representation ist [1]. Im folgenden sollen die einzelnen Parameter dieser Funktion und die Unterteilung des Plane Space zur Auswahl dominierende Ebenen näher beschrieben werden. 2.1 Gültigkeit Wie in Kapitel 1 beschrieben, richtet sich die Vereinfachung eines Modells mittels Billboards nach einem Fehlerwert ε, welcher den maximalen Abstand eines Punktes des Modells zur Fläche beschreibt, welche diesen Punkt darstellt. Es soll also das Billboard, welches im vereinfachten Modell einen Punkt p darstellt, im Ausgangsmodell höchstens in Entfernung ε zu diesem Punkt liegen. Somit ist eine Ebene P für einen Punkt p als Billboard gültig, wenn ein Punkt p in P existiert, so das der euklidische Abstand pp < ε ist.

5 2 DICHTE IM PLANE SPACE 4 Gerade diese Voraussetzung erfüllt die Bedingung, dass ein Billboard welches einen Punkt darstellt, maximal ε von diesem Punkt entfernt ist. Der euklidische Abstand zwischen p und p beschreibt hier die Entfernung des Punktes p zu einem beliebigen Punkt p, welcher Element des Billboards ist. Der euklidische Abstand, also pp soll laut Voraussetzung kleiner ε, also kleiner dem Fehlerwert sein. Abbildung 3: Das dargestellte Modell soll durch das Verfahren der Billboard Clouds vereinfacht werden. Das betrachtete Polygon ist hier rot eingefärbt. Die Kugeln um die Eckpunkte des Polygons stellen den Fehlerwert ε dar. Ziel der Vereinfachung ist es nun, eine Ebene zu finden, die alle Kugeln dieses Polygons schneidet. Diese Ebene wäre eine gültige Repräsentierung des Polygons im vereinfachten Modell. Bildlich dargestellt bedeutet dies, dass eine Ebene eine gültige Repräsentation eines Punktes p darstellt, wenn sie die Kugel mit Radius ε um p (siehe Abbildung 3 ) schneidet. Da diese Kugel von mehreren Ebenen geschnitten wird, ergibt sich eine Menge gültiger Repräsentationen eines Punktes. Diese Menge wird mit valid ε (p) bezeichnet. Um die Menge der gültigen Repräsentationen eines Polygons bestimmen zu können, kann man nun die Schnittmenge der Mengen gültiger Repräsentationen aller Eckpunkte des Polygons bilden. Diese Schnittmenge enthält so alle Ebenen, welche die Kugeln mit Radius ε aller Eckpunkte des Polygons f schneiden. Diese Menge bezeichnet man mit valid ε (f). So besitzt jedes Polygon eine Menge gültiger Ebenen, und umgekehrt jede Ebene eine Menge gültiger Polygonen, die durch diese Ebene dargestellt werden. Diese Menge valid ε (P ) wird im Weiteren als Gültigkeitsmenge der Ebene P bezeichnet. Mittels dieser Definition der Gültigkeit kann man die Vereinfachung eines Modells durch Billboards auf das Problem der Abdeckung aller Polygone reduzieren. So stellt sich die Aufgabe eine minimale Menge von Ebenen {P i } zu finden, so das für jedes Polygon f des Modells mindestens ein i existiert, so das f valid ε (P i ) gilt [1].

