1 Analytische Geometrie und Grundlagen

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1 $Id: vektor.tex,v /05/13 16:28:55 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.5 Abstände und Winkel In der letzten Sitzung haben wir einen orientierten Winkelbegriff zwischen Strahlen mit einem gemeinsamen Startpunkt definiert. Wir wollen diesen nun verwenden auch einen nicht orientierten Winkelbegriff einzuführen bei dem die Reihenfolge der betrachteten Strahlen keine Rolle mehr spielt. Während der orientierte Winkelbegriff als Maßzahlen für Winkel Werte zwischen 0 und 360, beziehungsweise zwischen 0 und 2π, verwendet wird der nun einzuführende Winkel Werte zwischen 0 und π haben. Im wesentlichen wollen wir den Winkel zwischen zwei Strahlen mit demselben Startpunkt als den von ihnen eingeschlossenen Sektor definieren, die formale Definition wird zwar aus technischen Gründen etwas anders aussehen, die Sektoren werden wir allerdings trotzdem benötigen. Seien a R 2 ein Punkt und u, v zwei Strahlen mit Startpunkt a. Dann können wir zunächst u = a + R 0 e(φ) mit einem φ R schreiben und da es für jedes ψ R stets ein n Z mit φ ψ + 2πn < φ + 2π gibt können wir weiter auch v = a + R 0 e(ψ) für ein ψ R mit φ ψ < φ + 2π schreiben. Im Fall ψ > φ + π ist dann ψ < φ + 2π < ψ + π, ersetzen wir also φ durch φ + 2π und vertauschen u und v so können wir φ ψ φ + π annehmen. Nehmen wir weiter an das u und v weder gleich noch einander gegenüberliegend sind, so ist sogar φ < ψ < φ + π. Wir definieren den von u, v aufgespannten Sektor als die konvexe Hülle S(u, v) := co(u v). Im folgenden Lemma wollen wir die so definierten Sektoren explizit bestimmen. Lemma 1.30 (Bestimmung des Sektors zwischen zwei Strahlen) Seien a R 2 und φ, ψ R mit φ < ψ < φ + π gegeben und setze u := a + R 0 e(φ) und v := a + R 0 e(ψ). Dann gilt S(u, v) = u + v = {a + te(θ) t 0, θ [φ, ψ]}. Beweis: Zunächst ist die Menge u + v als Schnitt zweier Halbebenen konvex und es gelten (u, v) = ψ φ < π und (v, u) = 2π + φ ψ > π, also sind nach Aufgabe (18) auch v u + und u v und wir haben u v u + v. Dies liefert S(u, v) = co(u v) u + v. Schreibe nun M := {a + te(θ) t 0, θ [φ, ψ]} und sei ein Punkt x u + v gegeben. Im Fall x = a ist sofort x M, wir können also x a annehmen. Dann 9P-1

2 gibt es t, θ R mit t > 0, φ θ < φ + 2π und x = a + te(θ). Erneut nach Aufgabe (18) ergibt x u + die Bedingung θ φ = (u, a + R 0 e(θ)) π und dies impliziert π < φ ψ θ ψ < φ ψ + π < π. Wegen x v ist aber nach Aufgabe (18) auch θ ψ = (v, a + R 0 e(θ)) [ π, 0] also ist θ ψ. Dies zeigt θ [φ, ψ] und wir haben x M eingesehen. Folglich besteht auch die Inklusion u + v M. Es bleibt nur noch M S(u, v) zu beweisen. Hierzu müssen wir zeigen, dass für jedes θ [φ, ψ] stets auch w := a + R 0 e(θ) S(u, v) gilt. Wir betrachten zunächst den Fall ψ θ < π/2 und θ φ < π/2. Wir wissen bereits das e(θ), Je(θ) = e(θ + π/2) eine Ortonormalbasis des R 2 ist, also gilt für jedes η R die Gleichung e(η) = e(θ) e(η) e(θ) + e(θ + π/2) e(η) Je(θ) ( = cos(η θ)e(θ) + cos η θ π ) Je(θ) = cos(η θ)e(θ) + sin(η θ)je(θ) 2 und insbesondere haben wir e(ψ) = cos(ψ θ)e(θ) + sin(ψ θ)je(θ), e(φ) = cos(θ φ)e(θ) sin(θ φ)je(θ). Sei t R mit t > 0 gegeben. Nach unserer Annahme sind cos(ψ θ) > 0 und cos(θ φ) > 0 also erhalten wir die beiden Punkte b 1 := a + t cos(θ φ) e(φ) u und b t 2 := a + e(ψ) v. cos(ψ θ) Einsetzen der obigen Entwicklung liefert dabei b 1 = a + te(θ) t tan(θ φ)je(θ) und b 2 = a + te(θ) + t tan(ψ θ)je(θ). Weiter sind λ 1 := tan(ψ θ) tan(θ φ) + tan(ψ θ) 0 und λ 2 := mit λ 1 + λ 2 = 1 und es gilt tan(θ φ) tan(θ φ) + tan(ψ θ) 0 λ 1 b 1 + λ 2 b 2 = (λ 1 + λ 2 ) (a + te(θ)) = a + te(θ). Dies zeigt a + te(θ) co(u v) und wir haben w S(u, v) bewiesen. Kommen wir nun zum allgemeinen Fall. Setze hierzu η := (φ + ψ)/2 und dann gelten φ < η < ψ und η φ = ψ η = (ψ φ)/2 < π/2, nach der bereits bewiesenen Teilaussage ist also r := a + R 0 e(η) S(u, v). Ist nun θ η so haben wir θ φ η φ < π/2 und η θ η φ < π/2, eine erneute Anwendung der bereits bewiesenen Teilaussage liefert also w co(u r) S(u, v). Im verbleibenden Fall θ η ergibt sich analog w S(u, v). 9P-2

3 Da θ R durch w := a + R 0 e(θ) bis auf Vielfache von 2π festgelegt ist, können wir das Lemma auch so formulieren das für φ θ < φ + 2π, x w\{a} die Äquivalenz x S(u, v) w S(u, v) θ ψ besteht. Im wesentlichen werden wir die Sektoren zwischen zwei Strahlen als Winkel verwenden. Dies direkt als Definition zu nehmen ist allerdings ungünstig da wir dann keine Winkel 0 oder von 180 definieren könnten, um auch diese zu erfassen verwenden wir stattdessen die Menge {u, v} zur Definition eines Winkels und betrachten den Sektor als ein zugeordnetes Objekt. Definition 1.21 (Nicht orientierte Winkel) Sei a R 2 ein Punkt. Ein Winkel α mit Scheitelpunkt a ist eine ein- oder zweielementige Menge von Strahlen mit Startpunkt a. Schreiben wir dann α = {u, v} mit (u, v) π so definieren wir den zu α gehörenden Sektor als S(u, v), u v und v ist nicht der u gegenüberliegende Strahl, S(α) := R 2, v ist der u gegenüberliegende Strahl, u, v = u. Weiter heißt (α) := (u, v) := (u, v) [0, π] das Winkelmaß von α. Wie beim orientierten Winkel sprechen wir verkürzend oft vom Winkel α wenn wir eigentlich das zugehörige Winkelmaß meinen und sind b u\{a}, c v\{a} so schreiben wir (bac) := (u, v). Wenn v nicht der u gegenüberliegende Strahl ist, so können wir die beiden Fälle in der Sektordefinition als S(α) = co( α) zusammenfassen. Normieren wir die orientierten Winkel auf Werte zwischen 0 und 2π so wird auch (u, v) = min{ (u, v), (v, u)}. Dieser nicht orientierte Winkel ist zwar etwas vertrauter als seine orientierte Version, seine Grundeigenschaften sind allerdings etwas komplizierter zu formulieren. 1. Sind u, v zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Startpunkt a so ist (u, v) = (v, u). Dies ist klar. 2. Sind u, v zwei Strahlen mit Startpunkt a R 2 so ist genau dann (u, v) = 0 wenn u = v ist und genau dann (u, v) = π wenn v der u gegenüberliegende Strahl ist. Auch dies ist klar denn (u, v) = 0 ist äquivalent zu (u, v) = 0 und (u, v) = π zu (u, v) = π. 3. Sind u, v, w drei Strahlen mit gemeinsamen Startpunkt a und gilt v S({u, w}) so ist (u, w) = (u, v) + (v, w). Dies bedarf einer kleinen Begründung. Im Fall u = w ist wegen S({u, u}) = u auch v = u und die Behauptung ist klar. Nun nehmen wir u w an und dann können wir nach eventuellen Vertauschen von u und w auch (u, w) π annehmen. Dann gibt es φ, ψ R mit φ < ψ φ + π 9P-3

