5 Sphärische Trigonometrie

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1 $Id: sphaere.tex,v /08/13 17:21:33 hk Exp $ 5 Sphärische Trigonometrie m Ende der letzten Sitzung hatten wir mit der Untersuchung sphärischer Dreiecke begonnen. Gegeben war eine Sphäre K, oder Kugeloberfläche, von Radius R > 0 und Mittelpunkt M. Schnitte von durch M laufenden Ebenen mit K hatten wir Großkreise genannt. Sind zwei verschiedene Punkte, B von K nicht diametral zueinander so bestimmten diese einen eindeutigen Großkreis k durch und B, und das kürzere der beiden Teilstücke in das, B den Kreis k zerlegen hatten wir als die Strecke B bezeichnet. Ist α der Winkel zwischen M und MB, so hat die Strecke B die Länge B = Rα. Diese Zahl ist dann der sphärische bstand zwischen und B und den Winkel α selbst nennt man auch den Winkelabstand von und B. uf der Sphäre können bstände also durch Winkel gemessen werden. Der Winkel zwischen zwei Großkreisen k = K e und k = K e ist der Winkel zwischen den Ebenen e und e. Drei Punkte, B, C auf K die auf keinen gemeinsamen Großkreis liegen und paarweise nicht diametral zueinander sind bestimmen ein sphärisches Dreieck BC. Wir betrachten nur sogenannte eulersche Dreiecke bei denen alle Innenwinkel α, β, γ, also die Winkel zwischen den Seiten kleiner als π sind. Üblicherweise fordert man noch das auch die Winkelabstände zwischen den Punkten echt kleiner π sind, dies ist bei uns nicht nötig da wir Strecken B von vornherein so definiert haben. 5.1 Sphärische Flächenberechnungen Gegeben sei eine Kugeloberfläche K von Radius R > 0, deren Mittelpunkt wir als Koordinatenursprung verwenden. Wir wollen Flächenberechnungen auf K durchführen. Will man den Flächinhalt formal definieren, so betrachtet man die Parametrisierung von K durch Kugelkoordinaten, also ϕ : [0, 2π] [0, π] K; (φ, ψ) R cos φ sin ψ R sin φ sin ψ R cos ψ und definiert für jede Borelmenge M K die Fläche von M als (M) := ϕ φ ϕ ψ dλ 2(φ, ψ) = R 2 sin ψ dλ 2 (φ, ψ). ϕ 1 (M) ϕ 1 (M) Um zu sehen das dies eine sinnvolle Definition ist, muss man sich nur daran erinnern das die Länge eines Vektorprodukts u v die Fläche des von u und v aufgespannten 19-1,

2 Parallelogramms ist, der obige Integrand ist also das infinitesimale Flächenelement. Symbolisch wird diese Beziehung oftmals als d = R 2 sin ψ dλ 2 (φ, ψ) geschrieben. Testen wir einmal das die korrekte Gesamtfläche herauskommt π) (K) = R 2 sin ψ dλ 2 (φ, ψ) = 2πR ( 2 cos ψ = 4πR 2, [0,2π] [0,π] und dies ist das erwartete Ergebnis. Die sphärische Fläche ist invariant unter Drehungen und Spiegelungen, dies läßt sich allerdings am definierenden Integral schlecht sehen, wir wollen es an dieser Stelle als anschaulich offensichtlich verbuchen und uns keinen Beweis überlegen. Es gibt andere Definitionen des sphärischen Flächeninhalts bei denen die Rotationsinvarianz von vornherein klar ist, diese erfordern aber etwas mehr begrifflichen ufwand. Wir wollen jetzt die Fläche von Kugelkappen bestimmen. Wir betrachten einen Punkt auf unserer Sphäre K und bilden mit dem Mittelpunkt r eine weitere Kugel mit einem Radius 0 < r < R/2. Der Schnitt dieser Vollkugel mit unserer Sphäre definiert eine Kugelkappe T deren Fläche wir berechnen wollen. Dabei könne wir den Punkt durch eine Drehung in den Nordpol von K legen. Unsere M R beiden Kugeln schneiden sich in einem Kleinkreis k und dieser Kleinkreis ist die Begrenzung der Kugelkappe T. Die Punkte auf k erfüllen in cartesischen Koordinaten die Gleichungen x 2 + y 2 + z 2 = R 2 und x 2 + y 2 + (z R) 2 = r 2 liegen also in der waagerechten Ebene gegeben durch z 2 (z R) 2 = 2Rz R 2! = R 2 r 2, d.h. z = R r2 2R. Definieren wir 0 < ψ 0 π/2 durch cos ψ 0 = 1 r 2 /(2R 2 ), so sind ϕ 1 (T ) = [0, 2π] [0, ψ 0 ] und ψ0 (T ) = 2πR 2 sin ψ dψ = 2πR 2 (1 cos ψ 0 ) = 2πR 2 r 2 2R = 2 πr2. 0 Die Fläche der Kugelkappe hängt also nur vom kleinen Radius r ab und ist gleich der Fläche eines ebenen Kreises mit Radius r. Wir wollen jetzt den Flächeninhalt eines sphärischen Dreiecks berechnen. Diesen kann man alleine mit Hilfe der Rotationsinvarianz des Flächeninhalts bestimmen, es ist nicht erforderlich irgendwelche Integrale zu berechnen