6 2 DICHTE IM PLANE SPACE Abdeckung Abdeckung beschreibt die Gewichtung eines Billboards anhand des Verhältnisses der Gesamtfläche des Billboards zur Fläche der Orthogonalprojektion der dargestellten Polygone auf das Billboard. Diese Gewichtung dient dazu zu verhindern, dass bei der Wahl von Billboards jene preferiert werden, welche auf großer Fläche eine Anzahl kleiner Polygone darstellen. Aus diesem Grund wird jedes dargestellte Polygon f der Fläche P durch seine Projektionsfläche area P (f) gewichtet. Der Wert der Abdeckung einer Ebene ergibt sich so aus der Summe der Gewichte der dargestellten Polygone: C(P ) = f valid ε(p ) area P (f) Durch diese Gewichtung werden Ebenen preferiert, die große Polygone darstellen und parallel zu diesen liegen [1], da in diesem Fall die orthogonale Projektion der Polygone maximal ist. 2.3 Strafe Strafe (Penalty) ist der letzte Faktor der Bewertung von Ebenen bei der Suche nach optimalen Billboards. Mittels dieses Faktors soll verhindert werden, das Ebenen gewählt werden, welche Polygone in ihrer direkten Nachbarschaft in der Darstellung auslassen. Diese ausgelassenen Polygone wären durch das Verfahren der Billboard Clouds nur schwer zu vereinfachen, und würden so die Effizienz des Verfahrens stark verschlechtern. Abbildung 4: Strafe (Penalty) durch Auslassen von Polygonen. Die in Abbildung 4 (a) dargestellte Ebene P besitzt die optimale Abdeckung der Polygone der Kugel, und sollte als Billboard zur Vereinfachung genutzt werden. Durch die Gewichtung von Ebenen mittels des Parameters der Abdeckung und die daraus resultierende Diskretisierung 1 ist es möglich, dass eine leicht verschobene Ebene zur Vereinfachung genutzt wird (siehe Abbildung 4 (b) ). Das daraus entstehende Billboard würde einen Ring 1 unstetig, in endlichen Intervallen. Gegensatz: kontinuierlich.

7 2 DICHTE IM PLANE SPACE 6 darstellen, da die Polygone der Mitte außerhalb des Fehlerwertes ε liegen. Um dieses zu vermeiden, wird jede Ebene durch die Polygone bestraft, die von dieser Ebene ausgelassen werden. Damit nicht alle Polygone alle Ebenen in denen sie nicht vorhanden sind bestrafen, ist der Bereich der Ebenen die ein Polygon auslassen wie in Abbildung 4 (c) eingeschränkt. Hier ist zu erkennen, dass bei einer gegebenen Richtung der Normalen n alle Ebenen zwischen P 1 und P 2 das Polygon f darstellen. Alle Ebenen zwischen P 2 und P 3 stellen das Polygon f nicht dar und sind Element der Menge miss ε f, deren Elemente durch das Polygon f bestraft werden. Formal wird ein Polygon f durch eine Ebene P mit Normalen n ausgelassen, wenn P / valid ε (f) und eine Ebene P valid ε (f) existiert, so das durch die Verschiebung um a entlang der Normalen n, wobei 0 a ε, P das Abbild von P ist [1]. Zu beachten ist, dass die Bestrafung einer Ebene durch ein ausgelassenes Polygon durch die Richtung der Normalen dieser Ebene bestimmt wird. So ist auch in Abbildung 4 (c) der Bereich miss(f) links von valid(f) dargestellt. Ebenen welche rechts des Bereiches valid(f) das Polygon f auslassen, werden durch die entgegengesetzte Normalenrichtung n erfasst. Die Bestrafung einer Ebene P ist nun die Summe der orthogonalen Projektionen der Polygone in miss(p) auf P: P enalty(p ) = w penalty f miss(p ) area P (f) Der Faktor w penalty dient hier zur stärkeren Gewichtung des Strafwertes gegenüber der Abdeckung. Dies verhindert, dass Ebenen gewählt werden, welche Polygone in ihrer direkten Nachbarschaft in der Darstellung auslassen. 2.4 Darstellung der Ebenenwerte im Plane Space Wie zu Beginn des Kapitels beschrieben, wird zur Auswahl relevanter Ebenen deren Dichte in einem Raum, dem so genannten Plane Space dargestellt. Dieser Plane Space ist ein diskretisierter Raum, dessen Koordinaten (θ, ϕ, ρ) jeweils eine Ebene im Objektraum des zu vereinfachenden Modells beschreiben. Hierzu dienen die Koordinaten (θ, ϕ) als Kugelkoordinaten der Normalen n einer Ebene. Man stelle sich vor, dass die Normale n als Vektor der Länge 1 zwischen zwei Punkten p 1 und p 2 beschrieben werden kann. Liegt nun der Punkt p 1 an einer festen Position, im Fall der Vereinfachung mittels Billboard Clouds ist dies das Zentrum des Objektraums, liegt für jede Richtung der Normalen der Punkt p 2 auf der Hülle einer Kugel mit Radius 1 um p 1. Um nun die Richtung der Normalen zu beschreiben, genügt es, mittels der Kugelkoordinaten (θ, ϕ) die Ausrichtung des Punktes p 2 auf der Hülle der Kugel zu beschreiben. Die Koordinaten (θ, ϕ) entsprechen im Plane Space den X und Y-Koordinaten. Die Z-Achse des Raumes beschreibt mit ρ den Abstand der Ebene zu p 1, also zum Zentrum des Objektraums (siehe Abbildung 5). Mittels dieser Koordinaten kann nun jede Ebene im Plane Space dargestellt werden. Wird nun für einen Punkt die Menge von Ebenen berechnet, welche durch diesen Punkt gehen, wird durch diese Menge eine Oberfläche der Funktion ρ = f(θ, ϕ) im Plane Space aufgespannt. Führt man dies für alle Punkte eines Polygons f durch, schneiden sich die