4 so, dass u = a + R 0 e(φ) und w = a + R 0 e(ψ) gelten. Weiter können wir wegen v S({u, w}) auch annehmen das es ein θ [φ, ψ] mit v = a + R 0 e(θ) gibt, ist nämlich w nicht der u gegenüberliegende Strahl so gilt dies nach Lemma 30, ist dagegen w der u gegenüberliegende Strahl, also (u, w) = π, so können wir dies durch eventuelles Vertauschen von u und w erreichen. Mit diesen Normierungen gelten dann φ θ ψ φ + π und θ ψ φ + π θ + π, wir haben also wie behauptet. (u, v) + (v, w) = (u, v) + (v, w) = (u, w) = (u, w) 4. Winkel lassen sich bei vorgegebener Halbebene eindeutig abtragen. Hiermit ist das folgende gemeint, sind α ein Winkel, w ein Strahl und bezeichnet l die w enthaltende Gerade sowie H eine Halbebene mit affinen Rand l, so existiert genau ein Strahl r H mit demselben Startpunkt wie w so, dass auch (w, r) = (α) gilt. Ist (α) = 0 oder (α) = π so ist dies klar nach (2). Ist dagegen φ := (α) 0, π so gilt für einen Strahl u mit Startpunkt a genau dann (w, u) = φ wenn (w, u) = φ oder (w, u) = 2π φ gilt, da sich orientierte Winkel eindeutig abtragen lassen gibt es also genau zwei Strahlen u mit Startpunkt a für die (w, u) = φ gilt, und nach Aufgabe (18) liegen diese auf verschiedenen Seiten von l, genau einer dieser beiden Strahlen liegt also in H. 5. Sind u, v zwei Strahlen mit demselben Startpunkt a und sind l, g die Geraden mit u l beziehungsweise v g so ist genau dann (u, v) = π/2 wenn l g gilt. Es ist nämlich genau dann (u, v) = π/2 wenn (u, v) = π/2 oder (u, v) = 3π/2 gilt und dies ist äquivalent zu l g. 6. Seien u, v zwei Strahlen mit demselben Startpunkt a und bezeichne u den u gegenüberliegenden Strahl und v den v gegenüberliegenden Strahl. Die beiden Winkel {u, v } und {u, v} nennen wir Nebenwinkel des Winkels {u, v}. Nach (2) und (3) gilt dann π = (u, u ) = (u, v) + (v, u ) und somit haben wir (u, v) = π (u, v). Analog ergibt sich auch für den anderen Nebenwinkel (u, v ) = π (u, v). Der Winkel {u, v } heißt der dem Winkel {u, v} gegenüberliegende Winkel, oder kurz der Gegenwinkel zu {u, v}. Da dieser dieselben Nebenwinkel wie {u, v} hat haben wir (u, v ) = (u, v). Gerichtete Winkel lassen sich bequem über das Skalarprodukt berechnen. Satz 1.31 (Geometrische Bedeutung des Skalarprodukts) Seien a, b, c R 2 mit b, c a. Dann gelten b a c a = ab ac cos( (bac)) 9P-4

5 und (bac) = arccos ( ) b a c a. ab ac Beweis: Die b beziehungsweise c enthaltenden Strahlen mit Startpunkt a sind u := a + R 0 (b a) beziehungsweise v := a + R 0 (c a). Da sich beide Seiten der behaupteten Gleichungen bei Vertauschen von b und c nicht ändern können wir weiter annehmen das es φ, ψ R mit φ ψ φ + π gibt so, dass u = a + R 0 e(φ) und v = a + R 0 e(ψ) gelten. Dann gibt es weiter reelle Zahlen t, s > 0 mit b = a + te(φ) und c = a + se(ψ). Wir erhalten b a c a ab ac = re(φ) se(ψ) te(φ) se(ψ) = e(φ) e(ψ) = cos(ψ φ) und ψ φ = (u, v) = (uv) = (bac). Damit ist die erste Formel bewiesen und wegen 0 ψ φ π ergibt sich auch die zweite Formel. Die eben bewiesene Formel kann man zu einem Satz über Dreiecke umformulieren, dem sogenannten Cosinussatz der es erlaubt in einem Dreieck bei zwei bekannten Seiten und einem bekannten Winkel zwischen diesen die dritte Seite zu bestimmen. Satz 1.32 (Der Cosinussatz) Seien a, b, c R 2 drei Punkte mit a, c b. Dann gilt ac 2 = ab 2 + bc 2 2 ab bc cos( (abc)). Beweis: Nach Satz 31 gilt ac 2 = c a 2 = (c b) (a b) 2 = c b 2 + a b 2 2 c b a b = bc 2 + ab 2 2 ab bc cos( (abc)). Damit können wir schließlich auch die geometrischen Definitionen der trigonometrischen Funktionen rekonstruieren. Satz 1.33 (Geometrische Konstruktion der trigonometrischen Funktionen) Seien a, b, c R 2 drei nicht kollineare Punkte und die Verbindungsgerade von a und c sei senkrecht auf der Verbindungsgerade von b und c. Dann gelten sin( (bac)) = bc ac, cos( (bac)) = ab ab 9P-5 und tan( (bac)) = bc ac.