3 Die entscheidende Idee ist es, erst einmal die sogenannten Zweiecke zu behandeln. ls ein sphärisches Zweieck mit dem Öffnungswinkel α bezeichnet man, wie nebenstehend gezeigt, ein von zwei Großkreisen im Winkel α begrenztes Gebiet der Sphäre K. Die Ecken des Zweiecks sind die beiden Schnittpunkte der beiden Großkreise und liegen diametral zueinander. Beachte das uns je zwei Großkreise vier solcher Zweiecke bestimmen. Da sich je zwei Zweiecke mit demselben Öffnungswinkel α durch Drehungen von K ineinander überführen lassen, haben diese alle denselben, nur von α abhängigen, Flächeninhalt (α). Wir behaupten das (α) dabei proportional zu α ist. Bilden wir nämlich für ein n N mit nα < 2π ein Zweieck mit dem Öffnungswinkel nα, so läßt sich dieses in n Zweiecke mit dem Öffnungswinkel α zerlegen, und damit ist Hieraus folgt weiter auch ( (α) = n α ) n (nα) = n(α). ( α = n n) Tα ( α also = n) 1 n (α). Sind also n, m N mit (n/m) α < 2π so gilt auch ( n ) m α = 1 m (nα) = n m (α), also haben wir (qα) = q(α) für alle rationalen Zahlen q > 0 mit qα < 2π. Ist dann c > 0 eine reelle Zahl mit cα < 2π, so können wir c als Grenzwert einer monoton steigenden Folge (q n ) n N rationaler Zahlen schreiben, und mit der Stetigkeit des Flächeninhalts ergibt sich (cα) = lim n (q n α) = ( lim n q n Dies beweist die Proportionalität von (α) zu α. ) (α) = c(α). Lemma 5.1 (Flächeninhalt sphärischer Zweiecke) Seien K eine Kugel mit Radius R > 0 und T ein sphärisches Zweieck auf K mit Öffnungswinkel α > 0. Dann gilt (T ) = 2R 2 α. Beweis: Wir haben bereits eingesehen das der Flächeninhalt eines Zweiecks T mit Öffnungswinkel α proportional zu α ist, das es also eine Konstante C > 0 gibt so, dass jedes solche Zweieck die Fläche (T ) = Cα hat. Nun können wir ganz K als Zweieck mit dem Öffnungswinkel 2π auffassen, und da ganz K die Fläche (K) = 4πR 2 hat, muss 2πC = 4πR 2 sein, also C = 2R 2. α 19-3