8 2 DICHTE IM PLANE SPACE 7 Abbildung 5: Beschreibung der Normalen n einer Ebene mittels der Kugelkoordinaten θ und ϕ. Der hier als p 1 beschriebene Punkt stellt das Zentrum des Objektraums dar. Es ist nun möglich über θ und ϕ die Richtung der Normalen zu beschreiben. Die dritte Koordinate, ρ, dient dazu, den Abstand der Ebene vom Zentrum der Szene, also von p 1 zu beschreiben. Der Punkt p 2 ist so Punkt der Ebene deren Normale durch n beschrieben wird.

9 2 DICHTE IM PLANE SPACE 8 Abbildung 6: Die in (a) aufgespannten Oberflächen beschreiben die gültigen Ebenen der Eckpunkte des Polygons. Der Punkt der Überschneidung aller drei Oberflächen entspricht der Ebene, auf welcher das Polygon liegt. Die Verwendung des Fehlerwertes ε erlaubt eine Verschiebung der Oberflächen um +ε und ε in ρ Richtung (b). Das durch diese Oberflächen eingeschlossene Volumen stellt die Menge der für dieses Polygon gültigen Ebenen dar. Im diskretisierten Plane Space ist dieses Volumen durch Bins dargestellt (c). In (d) ist die Berechnung der Dichte aller Polygone dargestellt. Zu erkennen sind sieben sehr dichte Bereiche, welche die vier Seiten des Hauses, die zwei Flächen des Daches und den Boden repräsentieren.

