Grundlagen der linearen Algebra und analytischen Geometrie II

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1 Institut für Analsis Lösung Blatt Dr S Trostor Dr F Morherr Grundlagen der linearen Algebra und analtischen Geometrie II Aufgabe: Schreibe folgende Mengen M R zunächst in der Form (x; ) R ; x x A + b x c Lösung: für eine geeignete smmetrische Matrix A R einen Vektor b R und eine reelle Zahl c R Diagonalisiere anschließend A Welche geometrischen Formen werden durch die Mengen M beschreiben? (a) M (x; ) R ; x + x + 8, (b) M (x; ) R ; x + x +, (c) M (x; ) R ; x + x + x zu (a): Es gilt x + x + 8 () x x 8 Wir diagonalsieren die Matrix A : und somit also 8 Bestimmen der Eigenwerte liefert A det (A E) ( ) (8 ) +, 8 ; s r, + 8:9 8 8::: und :8 ::: Da es zwei verschiedene Eigenwerte gibt, ist A diagonalisierbar, wobei man das auch schon aus der Smmetrie, also Selbstadjungiertheit schließen, kann Damit gibt es eine orthogonale (dh U U ) Matrix U mit U AU Setzen wir : U x, also x so folgt x x A x UU AUU x + U U x, U AU U x

2 Damit ist M in den neuen Koordinaten gegeben durch + () + () + Dies ist eine Ellise --Koordinatensstem mit den Halbachsen Dies sieht so aus a : q + :6 ::: und b : q :9 ::: Man sieht, dass man hier die Eigenvektoren, die das Koordinatensstem aufsannen, gar nicht braucht, und U konkret auch nicht Das ist auch besser, denn die normierten Eigenvektoren sehen unschön aus und sind etwas eklig zu berechnen Bestimmung der Eigenvektoren Für + (A E) v I$II II I I: Damit ergibt sich das unnormierte ev als Eigenvektor zu zu ev Da die Matrix A smmetrisch ist, steht der Eigenvektor ev zu senkrecht auf ev Damit folgt ev

3 Nun müssen wir die Eigenvektoren noch normieren v u kev k t + s q kev k Damit folgt v ev kev k A : 9 6::: :99 ::: zu + 8:9 8 8::: und v ev kev k A :99 ::: : 9 6::: zu :8 ::: und somit U : B A : 9 6::: :99 ::: :99 ::: : 9 6::: (Bemerkung: Man beachte, dass auch andere Darstellungen möglich sind wegen q r q q ) Damit rechnet man nach B : 9 6::: :99 ::: :99 ::: : 9 6::: 8:9 8 8::: :8 ::: U AU A B 8 A : 9 6::: :99 ::: 8 :99 ::: : 9 6::: + Man kann aus U auch den Drehwinkel ermitteln Wegen cos und folgt zu (b): Es gilt tan ', also ' arctan 6: x + x + () x x x

4 Zunächst berechnen wir die Eigenwerte von B : B () det (B E) + ( ) Es gilt Die Eigenwerte sind also und Normierte Eigenvektoren ergeben sich zu: Für also (B E) v v, und aufgrund der Smmetrie der Matrix folgt für v, da v senkrecht auf v stehen muss Damit ergibt sich U zu U cos sin sin cos Der Drehwinkel ist als Wir setzen : U x, also x U und erhalten nach Einsetzen in die quadratische Form x x, U,, U x U,,, +,

5 Im --Koordinatensstem ist dies eine verschobene Normalarabel mit Scheitelunkt in Dies sieht so aus: ; zu (c): Es gilt x + x + x, x x x Es gilt Zunächst berechnen wir die Eigenwerte von : Damit folgt () det ( E) dritte binomische Formel und + ( + ) ( ) Da die Eigenwerte unterschiedliches Vorzeichen haben, ist hier bereits klar, dass es sich um eine Herbel oder etwas Entartetes handelt Um die Lage zu sehen, berechnen wir die Eigenräume bzw Eigenvektoren Für ( ( ) E) v Damit ergibt sich der normierte Eigenvektor v Für ergibt sich ( E) v

6 Damit ergibt sich der normierte Eigenvektor v Somit bekommen wir die unitäre Matrix U cos ( ) sin ( ) sin ( ) cos ( ) Das --Koordinatensstem ist also gegenüber dem x--koordinatensstem um Wir setzen : U x x, also U und erhalten nach Einsetzen in die quadratische Form x x, U,, U, + + x U, +, , ( ) + ( ), ( ) + ( ), ( ) ( ) gedreht Hierbei handelt es sich um eine Herbel mit Zentrum bei (; ) und den Halbachsen und 6