4 C b γ a α T B b γ a C T α c TC β B β B Sphärisches Dreieck c Zerlegung von K in acht Teile Wir betrachten ein sphärisches Dreieck auf einer Sphäre K von Radius R > 0. Wir verwenden dieselbe Bezeichnungskonvention wie im ebenen Fall 1, die Ecken des Dreiecks heißen, B, C, die gegenüberliegenden Seiten werden mit den entsprechenden lateinischen Kleinbuchstaben bezeichnet und die Winkel mit den entsprechenden griechischen Buchstaben. Wir wollen den Flächeninhalt ( ) von bestimmen. Die drei Seiten des Dreiecks, also die Großkreise a, b, c, zerlegen die Sphäre K in acht Teilstücke, jeder der Großkreise bestimmt zwei Hälften von K und für jeden Punkt von K gibt es damit zwei Möglichkeiten auf welcher der beiden Seiten jedes der drei Großkreise er liegen kann und dies sind insgesamt = 8 Möglichkeiten. Eine der acht Komponenten ist das Dreieck. n der Ecke von liegen die beiden Großkreise b und c und diese schneiden auf K ein Zweieck T mit dem Öffnungswinkel α aus das enthält, also T. nalog liegt bei B ein Zweieck T B mit dem Öffnungswinkel β und bei C ein Zweieck T C mit dem Öffnungswinkel γ. Jedes der drei Zweiecke T, T B, T C besteht aus und einem weiteren der acht Teilstücke von K, d.h. T T B T C setzt sich aus vier unserer Teilstücke zusammen. Der Rest von K entsteht durch Spiegeln am Mittelpunkt von K, ist also diametral zu T T B T C. Insbesondere füllt T T B T C genau die halbe Sphäre K aus, es gilt also (T T B T C ) = 1 2 (K) = 2πR2. Mit dieser Beobachtung können wir nun die Fläche ( ) bestimmen. Satz 5.2 (Flächeninhalt eines sphärischen Dreiecks) Seien K eine Kugel vom Radius R > 0 und = BC ein sphärisches Dreieck auf K mit den Innenwinkeln α, β, γ. Dann ist α + β + γ > π und es gilt ( ) = R 2 (α + β + γ π). 19-4

5 Beweis: Wir übernehmen die Bezeichnungen der obigen Diskussion. Je zwei unserer Zweiecke T, T B, T C schneiden sich in, also ist 2πR 2 = (T T B T C ) = (T ) + (T B ) + (T C ) 2( ). Nach Lemma 1 haben wir (T ) = 2R 2 α, (T B ) = 2R 2 β und (T C ) = 2R 2 γ, also ist und dies ergibt 2πR 2 = 2R 2 (α + β + γ) 2( ), ( ) = R 2 (α + β + γ π). Wegen ( ) > 0 ist damit auch α + β + γ > π. Dass die Winkelsumme in einem sphärischen immer größer als 180 kann man sich leicht direkt klarmachen. Denken wir uns ein Dreieck in einer tangential an K anliegenden Ebene, so hat dieses eine Winkelsumme von 180. Biegen wir das Dreieck dann auf die Sphäre K herunter, so vergrößern sich die Winkel und es entsteht eine Winkelsumme echt größer 180. Man nennt den Überschuss ɛ := α + β + γ π auch den sphärischen Exzess des Dreiecks. Die Fläche von schreibt sich in Termen von ɛ als ( ) = R 2 ɛ. 5.2 Sphärische Dreiecksberechnung In 1.4 hatten wir gesehen, dass in einem ebenen Dreieck mit den Seiten a, b, c und den Winkeln α, β, γ sich bis auf zwei usnahmefälle aus je dreien der Werte a, b, c, α, β, γ die anderen drei berechnen ließen. Diese Rechnungen konnte man dabei mit den Cosinussatz 1.Satz 4 und dem Sinussatz 1.Satz 8 durchführen. In diesem bschnitt wollen wir die entsprechenden Rechnungen für sphärische Dreiecke durchführen, und wie im ebenen Fall gibt es hierfür wieder einen sphärischen Cosinussatz und einen sphärischen Sinussatz. Es gibt sogar zwei sphärische Cosinussätze, einen Seitencosinussatz der bei zwei bekannten Seiten und dem von diesen eingeschlossenen Winkel die dritte Seite berechnet, und einen Winkelcosinussatz der bei zwei bekannten Winkeln und der von diesen eingeschlossenen Seite den dritten Winkel berechnet. Letzteres gibt es in der ebenen Situation nicht da dort je zwei der Winkel bereits den dritten Winkel festlegen. Der sphärische Sinussatz handelt weiter von Verhältnissen zwischen Winkeln und gegenüberliegenden Seiten und tritt nur in einer Version auf. Wir beginnen mit dem Seitencosinussatz, da wir diesen in Wahrheit bereits behandelt haben. Es stellt sich heraus das unser Lemma von den drei Ebenen 3.Lemma 5, das wir zur Berechnung der Winkel in den platonischen Körpern benutzt haben, nur eine Umformulierung des Seitencosinussatzes ist. In allen diesen Sätzen werden Seiten 19-5