10 3 GREEDY ALGORITHMUS 9 erzeugten Oberflächen in einem Punkt des Plane Space. Dieser Punkt entspricht der Ebene auf der das Polygon im Objektraum liegt(siehe Abbildung 6 (a)). Diese Oberflächen werden nun entsprechend des Fehlerwertes ε um +ε und ε in ρ Richtung verschoben (siehe Abbildung 6 (b)). Die Schnittmenge der Volumen, eingeschlossen durch die verschobenen Oberflächen, beschreibt so die Menge der Ebenen, welche anhand des Fehlerwertes ε gültige Repräsentationen des Polygons f sind. Um nicht für jeden Punkt des entstandenen Schnittvolumens die Dichte berechnen zu müssen, wird der Plane Space in kleine, einheitliche Teilvolumen, so genannte Bins B θi ϕ j ρ k unterteilt (siehe Abbildung 6 (c)). Somit kann für jedes Bin die Dichte berechnet werden. Hierzu sind für ein Polygon f alle Bins gültig, die das Volumen valid ε (f) schneiden. Diese Annahme kann getroffen werden, da bei Überschneidung eines Bins B mit der Menge valid ε (f) in B eine Ebene existiert, die für f gültig ist. Um nun die Dichte d(b) eines Bins zu berechnen, werden nun die Abdeckungs- und Strafwerte jeder Ebene aus valid ε (B) summiert (siehe Abbildung 6 (d)). 3 Wahl optimaler Billboards durch den Greedy - Algorithmus Nachdem, wie in Kapitel 2 beschrieben, die Dichte aller Ebenen berechnet und anschließend in den Plane Space übertragen wurde, ist es nun notwendig aus diesem Raum eine Menge von Ebenen auszuwählen. Diese Menge soll möglichst optimal das Modell vereinfachen. Optimal bedeutet hier, dass die Menge der Ebenen möglichst klein sein soll, da jede weitere Ebene die Berechnung einer weiteren Textur erfordert und somit die Effizienz der Vereinfachung verringert. Da allerdings alle Polygone des Modells durch mindestens ein Billboard dargestellt werden sollen, ist es Ziel des Greedy Algorithmus, die Ebenen in die Menge der Billboards aufzunehmen, welche möglichst viele Polygone darstellen. Diese Ebenen besitzen im Vergleich zu Ebenen mit geringerer Zahl gültiger Polygone eine höhere Dichte im Plane Space. Aus diesem Grund werden durch den Greedy Algorithmus die Bins größter Dichte des Plane Space ausgewählt und in diesen nach der Ebene gesucht, welche für die Menge von Polygonen valid ε (B) eine gültige Repräsentation darstellt. Nachdem diese Ebene P gefunden wurde, wird diese aus der Menge der im Plane Space dargestellten Ebenen entfernt, und die Dichte der restlichen Flächen aktualisiert, indem jegliche Straf- und Abdeckungswerte der durch P dargestellten Polygone entfernt werden. In dieser neu berechneten Menge von Ebenen wird nun wiederum das Bin mit größter Dichte zur Auswahl der nächsten Ebene gesucht. Dieser Vorgang ist abgeschlossen, wenn alle Polygone des Modells durch eine Ebene dargestellt sind. Da allerdings, wie in Kapitel 2.4 beschreiben, ein Bin B gültig für ein Polygon f ist, wenn dieses Bin die Menge valid ε (f) schneidet, kann zur Auswahl der Ebene, welche für valid ε (B) gültig ist, nicht einfach die Ebene im Zentrum des Bins gewählt werden. Zur Wahl der korrekten Ebene ist somit ein adaptives Verfeinerungsverfahren notwendig, welches das Bin in kleinere Volumen unterteilt. Diese Methode soll im Folgenden beschrieben werden.

11 3 GREEDY ALGORITHMUS Adaptive Verfeinerung zur Wahl der optimalen Ebene Ist das Bin mit maximaler Dichte im Plane Space gefunden, ist es notwendig die optimale Ebene zur Darstellung der in diesem Bin gültigen Polygone zu finden. Da diese Menge gültiger Polygone valid ε (B) nicht in diesem Bin gespeichert ist, muss hierzu aus der Menge der bisher noch nicht durch andere Ebenen dargestellten Polygone valid ε (B) berechnet werden. Ausschließlich auf dieser Untermenge von Polygonen werden nun alle weiteren Berechnungen der adaptiven Verfeinerung durchgeführt. Da in einem Bin eine Menge von Ebenen gültig ist, und dieses Bin für ein Polygon gültig ist, wenn es die Menge valid ε (f) schneidet, ist es möglich das nicht jede Ebene des Bins für alle Polygone aus valid ε (B) gültig ist. Bildlich dargestellt bedeutet dies, das ein Punkt als Repräsentation einer Ebene im Plane Space zwar innerhalb des Bins, allerdings nicht in der Schnittmenge des Bins mit dem Volumen valid ε (f) liegt. Aus diesem Grund ist es notwendig das Bin zu unterteilen, bis die Ebene im Zentrum einer Unterteilung B gültig für alle Polygone der Menge valid ε (B ) ist. Ein weiteres Problem der Gültigkeit eines Bins für eine Menge von Polygonen bei Schnitt der Gültigkeitsmengen dieser Polygone ist, dass die dichteste Ebene zur Darstellung dieser Polygone leicht außerhalb des Bins liegen kann. Ein solcher Fall ist in Abbildung 7 dargestellt. Abbildung 7: Das betrachtete Bin B1 ist gültig für die Polygone f2 und f3. Innerhalb dieses Bins existiert allerdings keine Ebene P, welche gültig für f2 und f3 ist, da keine Schnittmenge von valid(f2) und valid(f3) in B1 existiert. Obwohl also B1 die maximale Dichte der Bins besitzt, liegt die Ebene P mit maximaler Dichte der Ebenen in B2 an Punkt P. Um dieses Problem zu lösen, werden nun einfach die 26 Nachbarn des betrachteten Bins in die adaptive Verfeinerung einbezogen. Es werden alle 27 Bins in 8 kleinere Volumen unterteilt und aus diesen entstandenen 216 Bins das Bin mit größter Dichte zur weiteren Berechnung ausgewählt. Nach Wahl der optimalen Ebene werden nun alle Straf- und Abdeckungswerte der durch diese Ebene dargestellten Polygone aus der Dichte des Plane Space entfernt. In diesem aktualisierten Raum wird dann wiederum das dichteste Bin ausgewählt, bis alle Polygone des Modells durch eine Ebene dargestellt werden. Dieses Ziel wird erreicht, da bei jeder Wahl des dichtesten Bins durch den Greedy Algorithmus, die Dichte dieses Bins verringert wird. Dies ist Voraussetzung dafür, dass durch den Algorithmus eine Menge von Ebenen gefunden wird, welche alle Polygone darstellt. Würde bei der Wahl eines Bins B dessen Dichte nicht reduziert, würde der Algorithmus

