Eine Affinität α eines euklidischen Raumes heißt eine Bewegung, wenn sie Abstände (und damit auch Winkel) erhält, wenn also für alle Punkte X, Y gilt:

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1 5 Zur Geometrie euklidischer Bewegungen 5.1 Bewegungen Eine Affinität α eines euklidischen Raumes heißt eine Bewegung, wenn sie Abstände (und damit auch Winkel) erhält, wenn also für alle Punkte X, Y gilt: d(α(x), α(y )) = d(x, Y ). Behauptung: Liegt einem euklidischen Raum R n ein kartesisches KS zugrunde, so ist eine Affinität α : X X mit x = U x + w, n n Matrix U, w R n eine Bewegung, wenn U orthogonal ist, wenn also gilt: U T U = E (Einheitsmatrix E). Für U=E ist α eine Translation x = x+ w. det(u) > 0... gleichsinnige Bewegung det(u) < 0... ungleichsinnige Bewegung, Umlegung 1

2 Beweis: Betrachte α ohne Translation, d.h. w = o d.h. Ursprung O ist ein Fixpunkt O =O. Für die Bilder E i ( e i ) der Einheitspunkte E i ( e i ) auf den Koordinatenachsen muss mit dem Skalarprodukt x y = x T y gelten: δ ij = e T i e j = e i T e j = et i U T U e j = e T i A e j = a ij für alle i, j, 1 i, j n d.h. A := U T U = E. Folgerungen: U T U = E Die Spalten von U sind orthonormiert. U T U = E U T = U 1 UU T = E Die Zeilen von U sind orthonormiert. U T U = E det(u T U) = det(e) = 1. Mit dem Determinantenmultiplikationssatz folgt: det(u T ) det(u) = 1. Folglich gilt: U T U = E det(u) = ±1. Die Umkehrung gilt nicht! Beispiel: Im R 3 : U =

3 5.2 Euklidische Bewegungen in der Dimension n = 1 und n = 2 n = 1 U = (1) oder U = ( 1). n = 2 : U = ( u11 u 12 u 21 u 22 ) ; U T U = E u u2 21 = 1 1 u 11 1 Wähle u 11 = cos φ, 0 φ 2π u 21 = ± sin φ. Tafelskizze: Graph von sin und von cos Da im Fall u 21 = sin φ für ψ := 2π φ cos ψ = cos φ = u gilt: 11, sin ψ = sin φ = u 21 kann man φ so wählen, dass gilt: u 11 = cos φ, u 21 = sin φ. Weiter: U T U = E u 11 u 12 + u 21 u 22 = 0 u 12 cos φ + u 22 sin φ = 0 ( ) ( ) u12 sin φ = t cos φ u 22 mit t = ±1 (da u u2 22 = 1). 3

4 ( ) cos φ sin φ Für t = 1 U = ( ) sin φ cos φ... Drehmatrix Eigenvektoren/Eigenwerte? ( ) cos φ λ sin φ det(u λe) = det sin φ cos φ λ = cos 2 φ 2λ cos φ + λ 2 + sin 2 φ = = λ 2 2λ cos φ + 1 = 0 λ 1,2 = 2 cos φ ± 4 cos 2 φ 4 = 2 = cos φ ± sin 2 φ = cos φ ± i sin φ = = e ±iφ Formel von Euler Satz: ±φ im EW e iφ einer Drehmatrix (*) ist der zugehörige Drehwinkel. Einziger Fixpunkt der Drehung x = U x ist der Ursprung O (Gleichsinnige Bewegung). ( ) cos φ sin φ Für t = 1 U = ( ) sin φ cos φ... Spiegelungsmatrix Eigenvektoren/Eigenwerte? ( ) cos φ λ sin φ det(u λe) = det sin φ cos φ λ = cos 2 φ + λ 2 sin 2 φ = λ 2 1 = 0 λ 1,2 = ±1. 4