6 stets im Winkelabstand gemessen, der Radius R unserer Kugel wird also keine Rolle spielen. Satz 5.3 (Der Seitencosinussatz) Sei = BC ein sphärisches Dreieck mit den Seiten a, b, c im Winkelabstand und den Innenwinkeln α, β, γ, alles bezeichnet gemäß der Standardkonvention. Dann gelten: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α, cos b = cos a cos c + sin a sin c cos β, cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ. Beweis: Bezeichne M dem Mittelpunkt der Kugel auf der liegt. Dann schneiden sich die beiden Ebenen f 1 := MC und f 2 := MBC in der Geraden l := f 1 f 2 = MC und die Ebene e := MB trifft l in e l = M. Der Winkel zwischen f 1 und f 2 ist der Winkel zwischen den Seiten a und b, also gleich γ. Weiter hat g 1 := f 1 e = M zu l = MC den Winkel b und g 2 := f 2 e = MB hat zu l = MC den Winkel a. Schließlich ist der Winkel zwischen g 1 = M und g 2 = MB die Seite c. Nach 3.Lemma 5 ist damit also cos γ = cos c cos a cos b, sin a sin b sin a sin b cos γ = cos c cos a cos b. Damit ist die dritte Gleichung der Behauptung eingesehen, und die anderen beiden ergeben sich aus dieser durch Umbezeichnung der Ecken von. Linkspol l e M k Rechtspol 19-6

7 Beachte das es sich inhaltlich nur um eine einzige Gleichung handelt, die durch die Bezeichnung der drei Ecken die drei Formen des Satzes annimmt. Unser nächstes Ziel ist der Winkelcosinussatz, dieser entsteht durch nwendung des Seitencosinussatzes auf das sogenannte Polardreieck von. Seien K wieder unsere Kugel mit Mittelpunkt M, e eine Ebene durch M und k = K e der zugehörige Großkreis. Sei l die auf e senkrechte Gerade durch M. Die Gerade l schneidet die Sphäre K dann in zwei Punkten und diese beiden Punkte heißen die Polaren des Großkreises k. Ist auf k ein Umlaufsinn gegeben, so können wir die beiden Pole voneinander unterscheiden, der im Umlaufrichtung links liegende Punkt heißt der Linkspol von k und der rechts liegende Pol heißt entsprechend der Rechtspol von k. Wird die Umlaufrichtung von k umgedreht, so vertauschen sich entsprechend der Links- und der Rechtspol von k. Laufen wir beispielsweise von Westen nach Osten um den Äquator, so ist der Nordpol der Linkspol und der Südpol der Rechtspol. Nun sei ein ganzes sphärisches Dreieck = BC auf K gegeben, gemäß der Standardkonvention bezeichnen wir die Seiten mit a, b, c und die Winkel mit α, β, γ. Durch die Reihenfolge, B, C ist auf eine Umlaufrichtung gegeben und somit haben wir auch auf jedem der drei Großkreise a, b, c eine Umlaufrichtung. Den Linkspol von a nennen wir, den von b nennen wir B und den von c schließlich C. Das so entstehende sphärische Dreieck = BC heißt das Polardreieck von, und seine Seiten und Winkel bezeichnen wir analog zur Standardkonvention mit a, b, c und α, β, γ. Wir wollen diese Seiten und Winkel jetzt in Termen von bestimmen. C a b M α c B Konkret wollen wir die Seite a von mit den Ecken B und C bestimmen, die Situation ist im Bild oben rechts gezeigt. Rotieren wir die Seite b von um die chse M weg von der Seite c bis wir auf die Ebene durch M treffen die c enthält, so dreht sich dabei der Linkspol B in den Linkspol C da der Umlaufsinn des rotierten b mit dem von 19-7