12 4 EVALUIERUNG 11 immer dieses Bin zur Wahl einer Ebene auswählen, da C(B) maximal bliebe. So würde keine Ebene für Polygone der Menge valid ε (B) gefunden werden können, und der Algorithmus würde nicht terminieren. Dies kann allerdings nicht geschehen, da im Prozess der adaptiven Verfeinerung eine Ebene, gültig für die Menge von Polygonen valid ε (B) gesucht wird. Liegt diese dichteste Ebene P, wie in Abbildung 7 dargestellt, leicht außerhalb des Bins, schneidet das Bin B trotzdem die Gültigkeitsmenge der Polygone, gültig für diese Ebene. Werden nun die Straf- und Abdeckungswerte der Polygone aus valid ε (P ) im Plane Space entfernt, wird auch die Dichte von B reduziert, da B die Gültigkeitsmenge der durch P dargestellten Polygone schneidet. 3.2 Erzeugen von Texturen auf gewählten Ebenen Der letzte Schritt in der Erzeugung von Billboards zur Vereinfachung von Modellen ist die Texturierung der gewählten Ebenen. Hierzu wird die Menge der durch eine Ebene dargestellten Polygone auf diese Ebene orthogonal projiziert. Mittels dieser Projektion kann die minimale, umschreibende Hülle der projizierten Polygone als Größe des Billboards bestimmt werden. Die Textur des Billboards wird nun durch das Rendern der Projektionen der Polygone auf das Billboard erzeugt. Nicht texturierte Bereiche des Billboards werden durch die Anpassung des Alphawertes transparent dargestellt. Neben einer einfachen Textur kann ein Billboard noch weitere Informationen darstellen. So ist es möglich die Normal Map der Polygone zu speichern, um im Falle der Beleuchtung des vereinfachten Modells realistische Reflektions- und Schattenbildung zu erzielen. 4 Evaluierung und Ergebnisse des Verfahrens Das eingesetzte Verfahren der Vereinfachung mittels Billboard Clouds stellt jedes Polygon des Ausgangsmodells auf mindestens einem Billboard dar. Die hierbei erzielten Ergebnisse sind in Abbildung 8 nachzuvollziehen. Voraussetzung zur Berechnung der Billboards ist die Eingabe des Fehlerwertes ε. Dieser bestimmt wesentlich die Qualität des vereinfachten Modells und die Anzahl der verwendeten Billboards. Zudem reduziert die eingesetzte Kompression der verwendeten Texturen den Speicherbedarf um den Faktor 4 bis 8 [1]. Abbildung 9 stellt eine Kosten - Fehler Funktion verschiedener Modelle dar. Kosten sind hier als Anzahl der verwendeten Billboards definiert. Mittels der logarithmischen Darstellung dieser Funktion ist zu erkennen, das für die betrachteten Fälle die Anzahl der Billboards im groben Verhältnis zum Fehlerwert ε ungefähr 1 entspricht. Diese Beobachtung lässt vermuten, das eine Berechnung einer Billboard Cloud nicht nur anhand eines ε Fehlerwertes ε, sondern auch anhand eines gegebenen Kostenlimits, zum Beispiel einem maximal zur Verfügung stehender Speicher zur Verwaltung der Billboards möglich wäre. Dies Annahme bedarf allerdings weiteren Untersuchungen des Fehlerwert - Anzahl Billboards Verhältnisses, gerade bei Modellen mit höherer Anzahl von Polygonen im Original. Um die Effizienz des Verfahrens der Billboard Clouds einschätzen zu können, ist in Abbildung 10 eine Statistik gegeben, welche die Zeit der Berechnung einer Vereinfachung in