6 Beweis: Nach dem Satz des Pythagoras Korollar 1 gilt ab 2 = ac 2 + bc 2. Mit dem Cosinussatz Satz 4 erhalten wir weiter bc 2 = ab 2 + ac 2 2 ab ac cos( (bac)) = bc ac 2 2 ab ac cos( (bac)) und dies liefert ac = ab cos( (bac)). Dies beweist die Behauptung über den Cosinus und es ergibt sich weiter sin 2 ( (bac)) = 1 cos 2 ( (bac)) = 1 ac 2 ab = ab 2 ac 2 2 ab 2 = bc 2 ab 2. Damit haben wir auch die Behauptung über den Sinus und die über den Tangens folgt aus denen für Sinus und Cosinus. Wir schließen unsere Überlegungen über den Winkelbegriff mit dem Stufenwinkelsatz und dem mit diesen eng zusammenhängenden euklidischen Parallelenaxiom. Man kann die ebene Geometrie axiomatisch aufbauen, und das Urbeispiel eines solchen Aufbaus sind die Elemente des Euklid. Diese sind im Zeitraum um 300 vor Christus entstanden und eines der dort verwendeten Axiome ist das erwähnte Parallelenaxiom Schneiden zwei Strecken eine Gerade in zwei gegenüberliegenden Winkeln die zusammen kleiner als zwei Rechte sind, so treffen sich diese Strecken bei Verlängerung ins Unendliche in einem Punkt der auf der Seite der Geraden liegt in der die beiden gegenüberliegenden Winkel sind die zusammen kleiner als zwei Rechte sind. Der Name Parallelenaxiom entsteht da diese Aussage unter Voraussetzung der übrigen Axiome dazu äquivalent ist, dass es zu jeder Geraden und zu jedem Punkt außerhalb der Geraden stets genau eine Gerade durch den Punkt gibt welche die vorgegebene Gerade nicht trifft. Satz 1.34 (Stufenwinkelsatz und Parallelenaxiom) Seien l R 2 eine Gerade und H R 2 eine Halbebene mit affinem Rand l. Weiter seien g 1, g 2 R 2 zwei von l verschiedene Geraden die l in zwei verschiedenen Punkten a 1 = l g 1 und a 2 = l g 2 schneiden. Für j = 1, 2 bezeichne u j := H g j den in g j enthaltenen Strahl mit Startpunkt a j der in H enthalten ist. Für {i, j} = {1, 2} bezeichne v ij l den Strahl mit Startpunkt a i und a j v ij und bezeichne v ij den v ij gegenüberliegenden Strahl. (a) Genau dann gilt g 1 g 2 wenn (u 1, v 12 ) = (u 2, v 21) ist. (b) Ist (u 1, v 12 ) + (u 2, v 21 ) < π so ist g 1 g 2 und ist s der Schnittpunkt von g 1 und g 2 so gilt s H. 9P-6

7 Beweis: Dies ist Aufgabe (20). Die beiden Winkel α := {u 1, v 12 } und β := {u 2, v 21} in (a) nennt man in diesem Zusammenhang auch Stufenwinkel. Neben den bisher behandelten Winkeln zwischen Strahlen kann man auch Winkel zwischen nicht parallelen Geraden einführen. Hier gibt es dann auch wieder eine orientierte und eine nicht orientierte Version, wir wollen hier aber darauf verzichten auch dies auszuarbeiten. 