8 c übereinstimmt. Der bei der Rotation zurückgelegte Winkel ist π α, also ist auch der Winkel zwischen MB und MC gleich π α, im Polardreieck haben wir also a = π α. Dieser Überlegung können wir eine weitere Folgerung entnehmen, da B durch Rotation um M in C bewegt wird, ist M senkrecht auf dem Großkreis a, d.h. ist einer der beiden Pole von a und da links zur Umlaufrichtung von B nach C liegt ist der Linkspol von a, im zu polaren Dreieck gilt also =. Entsprechend folgt dies auch für die anderen Seiten von und wir erhalten das folgende Lemma. Lemma 5.4 (Das Polardreieck eines sphärischen Dreiecks) Sei = BC ein sphärisches Dreieck mit Seiten a, b, c und Winkeln α, β, γ gemäß der Standardkonvention. Bezeichne = BC das Polardreieck von. Dann ist = das Polardreieck von und bezeichnen wir die Seiten und Winkel von gemäß der Standardkonvention, so sind a = π α, b = π β, c = π γ und α = π a, β = π b, γ = π c. Beweis: Die ussagen = und a = π α, b = π β und c = π γ haben wir bereits eingesehen. Wenden wir diese Gleichungen dann auf das Polardreieck an, so folgen auch a = a = π α also α = π a und analog sind auch β = π b und γ = π c. Wie schon angekündigt ergibt sich jetzt durch nwendung des Seitencosinussatzes auf das Polardreieck der noch ausstehende Winkelcosinussatz. Satz 5.5 (Der Winkelcosinussatz) Sei = BC ein sphärisches Dreieck mit den Seiten a, b, c und den Winkeln α, β, γ bezeichnet gemäß der Standardkonvention. Dann gelten: cos α = sin β sin γ cos a cos β cos γ, cos β = sin α sin γ cos b cos α cos γ, cos γ = sin α sin β cos c cos α cos β. Beweis: Bezeichne a, b, c die Seiten und α, β, γ die Winkel im Polardreieck gemäß der Standardkonvention. Der Seitencosinussatz Satz 3 in liefert dann und mit Lemma 4 ist damit cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α, cos α = cos(π α) = cos(π β) cos(π γ) + sin(π β) sin(π γ) cos(π a) = cos β cos γ sin β sin γ cos a, 19-8

9 und die erste Gleichung ist gezeigt. Die anderen beiden Gleichungen ergeben sich analog. Schließlich wollen wir zum sphärischen Sinussatz kommen, und für diesen benötigen wir eine neue Konstruktion. Wir betrachten wieder eine Kugel K mit Mittelpunkt M und Radius R > 0. Weiter sei = BC ein sphärisches Dreieck auf K, dessen Seiten und Winkel wir wieder als a, b, c beziehungsweise α, β, γ gemäß der Standardkonvention bezeichnen. C R B M b Z α P Wir fällen den Lot von C auf die Ebene MB und bezeichnen den Lotfußpunkt mit Z. Weiter fällen wir in der Ebene MB das Lot von Z auf M und nenen den Lotfußpunkt P. Das Dreieck P ZC hat dann bei Z einen rechten Winkel und da die Ebene P ZC senkrecht auf der Ebene MB und auf der Ebene MC ist, ist der Winkel von P ZC bei P gleich dem Winkel zwischen den Ebenen MB und MC. ndererseits sind der Großkreis MB K die Seite c von und der Großkreis MC K die Seite b von, also ist der Winkel zwischen MB und MC genau der Winkel zwischen den Seiten b und c von, d.h. er ist α. Lesen wir also den Sinus von α im rechtwinkligen Dreieck P ZC bei P ab, so ergibt sich sin α = CZ CP. Weiter ist das Dreieck MP C bei P rechtwinklig und sein Winkel bei M ist der Winkel zwischen M und MC, also der Winkelabstand b, lesen wir also den Sinus von b in MP C ab, so ist sin b = CP R. 19-9

10 Dies liefert CZ = CP sin α = R sin b sin α. Führen wir diese Überlegung mit vertauschten Rollen von und B durch, so ergibt sich andererseits auch CZ = R sin a sin β, und wir haben sin b sin α = sin a sin β, beziehungsweise sin a sin α = sin b sin β eingesehen. Dies ist bereits eine der Formen des sphärischen Sinussatzes, den wir in der nächsten Sitzung als einen Satz formulieren werden