13 4 EVALUIERUNG 12 Abbildung 8: Das dargestellte Modell eines Dinos besteht im Original aus 4300 Polygonen. Die Vereinfachung auf 110 Billboards stellt die 3D Struktur und die Silhouette des Modells befriedigend dar. Das Originalmodell des Madcat besteht aus Polygonen. Auch hier ist die extreme Vereinfachung auf unter 200 Billboards eine visuell gute Approximation des Originals.

14 4 EVALUIERUNG 13 Abbildung 9: Kosten-Fehler Funktionen verschiedener Modelle. Die X - Achse stellt den Fehlerwert ε, die Y - Achse die Anzahl der benötigten Billboards dar. Bezug auf Fehlerwert und Anzahl der Polygone im Ausgangsmodell darstellt. Abbildung 10: Die hier dargestellten Ergebnisse wurden auf einem 2GHz Pentium IV mit NVidia GeForce 4 Ti MB erzielt. Diese recht leistungsstarke Hardware benötigt ca. 9 Minuten zur Berechnung eines Modells mit Polygonen. Hier ist zu erkennen, das die Berechnung der Billboard Cloud eines Modells mit Polygonen 529 Sekunden, also fast 9 Minuten in Anspruch nimmt. Diese Zahl von Polygonen in einem Modell ist in der heutigen Computergrafik allerdings relativ gering. Da es sich bei der gemessenen Zeit um die Dauer der Berechnung der Billboard Cloud handelt, trifft dies allerdings noch keine Aussage über die Dauer der Berechnung eines Vereinfachten Modells bei gegebener Billboard Cloud in Echtzeitanwendungen. Die Dauer der Berechnung eines vereinfachten Modells bei gegebener Billboard Cloud in Bezug auf die Anzahl der verwendeten Billboards ist in Abbildung 11 dargestellt. Diese Abbildung stellt die Rendering Zeit in ms/frame dar. Die gemessene Dauer bezieht sich allerdings auf ein Fenster einer Größe von ungefähr 128 x 128 Pixeln. Man überlege sich hierzu, das bei Berechnung eines konventionellen Polygonmodells, eine Textur in den Speicher geladen wird. Aus dieser Textur wird dann mittels der Textur-

15 4 EVALUIERUNG 14 Abbildung 11: Rendering Zeit bei unterschiedlicher Anzahl von Billboards. koordinaten eines jeden Polygons, die Textur eines Polygons berechnet. Im Gegensatz zu diesem Verfahren, muss bei der Berechnung eines Modells bestehend aus einer Billboard Cloud, zur Darstellung jeder Ebene eine neue Textur in den Speicher geladen werden. Dies schränkt die Effizienz der Vereinfachung mittels Billboard Clouds ein, und resultiert in langen Rechenzeiten gerade bei Modellen mit vielen Billboards, wie in Abbildung 11 dargestellt. Wie in Kapitel 3.2 angesprochen, kann neben der Textur auch die Normal Map eines Objektes in vereinfachenden Billboards gespeichert werden. Mittels dieser Methode ist es möglich, die Reflektions- und Schattenwerte eines durch Billboard Clouds dargestellten Objekts in Echtzeit zu berechnen. Abbildung 12: Beispiel einer Schattenberechnung eines Billboard Cloud Modells mit 29 Billboards.

16 LITERATUR 15 Literatur [1] Xavier Décoret, Frédo Durand, François Sillion, and Julie Dorsey. Billboard clouds for extreme model simplification. In Proceedings of the ACM Siggraph. ACM Press, 2003.