5 Den Eigenvektor (EV) x o zum Eigenwert (EW) λ 1 = +1 erhält man aus: U x = x (U E) x = o (cos φ 1) x 1 + sin φ x 2 = 0 sin φ x 1 (cos φ + 1) x 2 = 0 Zweite Zeile: x 1 = cos φ + 1, x 2 = sin φ ist eine Lösung. Erste Zeile: ist erfüllt (nachrechnen). Da die ( Abbildung ) x = U x Vielfache von cos φ + 1 r = auf sich abbildet folgt: sin φ Satz: Bei einer Spiegelung der Ebene mit der Abbildungsmatrix (**) hat die Spiegelungsachse (Fixpunktgerade) ( ) den Richtungsvektor r =. cos φ + 1 sin φ ( ) sin φ Der Vektor s = r (EV cos φ + 1 zum EW λ 2 = 1) gibt die Richtung der (zueinander parallelen) Verbindungsgeraden (Fixgeraden) von Punkten zu ihren Bildpunkten an (Gegensinnige Bewegung). Welchen Winkel schließt die Spiegelungsachse mit der x 1 -Achse ein? 5

6 Das kann man rechnen, wenn man trigonometrische Formeln kennt. Besser. Geometrische Überlegung: Wohin kommt (z.b.) die x 1 -Achse? ( ) ( ) ( cos φ sin φ cos φ sin φ 1 0 = sin φ cos φ sin φ cos φ 0 1 ) Spiegelung an der x 1 -Achse, anschließend Drehung um O durch den Winkel φ. Insgesamt gilt für die x 1 -Achse: Drehung um O durch den Winkel φ. Dies bewirkt eine Spiegelung an einer Geraden, die mit der x 1 -Achse den Winkel φ 2 einschließt. Satz: Bei einer Spiegelung der Ebene mit der Abbildungsmatrix (**) schließt ein Richtungsvektor der Spiegelungsachse mit der positiven x 1 -Achse einen Winkel φ 2 ein. Anmerkung: Kombination einer Drehung oder einer Spiegelung mit einer Translation, verschiebt den Ursprung. Es kommen noch die Gleitspiegelungen als ungleichsinnige Bewegungen hinzu. 6

7 5.3 Euklidische Bewegungen in der Dimension n = 3 Für orthogonale Matrizen U mit U T U = E folgt über C aus U x = λ x mit x o: (U x) T U x = (λ x) T λ x x T U T U x = λλ x T x U=U x T x = λλ x T x x o λλ = 1 λ = 1 λ = ±1 oder λ = e ±iφ = cos φ ± i sin φ. mit φ [0, 2π] und p U (λ) = 0 = p U (λ). Für n = 3 hat U mindestens einen reellen EW o.e. λ 3 = ±1 und r sei ein EV zu λ 3. Da ein Basiswechsel die EW nicht ändert, wähle r als dritten Basisvektor eines KS. Dann ist die neue x 3 Achse Fixgerade, für λ 3 = 1 sogar Fixpunktgerade, kurz Achse a genannt. In diesem KS gilt: U = mit einer Bewegungsmatrix λ 1,2 = e ±iφ, u 11 u 12 0 u 21 u λ 3 ( u11 u 12 u 21 u 22 φ [0, 2π]. ) mit den EW 7

8 Nach 5.2. ergibt sich die Bewegungsmatrix U = cos φ sin φ 0 sin φ cos φ λ 3 mit φ [0, 2π]. Für λ 3 = 1 det(u) = 1, d.h. x = U x ist gleichsinnige Bewegung, speziell für: 1) φ = 0 die Identität U = E im R 3. (Fall: λ 1 = λ 2 = λ 3 = 1) 2) 0 < φ < 2π eine Drehung um die Drehachse a durch O mit Richtung r und Drehwinkel φ. 3) Speziell für φ = π eine 180 Drehung um a = Achsenspiegelung an a. (Fall: λ 1 = λ 2 = 1, λ 3 = 1) Für λ 3 = 1 det(u) = 1, d.h. x = U x ist ungleichsinnige Bewegung, speziell für: 1) φ = 0 eine Ebenenspiegelung an einer Ebene a durch O. (Fall: λ 1 = λ 2 = 1, λ 3 = 1) 2) 0 < φ < 2π eine Drehspiegelung um die Drehachse a mit Winkel φ und Spiegelung an einer Ebene a durch O. 3) Speziell für φ = π eine Punktspiegelung an O. (Fall: λ 1 = λ 2 = λ 3 = 1) 8