7 , was das auch immer bei einer Herbel heißen soll Es ergibt sich folgendes Bild Aufgabe: Lösung: Eine Matrix U K nn mit K fr; g heißt unitär, falls U U Zeige, dass eine Matrix U genau dann unitär ist, wenn die Salten von U eine Orthonormalbasis von K n bilden Schlussfolgere hieraus, dass jede unitäre Matrix U R die Form U oder U für einen Winkel ' [; [ hat Seien u ; :::; u n die Salten von U, also U (u ; :::; u n ) Dann gilt U U B u u n A, also E U U U B U u unitär u u n A (u ; :::; u n ) u u u u u u n u B u u u u u n A u nu u nu u nu n hu ; u i hu ; u i hu ; u n i hu ; u i hu ; u i hu ; u n i B A hu n ; u i hu n ; u i hu n ; u n i

8 Vergleich mit der Einheitsmatrix liefert hu i ; u j i ij für i j für i 6 j Damit bilden die Salten von U eine Orthonormalbasis Im Fall n haben die zweidimensionalen Saltenvektoren die Länge, liegen also auf dem Einheitskreis Damit existiert ein ' [; [ mit u Da der zweite Saltenvektor u senkrecht auf u stehen muss, folgt u oder u Im ersten Fall ergibt sich U, was dem linken U entsricht U Es gilt U U, denn U U cos ' + sin ' sin ' + cos ' Damit ist U unitär Außerdem gilt det U () ( ) cos ' + sin ' Im zweiten Fall ergibt sich U, was dem rechten U entsricht U, also U U Es gilt U U U, denn U U U cos ' + sin ' sin ' + cos ' Damit ist U unitär Außerdem gilt det U ( ) cos ' + sin ' Man beachte außerdem U U S x, mit der Siegelung S x Aufgabe: Lösung: Berechne die Adjungierten zu folgenden Abbildungen f : V V : (a) V R mit dem Standardskalarrodukt und f Siegelung an der Geraden g (x; ) R ; x (b) V R mit dem Standardskalarrodukt und f Orthogonalrojektion auf den Unterraum U f(x; ; ) ; x; Rg Wie lässt sich (b) verallgemeinern? 8

9 zu (a): Zuerst rechnen wir g in Parameterdarstellung um x g ; R Ein normierter Normalenvektor zu g ergibt sich durch n ; R Die Matrix für die Siegelung an der Geraden g ergibt sich, wie in Aufgabe, Blatt in der kanonschen Basis die Matrix [f] E nn Nach der Vorlesung ist die Matrix der adjungierten Abbildung f durch [f ] [f] [f] gegeben Da die Matrix reell und smmetrisch ist, ist f selbstadjungiert, also f f zu (b): Die Matrix der Orthogonalrojektion auf den Unterraum U f(x; ; ) ; x; Rg ist gegeben durch x x [f] A, denn A A A z Auch hier ist die Matrix reell und smmetrisch, also ist f selbstadjungiert, mit f f Verallgemeinerung: Im Fall (b) wird der Unterraum U durch die kanonischen Einheitsvektoren e und e aufgesannt Die Projektionsmatrix ist [f] e e + e e A + A A + A A Allgemein: Wird U durch die Orthonormal-Basis fb ; :::; b m g aufgesannt, so ist die Orthogonalrojektion P gegeben als mx mx P b i b i b i b i und damit selbstadjungiert, denn i i P mx mx mx b i b i (b i b i ) b i b i i i i mx b i b i P i Aufgabe: Sei f; g : V V linear und V ein euklidischer/unitärer Raum Sei f selbstadjungiert (f f ) und g schief-selbstadjungiert (g g ) und gelte f g g f Zeige, dass f + g normal ist Zeige ferner, dass sich jede normale Abbildung auf V so schreiben lässt Lösung: Es gilt (f + g) (f + g) (f + g ) (f + g) f f + f g + g f + g g f f + f g g f g g f f g g f g, ff, g g fggf 9

10 sowie analog Damit folgt also ist f + g normal Sei nun h normal, dann gilt (f + g) (f + g) (f + g) (f + g ) f f + f g + g f + g g f f f g + g f g g f f g g f g ff, g g fggf (f + g) (f + g) (f + g) (f + g), mit h h + h + h h (h + h ) + (h h ) f + g, f : (h + h ) und g : (h h ) Dann gilt f (h + h ) (h + h ) (h + h ) (h + h) (h + h ) f, und g (h h ) (h h ) (h h ) (h h) (h h ) g Damit ist f selbstadjungiert und g schief-selbstadjungiert Es ist nun noch f g g f nachzurechnen Es gilt und analog f g (h + h ) (h h ) h h h + h h h (h h h h) (h ) h normal (h ) h (h ), g f (h h ) (h + h ) h h h + h h (h ) h (h h h h ) Damit folgt f g g f und damit die Behautung (h ) h normal h (h )