1.6 Bewegungen und Kongruenzbegriffe Definition 1.22 (Bewegungen) Sei d N. Eine Abbildung ϕ : R d R d heißt eine Bewegung wenn sie den Abstand von Punkten erhält, wenn also ϕ(a)ϕ(b) = ab für alle a, b R d gilt. Wir schauen uns zunächst einige Beispiele von Bewegungen an. 1. Seien d N und u R d ein Vektor. Dann ist die Translation τ u : R d R d ; x x + u eine Bewegung denn für alle a, b R d gilt ϕ(a)ϕ(b) = (b + u) (a + u) = b a = ab. 2. Seien d N und A O d R eine orthogonale d d-matrix, also A t A = 1. Dann ist die Abbildung ψ A : R d R d ; x Ax eine Bewegung. Zunächst gilt nämlich Ax 2 = Ax Ax = (Ax) t (Ax) = x t A t Ax = x t x = x 2 für jedes x R d, also ist auch Ax = x. Für alle a, b R d folgt hiermit ψ A (a)ψ A (b) = Ab Aa = A(b a) = b a = ab. 3. Ist d N und sind ϕ, ψ : R d R d zwei Bewegungen so ist auch ψ ϕ eine Bewegung, denn für alle a, b R d haben wir ψ(ϕ(a))ψ(ϕ(b)) = ϕ(a)ϕ(b) = ab. 9P-7

8 4. Sind a R 2 und φ R so ist die Drehung D φ (a) eine Bewegung. Zunächst gilt nämlich ( ) ( ) cos φ sin φ cos φ sin φ DφD t φ = sin φ cos φ sin φ cos φ ( ) sin 2 φ + cos = 2 φ 0 0 sin 2 φ + cos 2 = 1, φ d.h. D φ ist eine orthogonale Matrix. Nach (1) und (2) ist D φ (a) damit die Hintereinanderausführung dreier Bewegungen, also nach (3) selbst eine Bewegung. Als ein weiteres Beispiel wollen wir die Spiegelungen an Hyperebenen konstruieren. Seien d N und h R d eine Hyperebene. Für x h setzen wir dann σ h (x) := x. Ist x R d \h so bezeichne l das Lot von x auf h, p den Lotfußpunkt von x auf h und σ h (x) l sei dann der Punkt der durch Abtragen der Strecke [x, p] auf der anderen Seite von h entsteht, d.h. es ist σ h (x) l auf der anderen Seite von h als x mit px = pσ h (x). Wir behaupten das die so definierte Abbildung σ h : R d R d dann eine Bewegung ist. Hierzu wähle einen Normalenvektor u auf h und dann gib es ein c R mit h = {x R d u x = c}. Die beiden durch h gegebenen Halbräume sind dann h + = {x R d u x c} und h = {x R d u x c}. Sei nun x R d \h gegeben. Ist dann p der Lotfußpunkt von x auf h so gilt x p R(h) also ist x p R(h) = Ru und wir erhalten x = p+tu für ein t R. Dann ist l = p+ru das Lot von x auf h. Wir erhalten den Punkt y := p tu l und wegen u p = c sind u x = c+t und y u = c t also ist sign( u x c) sign( u y c) und somit liegen x und y auf verschiedenen Seiten von h. Außerdem ist py = tu = t = tu = px, also ist σ h (x) = y. Dies können wir wegen y = p tu = p + tu 2tu = x 2( u x c)u = x 2 u x u + 2cu als σ h (x) = x 2 u x u + 2cu schreiben und diese Formel gilt auch im Fall x h. Beachten wir nun das für jedes x R d stets gilt, so folgt für x R d auch u x u = u u x = uu t x σ h (x) = (1 2uu t )x + 2cu = S u x + 2cu mit der Spiegelungsmatrix S u := 1 2uu t. Wegen S t us u = (1 2uu t ) 2 = 1 4uu t + 4uu t uu t = 1 4uu t + 4 u 2 uu t = 1 ist S u eine orthogonale Matrix, nach den obigen Aussagen (1,2,3) ist σ h also eine Bewegung. 9P-8