9 Anmerkung: Kombination einer dieser Bewegungen mit einer Translation, verschiebt den Ursprung und es kommen noch weitere Bewegungen hinzu, z.b. Schraubungen um die Achse a und die Gleitspiegelungen bzgl. Spiegelebenen. 5.4 Bestimmung des orientierten Drehwinkels zu einer Drehmatrix U x = U x mit U T U = E, det(u) = 1 nicht orientiert: EWe und Spur (Summe der Diagonalelemente) von U sind basisunabhängig. Damit erhält man φ aus cos φ sin φ 0 sin φ cos φ =: Ũ über spur(ũ) = cos φ cos φ = spur(ũ) 1 2 und, da die Spur basisunabhngig ist, allgemein: cos φ = spur(u) 1. ( ) 2 Damit ist φ [0, 2π) bzw. φ [ π, π) aber nicht eindeutig bestimmt, (Im R 2 liefert sin φ den Winkel φ [0, 2π) eindeutig.) 9

10 Andererseits ist im R 3 die Richtung r eines EV von U zum EW 1 mit r = 1 nur bis auf ein Vorzeichen (Orientierung) bestimmt. Bei einer Drehung o.e. um die x 3 Achse 1 x = Ũ x bilden s = 0 x 3 Achse, 0 Ũ s = cos φ sin φ 0 und r := s Ũ s = nach Satz aus für φ 0, π ein 0 0 sin φ Rechtssystem (det( r, s, Ũ s) = sin 2 φ > 0) und r weist für φ { (0, π) nach oben. (π, 2π) nach unten. Deutet man eine Drehung um die positive x 3 Achse mit dem Winkel φ (π, 2π) als 0 Drehung um r = 0 mit dem Winkel sin φ φ = 2π φ (0, π), siehe 3D-Figur, gilt allgemein: 10

11 Rechtsdrehung um die orientierte Achse a durch den Winkel δ Wählt man das Vorzeichen des EV r von U zum EW λ = 1 mit r = 1 so, dass bzgl. eines beliebig gewählten Vektors o s r ( s r = 0 ) ( r, s, U s) ein Rechtssystem ist ( det( r, s, U s) > 0), dann liefert δ = arccos spur(u) 1 ( ) 2 den orientierten Drehwinkel δ (0, π). Umorientierung der Drehachse ( r r) bewirkt Änderung des Drehsinns (δ δ). Das Rechtssystem bleibt ein Rechtssystem. Ändert man nur die Richtung der Achse oder den Drehsinn, wird aus dem Rechtssystem ein Linkssystem. 11

12 5.5 Anmerkung zu Drehspiegelungen x = U x mit U T U = E, det(u) = 1 Für φ = φ ± π gilt: cos φ = cos( φ ± π) = cos φ sin φ = sin( φ ± π) = sin φ Ũ = cos φ sin φ 0 sin φ cos φ = cos φ sin φ 0 sin φ cos φ Jede Drehspiegelung ist eine Drehung um eine Achse a (Richtung r EV von U zum EW λ = 1) durch O mit dem (nicht orientierten) Drehwinkel φ ( π, π) und anschließende Punktspiegelung an O : cos φ = spur(u) + 1. ( ) 2 Für spur(u) = 1 liegt eine Ebenenspiegelung vor an einer Ebene a durch O mit Normalenvektor r. Für spur(u) = 3 eine Punktspiegelung an O. Überlegungen zur Orientierung analog zu Drehmatrizen. 12